Come leggere i simboli matematici

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Guida rapida alla notazione, con esempi di Analisi matematica

Come si leggono i simboli matematici

Il significato dei simboli matematici dipende da dove compaiono. Una barra verticale, per esempio, può indicare il valore assoluto oppure leggersi «tale che» quando si descrive un insieme.

La guida spiega come tradurre una formula in una frase. Affronta quantificatori, insiemi, funzioni, limiti, derivate e integrali, con un glossario e otto esercizi di lettura commentati.

Per approfondire i quantificatori e il linguaggio degli insiemi si possono consultare Logica elementare e Teoria degli insiemi.

Sommario

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In matematica un simbolo non possiede sempre un unico significato: la sua interpretazione dipende dalla posizione, dagli oggetti che lo circondano e dall’argomento trattato. Questa guida fornisce un metodo per leggere le formule, chiarisce i simboli più comuni e mostra come tradurre una scrittura matematica in una frase italiana completa. È pensata sia per chi si avvicina all’Analisi matematica, sia per chi desidera consultare rapidamente una notazione incontrata nelle dispense.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Giulio Binosi.

Come usare questa guida

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Queste pagine non vanno necessariamente lette tutte in ordine. Le prime sezioni spiegano il metodo generale; le successive possono essere consultate quando compare un simbolo poco chiaro. Il glossario finale permette una ricerca ancora più rapida.

La regola fondamentale

Non si deve mai interpretare un simbolo isolandolo dal resto della formula. Prima si riconoscono gli oggetti coinvolti — numeri, insiemi, funzioni, proposizioni — e soltanto dopo si attribuisce un significato al segno.

Per esempio, il tratto verticale compare in espressioni molto diverse:

$\begin{equation*} |x|,\qquad a\mid b,\qquad \{x\in A\mid x>0\},\qquad P(A\mid B),\qquad \left.F(x)\right|_a^b. \end{equation*}$

Nel primo caso indica il valore assoluto; nel secondo la divisibilità; nel terzo si legge «tale che»; nel quarto riguarda una probabilità condizionata all’evento $B$ ; nell’ultimo ordina di valutare una funzione agli estremi. La forma grafica è simile, ma il contesto cambia completamente la lettura.

Metodo in cinque domande

Quali sono gli oggetti presenti: numeri, punti, insiemi, funzioni o affermazioni?
Qual è il simbolo principale che collega le due parti della formula?
Sono presenti pedici, apici, estremi o condizioni scritte sopra e sotto un simbolo?
La formula contiene una dichiarazione, una definizione, un calcolo o una conseguenza logica?
Come si può riscrivere l’intera riga con una frase italiana grammaticalmente completa?

Un primo esempio

La scrittura

$\begin{equation*} A\subseteq \mathbb{R},\qquad f\colon A\to\mathbb{R},\qquad x\mapsto x^2 \end{equation*}$

si può leggere così:

« $f$ è una funzione definita sull’insieme $A$ , che è contenuto nei numeri reali, e assume valori reali; a ogni $x$ associa il numero $x^2$ .»

Il simbolo $\colon$ introduce la dichiarazione della funzione, $\to$ specifica dominio e codominio, mentre $\mapsto$ descrive la regola di associazione.

I simboli che cambiano significato con il contesto

I due punti

I due punti sono uno dei segni più polisemici della notazione matematica.

Scrittura	Lettura	Significato
$f\colon A\to B$	« $f$ da $A$ in $B$ »	Il segno introduce la dichiarazione della funzione. $A$ è il dominio, $B$ il codominio.
$\{x\in\mathbb{R}:x>0\}$	«i reali $x$ tali che $x>0$ »	All’interno della descrizione di un insieme, si legge «tale che».
$12:4=3$	«dodici diviso quattro» oppure «dodici sta a quattro»	Nella notazione scolastica può indicare una divisione o un rapporto. Nei testi universitari si preferisce spesso $12/4$ o $\frac{12}{4}$ .
$a\coloneqq b+1$ oppure $a\coloneqq b+1$	« $a$ è definito come $b+1$ »	Non è il solo due punti a esprimere la definizione, ma la coppia $\coloneqq$ .

Come decidere rapidamente

Se il segno compare dopo il nome di una funzione, introduce quasi sempre la sua dichiarazione. Se compare dentro parentesi graffe, di solito significa «tale che». Se è tra due numeri, può essere una divisione o un rapporto. Se è unito al segno di uguaglianza, segnala una definizione.

La barra verticale

Scrittura	Lettura	Significato
$\|x\|$	«valore assoluto di $x$ »	Distanza di $x$ da zero sulla retta reale.
$a\mid b$	« $a$ divide $b$ »	Esiste un intero $k$ tale che $b=ak$ .
$\{x\in A\mid P(x)\}$	«gli $x$ di $A$ tali che vale $P(x)$ »	Alternativa ai due punti nella descrizione di un insieme.
$P(A\mid B)$	«probabilità di $A$ dato $B$ »	Probabilità condizionata all’evento $B$ .
$\left.F(x)\right\|_a^b$	« $F$ valutata tra $a$ e $b$ »	Abbreviazione di $F(b)-F(a)$ .
$f\|_A$	«restrizione di $f$ ad $A$ »	La stessa regola di $f$ , considerata soltanto sui punti di $A$ .

Parentesi, parentesi quadre e graffe

$(a+b)c$ : le parentesi raggruppano le operazioni.
$f(x)$ : le parentesi contengono l’argomento della funzione.
$(a,b)$ oppure $]a,b[$ : intervallo aperto, con estremi esclusi.
$[a,b]$ : intervallo chiuso, con estremi inclusi.
$\{1,2,3\}$ : insieme formato da tre elementi.
$\begin{cases}x^2,&x\geq 0,\\-x,&x<0,\end{cases}$ la graffa raccoglie i diversi casi di una definizione.
$[F(x)]_a^b$ : le parentesi quadre racchiudono l’espressione da valutare agli estremi.
$[x]$ : classe di equivalenza del rappresentante $x$ .

Le parentesi non possiedono quindi un significato autonomo. Per riconoscerlo si osserva che cosa contengono e che cosa si trova immediatamente prima o dopo.

Apici, pedici e segni meno

Scrittura	Lettura usuale	Attenzione
$a_n$	« $a$ con pedice $n$ »	Spesso è il termine numero $n$ di una successione; non significa $a\cdot n$ .
$x_0$	« $x$ con pedice zero»	Indica spesso un punto fissato o un valore di riferimento.
$x^2$	« $x$ al quadrato»	L’apice rappresenta una potenza.
$f'(x)$	« $f$ primo di $x$ »	In Analisi indica la derivata prima. In altri contesti un apice può soltanto distinguere un nuovo oggetto, come $x'$ rispetto a $x$ .
$f^{(n)}(x)$	«derivata $n$ -esima di $f$ »	Le parentesi attorno a $n$ evitano di confonderla con la potenza $[f(x)]^n$ .
$x^{-1}$	« $x$ alla meno uno»	Per un numero non nullo significa $1/x$ .
$f^{-1}$	«funzione inversa di $f$ »	Non significa $1/f$ . Come funzione inversa esiste soltanto quando $f$ è invertibile; la notazione $f^{-1}(C)$ può invece indicare una controimmagine.
$A^c$	«complementare di $A$ »	L’apice $c$ non è una potenza: dipende dalla natura insiemistica di $A$ .
$A^\circ$	«parte interna di $A$ »	L’apice $^\circ$ non è una potenza: dipende dalla topologia di $A$ .

Punto, asterisco e punto esclamativo

Il punto centrato $a\cdot b$ indica spesso un prodotto; tra vettori, $\bm{u}\cdot\bm{v}$ può indicare il prodotto scalare. L’asterisco $z^*$ può rappresentare il complesso coniugato, una matrice aggiunta o semplicemente un oggetto distinto: la convenzione deve essere dichiarata nel testo. Il punto esclamativo in $n!$ indica il fattoriale, mentre in $\exists!x$ significa «esiste un unico $x$ ».

Uguaglianze, confronti e relazioni

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Simbolo	Lettura	Uso tipico
$=$	uguale	Afferma che due espressioni rappresentano lo stesso oggetto o lo stesso valore.
$\neq$	diverso da	Nega l’uguaglianza.
$<,>$	minore, maggiore	Confronto stretto tra numeri o grandezze ordinate.
$\leq,\geq$	minore o uguale, maggiore o uguale	Confronto non stretto.
$\coloneqq$	è definito come	Introduce una definizione, non una semplice uguaglianza già nota.
$\equiv$	identicamente uguale; congruo	Il significato dipende dal contesto. Per esempio $\sin^2x+\cos^2x\equiv 1$ è un’identità; $a\equiv b\pmod n$ è una congruenza.
$\approx$	approssimativamente uguale	Indica un’approssimazione numerica o concettuale; il grado di precisione va ricavato dal contesto.
$\sim$	equivalente; asintotico a	In Analisi, spesso $f(x)\sim g(x)$ significa $f(x)/g(x)\to 1$ . In altri ambiti può indicare una relazione di equivalenza.
$\propto$	proporzionale a	$y\propto x$ significa che $y=kx$ per una costante opportuna $k$ .
$\infty$	infinito	Non è un numero reale ordinario. Nelle formule di limite o negli estremi di integrazione descrive un comportamento illimitato.

Uguaglianza o definizione?

Nella riga

$\begin{equation*} r\coloneqq\sqrt{x^2+y^2} \end{equation*}$

si sta scegliendo il simbolo $r$ per indicare una certa quantità. Nella riga

$\begin{equation*} r^2=x^2+y^2 \end{equation*}$

si afferma invece una relazione che segue dalla definizione. I due segni non svolgono lo stesso ruolo logico.

Le frecce non sono tutte uguali

Scrittura	Lettura	Ruolo
$f\colon A\to B$	« $f$ da $A$ in $B$ »	Dichiara dominio e codominio.
$x\mapsto x^2$	« $x$ viene mandato in $x^2$ »	Descrive la regola di associazione.
$x\to x_0$	« $x$ tende a $x_0$ »	Compare nei limiti.
$P\Rightarrow Q$	« $P$ implica $Q$ »	Conseguenza logica.
$P\Leftrightarrow Q$	« $P$ se e solo se $Q$ »	Equivalenza logica: valgono entrambe le implicazioni.
$a_n\nearrow L$	« $a_n$ cresce verso $L$ »	Indica spesso convergenza monotona crescente.

Logica matematica e quantificatori

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Le formule logiche diventano molto più semplici quando vengono lette come frasi complete.

Simbolo	Lettura	Significato
$\forall$	per ogni; per tutti	Introduce una proprietà richiesta a tutti gli elementi considerati.
$\exists$	esiste almeno un	Afferma l’esistenza di almeno un elemento.
$\exists!$	esiste uno e un solo	Unisce esistenza e unicità.
$\nexists$	non esiste	Nega l’esistenza.
$\neg P$	non $P$	Negazione della proposizione $P$ .
$P\land Q$	$P$ e $Q$	Entrambe le proposizioni devono essere vere.
$P\lor Q$	$P$ oppure $Q$	In matematica l’«oppure» è normalmente inclusivo: può accadere anche che siano vere entrambe.
$P\Rightarrow Q$	se $P$ , allora $Q$	Non autorizza automaticamente a concludere $P$ partendo da $Q$ .
$P\Leftrightarrow Q$	$P$ se e solo se $Q$	Equivale a $P\Rightarrow Q$ e $Q\Rightarrow P$ .

L’ordine dei quantificatori conta

Le due affermazioni

$\begin{equation*} \forall x\in\mathbb{R}\;\exists y\in\mathbb{R}:y>x \end{equation*}$

$\begin{equation*} \exists y\in\mathbb{R}\;\forall x\in\mathbb{R}:y>x \end{equation*}$

non sono equivalenti. La prima è vera: dato un qualunque reale $x$ , si può scegliere per esempio $y=x+1$ . La seconda è falsa: non esiste un unico numero reale maggiore di tutti i reali.

Esempio fondamentale: la continuità

La formula

$\begin{equation*} \forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\forall x\in D,\quad |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \end{equation*}$

si legge:

«Per ogni precisione positiva $\varepsilon$ , esiste una distanza positiva $\delta$ tale che, per ogni $x$ del dominio $D$ , se $x$ dista da $x_0$ meno di $\delta$ , allora $f(x)$ dista da $f(x_0)$ meno di $\varepsilon$ .»

Il primo $\forall$ riguarda la precisione richiesta; $\delta$ può dipendere da $\varepsilon$ ; il secondo $\forall$ riguarda tutti i punti $x$ sufficientemente vicini a $x_0$ .

Negare correttamente una frase

Le regole più utili sono

$\begin{equation*} \neg(\forall x\;P(x))\Leftrightarrow \exists x\;\neg P(x),\qquad \neg(\exists x\;P(x))\Leftrightarrow \forall x\;\neg P(x). \end{equation*}$

Dire che «non tutti gli elementi hanno una proprietà» significa dunque che «esiste almeno un elemento che non la possiede».

Insiemi, appartenenza e intervalli

Gli insiemi numerici più comuni

$\begin{equation*} \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}. \end{equation*}$

In genere $\mathbb{N}$ indica i numeri naturali, $\mathbb{Z}$ gli interi, $\mathbb{Q}$ i razionali, $\mathbb{R}$ i reali e $\mathbb{C}$ i complessi. La convenzione sull’inclusione dello zero in $\mathbb{N}$ non è universale: va controllata nella sezione «Notazioni» del testo.

Simbolo	Lettura	Esempio e significato
$\in$	appartiene a	$2\in\mathbb{N}$ : il numero $2$ è un elemento di $\mathbb{N}$ .
$\notin$	non appartiene a	$\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$ .
$\subseteq$	è contenuto in	$A\subseteq B$ : ogni elemento di $A$ appartiene anche a $B$ .
$\subsetneq$	è strettamente contenuto in	$A\subsetneq B$ : $A\subseteq B$ ma $A\neq B$ .
$\cup$	unione	$A\cup B$ : elementi che appartengono ad almeno uno tra $A$ e $B$ .
$\cap$	intersezione	$A\cap B$ : elementi comuni ad $A$ e $B$ .
$\setminus$	differenza insiemistica	$A\setminus B$ : elementi di $A$ che non appartengono a $B$ .
$\varnothing$	insieme vuoto	Insieme privo di elementi.
$A^c$	complementare di $A$	Elementi dell’insieme ambiente che non appartengono ad $A$ .
$A\times B$	prodotto cartesiano	Insieme delle coppie ordinate $(a,b)$ con $a\in A$ e $b\in B$ .

Errore frequente: $\in$ non è $\subseteq$

Si scrive $2\in\mathbb{R}$ perché $2$ è un numero, cioè un elemento. Si scrive $\{2\}\subseteq\mathbb{R}$ perché $\{2\}$ è un insieme. Le due frasi parlano di oggetti di tipo diverso.

Descrivere un insieme mediante una proprietà

La scrittura

$\begin{equation*} A=\{x\in\mathbb{R}:x^2<4\} \end{equation*}$

si legge « $A$ è l’insieme dei numeri reali $x$ tali che $x^2<4$ ». Poiché la disequazione equivale a $-2<x<2$ , si ha

$\begin{equation*} A=(-2,2)=]-2,2[. \end{equation*}$

Intervalli

Scrittura	Lettura	Condizione equivalente
$(a,b)$ oppure $]a,b[$	intervallo aperto	$a<x<b$ .
$[a,b]$	intervallo chiuso	$a\leq x\leq b$ .
$[a,b)$	chiuso a sinistra, aperto a destra	$a\leq x<b$ .
$(a,b]$	aperto a sinistra, chiuso a destra	$a<x\leq b$ .
$(-\infty,a)$	semiretta sinistra aperta	$x<a$ .
$[a,+\infty)$	semiretta destra con $a$ incluso	$x\geq a$ .

Gli estremi $+\infty$ e $-\infty$ non vengono mai inclusi: non sono punti reali e quindi, accanto a essi, si usa sempre una parentesi aperta.

Funzioni e applicazioni

Dichiarazione e legge di associazione

La forma completa

$\begin{equation*} f\colon A\to B,\qquad x\mapsto f(x) \end{equation*}$

contiene due informazioni differenti. La prima dichiara che $f$ ha dominio $A$ e codominio $B$ ; la seconda descrive che cosa accade a un generico elemento $x$ . Per esempio,

$\begin{equation*} f\colon\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R},\qquad x\mapsto\frac{1}{x} \end{equation*}$

si legge: « $f$ è una funzione dai reali diversi da zero ai reali e associa a ogni $x$ il suo reciproco». Il dominio esclude lo zero perché $1/x$ non è definito in $x=0$ .

Dominio, codominio e immagine

Se $f\colon A\to B$ , allora:

$A$ è il dominio;
$B$ è il codominio;
$f(A)=\{f(x):x\in A\}$ è l’immagine della funzione ed è un sottoinsieme di $B$ .

Codominio e immagine non sono necessariamente uguali. L’uguaglianza $f(A)=B$ esprime la suriettività.

Composizione

Se $f\colon A\to B$ e $g\colon B\to C$ , la composizione

$\begin{equation*} g\circ f\colon A\to C \end{equation*}$

si legge « $g$ composto $f$ » e soddisfa

$\begin{equation*} (g\circ f)(x)=g(f(x)). \end{equation*}$

Si applica prima $f$ e poi $g$ : l’ordine di lettura operativa è da destra verso sinistra.

Inversa e controimmagine

Se $f$ è biiettiva, $f^{-1}\colon B\to A$ indica la funzione inversa e soddisfa

$\begin{equation*} f^{-1}(f(x))=x. \end{equation*}$

Per un sottoinsieme $C\subseteq B$ , la scrittura

$\begin{equation*} f^{-1}(C)=\{x\in A:f(x)\in C\} \end{equation*}$

indica invece la controimmagine di $C$ . Questa notazione ha senso anche quando $f$ non possiede una funzione inversa globale.

Tre scritture da non confondere

$\begin{equation*} f^{-1}(x),\qquad \frac{1}{f(x)},\qquad [f(x)]^{-1}. \end{equation*}$

La prima può indicare l’inversa di $f$ applicata a $x$ ; la seconda è il reciproco del valore $f(x)$ ; la terza, quando $f(x)$ è un numero non nullo, coincide con il reciproco. Il contesto e le ipotesi sulla funzione sono indispensabili.

Restrizione

Se $A_0\subseteq A$ , la notazione $f|_{A_0}$ indica la funzione ottenuta mantenendo la stessa legge di $f$ ma limitando il dominio ad $A_0$ .

Algebra, somme, prodotti e indici

Operazioni elementari

Scrittura	Lettura	Significato
$a+b$	$a$ più $b$	Somma.
$a-b$	$a$ meno $b$	Differenza; il meno davanti a un solo termine, come $-a$ , cambia invece il segno.
$ab$ , $a\cdot b$	$a$ per $b$	Prodotto. La semplice giustapposizione è molto comune.
$\dfrac{a}{b}$	$a$ fratto $b$	Quoziente, definito soltanto se $b\neq 0$ .
$a^n$	$a$ elevato a $n$	Potenza.
$\sqrt[n]{a}$	radice $n$ -esima di $a$	Per $n=2$ si scrive normalmente $\sqrt{a}$ .
$\|a\|$	valore assoluto di $a$	$\|a\|=a$ se $a\geq0$ , $\|a\|=-a$ se $a<0$ .
$\\|\bm{v}\\|$	norma di $\bm{v}$	Misura la grandezza di un vettore o, più in generale, di un oggetto in uno spazio normato.
$n!$	$n$ fattoriale	$n!=1\cdot2\cdots n$ , con $0!=1$ .
$\binom{n}{k}$	$n$ su $k$	Coefficiente binomiale.
$\pm$	più o meno	Rappresenta due possibilità. In coppia con $\mp$ , i segni vanno scelti in modo coordinato.

Sommatorie

La scrittura

$\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}a_k \end{equation*}$

si legge «somma degli $a_k$ per $k$ che va da $1$ a $n$ » e significa

$\begin{equation*} a_1+a_2+\cdots+a_n. \end{equation*}$

Il simbolo $k$ è un indice muto: può essere sostituito con un’altra lettera senza cambiare il valore, per esempio

$\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{j=1}^{n}a_j. \end{equation*}$

Produttorie

Analogamente,

$\begin{equation*} \prod_{k=1}^{n}a_k=a_1a_2\cdots a_n. \end{equation*}$

Il simbolo $\prod$ ordina di moltiplicare i termini, mentre $\sum$ ordina di sommarli.

Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore

Le scritture $\max A$ e $\min A$ indicano, quando esistono, il massimo e il minimo dell’insieme $A$ . I simboli $\sup A$ e $\inf A$ indicano rispettivamente l’estremo superiore e l’estremo inferiore, che possono esistere anche senza appartenere ad $A$ .

Limiti e confronti asintotici

Leggere un limite

La formula

$\begin{equation*} \lim_{x\to x_0}f(x)=L \end{equation*}$

si legge: «il limite di $f(x)$ , per $x$ che tende a $x_0$ , è $L$ ». Descrive il comportamento di $f(x)$ vicino a $x_0$ ; non afferma automaticamente che $f(x_0)$ esista o che sia uguale a $L$ .

Scrittura	Lettura	Interpretazione
$\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)$	limite destro	$x$ si avvicina a $x_0$ assumendo valori maggiori di $x_0$ .
$\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)$	limite sinistro	$x$ si avvicina a $x_0$ assumendo valori minori di $x_0$ .
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$	limite per $x$ che tende a più infinito	Si studia il comportamento per valori di $x$ arbitrariamente grandi.
$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$	limite infinito	$f(x)$ supera ogni soglia positiva quando $x$ è sufficientemente vicino a $x_0$ .
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L$	limite di una successione	I termini $a_n$ si avvicinano a $L$ al crescere di $n$ .

Equivalenza asintotica

La notazione

$\begin{equation*} f(x)\sim g(x)\qquad (x\to x_0) \end{equation*}$

indica normalmente che

$\begin{equation*} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1. \end{equation*}$

Essa esprime che le due funzioni hanno lo stesso comportamento dominante vicino a $x_0$ . Non è una comune uguaglianza e deve sempre essere accompagnata dal punto o dal regime rispetto al quale si considera l’equivalenza.

Piccolo o e grande O

Le scritture

$\begin{equation*} f(x)=o(g(x))\quad (x\to x_0),\qquad f(x)=O(g(x))\quad (x\to x_0) \end{equation*}$

confrontano l’ordine di grandezza di due funzioni. La prima significa, nel caso usuale, che $f(x)/g(x)\to 0$ ; la seconda che $|f(x)|$ resta limitato da una costante multipla di $|g(x)|$ vicino a $x_0$ . Sono notazioni avanzate: la variabile e il punto limite non vanno omessi quando potrebbero esserci ambiguità.

Attenzione a $\infty$

In espressioni come $\infty-\infty$ , $0\cdot\infty$ o $1^\infty$ non si stanno eseguendo operazioni tra numeri ordinari. Queste scritture descrivono forme indeterminate e richiedono lo studio del limite completo.

Derivate, differenziali e derivate parziali

Le notazioni della derivata

Le espressioni

$\begin{equation*} f'(x),\qquad \frac{df}{dx}(x),\qquad \frac{d}{dx}f(x),\qquad Df(x) \end{equation*}$

possono indicare la derivata della funzione $f$ rispetto alla variabile $x$ . Non sono sempre intercambiabili in ogni contesto avanzato, ma in Analisi a una variabile descrivono la stessa idea fondamentale: il tasso di variazione istantaneo. La derivata in un punto si scrive, per esempio,

$\begin{equation*} f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \end{equation*}$

La formula si legge: «la derivata di $f$ in $x_0$ è il limite, per $h$ che tende a zero, del rapporto incrementale».

Derivate di ordine superiore

$\begin{equation*} f''(x),\qquad f'''(x),\qquad f^{(n)}(x) \end{equation*}$

indicano rispettivamente la derivata seconda, terza e $n$ -esima. La scrittura $f^{(n)}$ non è la potenza $f^n$ .

Incrementi e differenziali

$\Delta x$ indica normalmente un incremento finito della variabile $x$ , mentre $dx$ compare nella notazione differenziale e negli integrali. Per una funzione derivabile di una variabile si scrive

$\begin{equation*} df=f'(x)\,dx. \end{equation*}$

Non bisogna identificare senza spiegazione $\Delta f$ con $df$ : il primo rappresenta una variazione effettiva, il secondo la sua approssimazione lineare infinitesima nel contesto del differenziale.

Funzioni di più variabili

Se $f=f(x,y)$ , le derivate parziali

$\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \end{equation*}$

misurano la variazione rispetto a una variabile mantenendo fissata l’altra. Il simbolo $\partial$ distingue la derivazione parziale dalla derivazione ordinaria $d/dx$ . Il gradiente è il vettore

$\begin{equation*} \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right). \end{equation*}$

Il simbolo $\nabla$ si legge «nabla»; combinato con un campo vettoriale può anche comparire nella divergenza $\nabla\cdot\bm{F}$ o nel rotore $\nabla\times\bm{F}$ .

Integrali e serie

Integrale indefinito

La scrittura

$\begin{equation*} \int f(x)\,dx=F(x)+C \end{equation*}$

significa che $F'(x)=f(x)$ e che tutte le primitive differiscono per una costante $C$ . Il simbolo $dx$ indica la variabile rispetto alla quale si integra.

Integrale indefinito

$\begin{equation*} \int_a^b f(x)\,dx \end{equation*}$

si legge «integrale da $a$ a $b$ di $f(x)$ in $dx$ ». Quando $f$ è integrabile, il risultato è un numero. Se $F'=f$ , il teorema fondamentale del calcolo fornisce

$\begin{equation*} \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b. \end{equation*}$

Integrali impropri

La scrittura

$\begin{equation*} \int_a^{+\infty}f(x)\,dx \end{equation*}$

è un’abbreviazione per un limite, per esempio

$\begin{equation*} \lim_{R\to+\infty}\int_a^R f(x)\,dx. \end{equation*}$

L’infinito non è un estremo numerico da sostituire direttamente nella funzione.

Integrali multipli e curvilinei

Per una funzione di due variabili,

$\begin{equation*} \iint_D f(x,y)\,dx\,dy \end{equation*}$

indica un integrale doppio sul dominio $D$ . La scrittura

$\begin{equation*} \int_\gamma \bm{F}\cdot d\bm{r} \end{equation*}$

indica un integrale lungo la curva $\gamma$ . Il piccolo cerchio in $\oint$ segnala normalmente che la curva è chiusa.

Serie numeriche

La serie

$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty}a_n \end{equation*}$

non è una somma con un «ultimo termine infinito». È il limite delle somme parziali

$\begin{equation*} S_N=\sum_{n=0}^{N}a_n \end{equation*}$

quando $N\to\infty$ . Scrivere

$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty}a_n=S \end{equation*}$

significa che la successione $(S_N)$ converge a $S$ .

Vettori, matrici e notazione in più dimensioni

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Scrittura	Lettura	Significato tipico
$\bm{x}=(x_1,\ldots,x_n)$	vettore $\bm{x}$	Punto o vettore di $\mathbb{R}^n$ .
$\mathbb{R}^n$	spazio reale $n$ -dimensionale	Prodotto cartesiano di $n$ copie di $\mathbb{R}$ .
$\bm{u}\cdot\bm{v}$ oppure $\langle\bm{u},\bm{v}\rangle$	prodotto scalare	Numero che misura anche l’angolo tra i vettori.
$\\|\bm{v}\\|$	norma di $\bm{v}$	Lunghezza o grandezza del vettore.
$A^{\mathsf{T}}$	trasposta di $A$	Matrice ottenuta scambiando righe e colonne.
$A^{-1}$	inversa di $A$	Matrice che soddisfa $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ , quando esiste.
$\det A$	determinante di $A$	Numero associato a una matrice quadrata.
$I_n$	matrice identità di ordine $n$	Elemento neutro del prodotto tra matrici quadrate.
$\bm{0}$	vettore nullo	Vettore con tutte le componenti nulle.
$Df(\bm{x})$	derivata totale o Jacobiana	Applicazione lineare che approssima $f$ vicino a $\bm{x}$ .
$H_f(\bm{x})$	matrice Hessiana	Matrice delle derivate parziali seconde.

Una convenzione grafica utile

Molti testi scrivono i vettori in grassetto, come $\bm{v}$ , e gli scalari in carattere normale, come $v$ . Non tutti gli autori adottano questa scelta: a volte si usano frecce, per esempio $\vec{v}$ . La sezione «Notazioni» della dispensa ha sempre la precedenza.

Tradurre una formula completa

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Esempio 1: dominio espresso come insieme

$\begin{equation*} D=\{x\in\mathbb{R}:x\neq 1\}. \end{equation*}$

Traduzione: $D$ è l’insieme di tutti i numeri reali diversi da $1$ .

Scomposizione: $D=$ assegna un nome all’insieme; le graffe delimitano gli elementi; $x\in\mathbb{R}$ specifica il tipo di oggetto; $:$ si legge «tale che»; $x\neq 1$ impone la condizione.

Esempio 2: dichiarazione di una funzione

$\begin{equation*} f\colon D\to\mathbb{R},\qquad x\mapsto\frac{x+1}{x-1}. \end{equation*}$

Traduzione: $f$ è una funzione definita su $D$ , a valori reali, che associa a ogni $x$ il quoziente $(x+1)/(x-1)$ .

Esempio 3: derivata in un punto

$\begin{equation*} f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \end{equation*}$

Traduzione: la derivata di $f$ nel punto $x_0$ è il limite, quando l’incremento $h$ tende a zero, del rapporto tra l’incremento della funzione e l’incremento della variabile.

Esempio 4: implicazione matematica

$\begin{equation*} x>2\Rightarrow x^2>4. \end{equation*}$

Traduzione: se $x$ è maggiore di $2$ , allora $x^2$ è maggiore di $4$ . L’implicazione inversa non è vera per tutti i reali: da $x^2>4$ si ricava $x>2$ oppure $x<-2$ . Per questo non si può sostituire $\Rightarrow$ con $\Leftrightarrow$ .

Esempio 5: formula integrale

Sotto l’ipotesi $F'=f$ ,

$\begin{equation*} \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). \end{equation*}$

Traduzione: l’integrale definito di $f$ tra $a$ e $b$ è uguale al valore di una primitiva in $b$ meno il suo valore in $a$ .

Strategia pratica

Quando una formula sembra troppo compatta, conviene aggiungere mentalmente verbi e connettivi: «è», «appartiene», «tale che», «se… allora», «per ogni», «esiste». La notazione matematica comprime una frase; comprenderla significa ricostruire quella frase senza perdere le condizioni.

Dieci confusioni molto frequenti

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$x\in A$ significa che $x$ è un elemento; $B\subseteq A$ significa che $B$ è un insieme contenuto in $A$ .
$f\colon A\to B$ dichiara la funzione; $x\mapsto f(x)$ descrive che cosa essa fa a un elemento.
$f^{-1}$ non significa $1/f$ . L’una è una funzione inversa, l’altra è un reciproco.
$P\Rightarrow Q$ non implica automaticamente $Q\Rightarrow P$ .
$\lim_{x\to x_0}f(x)=L$ non garantisce da solo che $f(x_0)=L$ .
$\int f(x)\,dx$ rappresenta una famiglia di primitive e richiede la costante $+C$ .
$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ è un limite di somme parziali, non una somma con un indice finale «uguale a infinito».
$a_n$ è normalmente un termine indicizzato, non il prodotto $a\cdot n$ .
$\infty$ non è un numero reale e non si manipola sempre con le normali regole algebriche.
Simboli come $\sim$ , $*$ , $'$ e $\subset$ possono seguire convenzioni diverse: in caso di dubbio si controlla la sezione «Notazioni» della dispensa.

Glossario rapido dei simboli

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Simbolo	Lettura principale	Promemoria
$+$	più	Somma o segno positivo.
$-$	meno	Differenza o segno opposto.
$\cdot,\times$	per	Prodotto; $\times$ può anche indicare prodotto cartesiano.
$/$ , $\frac{a}{b}$	diviso, fratto	Quoziente; il denominatore deve essere non nullo.
$:$	due punti	Dichiarazione di funzione, «tale che», rapporto o parte di $\coloneqq$ , decide il contesto.
$=$	uguale	Stesso oggetto o stesso valore.
$\neq$	diverso da	Negazione dell’uguaglianza.
$\coloneqq$	definito come	Introduce una definizione.
$<,>$	minore, maggiore	Confronto stretto.
$\leq,\geq$	minore o uguale, maggiore o uguale	Confronto non stretto.
$\approx$	circa uguale	Approssimazione.
$\equiv$	identicamente uguale; congruo	Il significato preciso dipende dall’ambito.
$\sim$	equivalente; asintotico	In Analisi spesso il rapporto tende a $1$ .
$\propto$	proporzionale a	Una grandezza è una costante multipla dell’altra.
$\pm$	più o meno	Due possibilità di segno.
$\|x\|$	valore assoluto	Distanza di $x$ da zero.
$\\|\bm{v}\\|$	norma	Grandezza di un vettore o elemento.
$\sqrt{x}$	radice quadrata	Radice principale non negativa, per $x\geq 0$ nei reali.
$x^n$	$x$ alla $n$	Potenza.
$x_n$	$x$ con pedice $n$	Elemento indicizzato.
$n!$	$n$ fattoriale	Prodotto degli interi da $1$ a $n$ .
$\infty$	infinito	Comportamento illimitato; non numero reale ordinario.
$\forall$	per ogni	Quantificatore universale.
$\exists$	esiste	Quantificatore esistenziale.
$\exists!$	esiste unico	Esistenza e unicità.
$\nexists$	non esiste	Negazione dell’esistenza.
$\neg$	non	Negazione logica.
$\land$	e	Congiunzione logica.
$\lor$	oppure	Disgiunzione logica, normalmente inclusiva.
$\Rightarrow$	implica	Conseguenza logica.
$\Leftrightarrow$	se e solo se	Equivalenza logica.
$\in$	appartiene a	Relazione tra elemento e insieme.
$\notin$	non appartiene a	Negazione dell’appartenenza.
$\subseteq$	è contenuto in	Inclusione tra insiemi, eventualmente con uguaglianza.
$\subsetneq$	è strettamente contenuto in	Inclusione senza uguaglianza.
$\cup$	unione	Elementi presenti in almeno uno degli insiemi.
$\cap$	intersezione	Elementi comuni.
$\setminus$	meno insiemistico	Elementi del primo insieme esclusi quelli del secondo.
$\varnothing$	insieme vuoto	Nessun elemento.
$A^c$	complementare di $A$	Elementi esterni ad $A$ nell’insieme ambiente.
$A\times B$	prodotto cartesiano	Coppie ordinate $(a,b)$ .
$\mathbb{N}$	numeri naturali	Verificare se lo zero è incluso.
$\mathbb{Z}$	numeri interi	Positivi, negativi e zero.
$\mathbb{Q}$	numeri razionali	Rapporti di interi con denominatore non nullo.
$\mathbb{R}$	numeri reali	Retta reale.
$\mathbb{C}$	numeri complessi	Numeri della forma $a+ib$ .
$\to$	va in; tende a	Funzione oppure limite, secondo la posizione.
$\mapsto$	viene mandato in	Regola di associazione di una funzione.
$\circ$	composto	$(g\circ f)(x)=g(f(x))$ .
$f^{-1}$	inversa di $f$	Da non confondere con $1/f$ .
$f\|_A$	restrizione di $f$ ad $A$	Dominio limitato ad $A$ .
$\lim$	limite	Comportamento vicino a un punto o all’infinito.
$\sum$	sommatoria	Somma di termini indicizzati.
$\prod$	produttoria	Prodotto di termini indicizzati.
$\int$	integrale	Accumulazione o famiglia di primitive.
$dx$	differenziale di $x$	Variabile di integrazione o differenziale.
$\frac{d}{dx}$	derivata rispetto a $x$	Operatore di derivazione ordinaria.
$\partial$	derivata parziale	Per funzioni di più variabili.
$\nabla$	nabla	Gradiente, divergenza o rotore a seconda dell’operazione.
$\iint$	integrale doppio	Integrazione su un dominio bidimensionale.
$\oint$	integrale su curva chiusa	Il cerchio segnala la chiusura del percorso.
$\det A$	determinante di $A$	Associato a una matrice quadrata.
$A^{\mathsf{T}}$	trasposta di $A$	Righe e colonne scambiate.
$A^{-1}$	inversa di $A$	Esiste soltanto per matrici invertibili.

Conclusione

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Imparare la notazione matematica non significa memorizzare una traduzione rigida per ogni segno. Significa riconoscere il tipo degli oggetti, osservare la posizione del simbolo e ricostruire la frase completa espressa dalla formula. Con l’abitudine, molte scritture che inizialmente sembrano compatte diventano una lingua leggibile e precisa.

Quando si chiede un chiarimento

È utile riportare sempre l’intera formula, oppure allegare uno screenshot che mostri anche la riga precedente e quella successiva. Un simbolo isolato può avere più significati; il contesto consente di individuare quello corretto e di spiegare non soltanto «come si legge», ma anche perché viene usato.

Testi degli esercizi

Prova a tradurre

Esercizio 1. $A=\{n\in\mathbb{N}: n\text{ è pari}\}$

Svolgimento

$A$

è l’insieme dei numeri naturali pari.