Quesito teorico 3 ripasso algebra biennio liceo – Calcolo della distanza tra un punto e retta

Ripasso geometria analitica

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Quesito teorico 2.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Dimostrare la formula della distanza di un punto da una retta.

 

Svolgimento.  Consideriamo l’equazione della retta r nella forma y=mx+q e indichiamo con P=(x_0,y_0) il punto del quale vogliamo calcolare la distanza. Poiché per definizione tale distanza coincide con la distanza che il punto P ha dal punto H appartenente alla retta r che si ottiene come intersezione di questa con la retta perpendicolare s ad r passante per P, per prima cosa determiniamo s. Il suo coefficiente angolare è m'=-1/m e quindi l’equazione di s è

    \[y-y_0=-\frac{1}{m}(x-x_0).\]

L’intersezione tra r ed s è allora

    \[r\cap s=H=\left(\frac{x_0+my_0-mq}{m^2+1},\frac{mx_0+m^2y_0+q}{m^2+1}\right).\]

La distanza tra i punti P ed H è allora:

    \[|PH|=\sqrt{\left(\frac{x_0+my_0-mq}{m^2+1}-x_0\right)^2+\left(\frac{mx_0+m^2y_0+q}{m^2+1}-y_0\right)^2},\]

da cui

    \[|PH|=\sqrt{\frac{(m^2+1)(mx_0+q-y_0)^2}{(m^2+1)^2}}=\frac{|mx_0+q-y_0|}{\sqrt{m^2+1}},\]

che è la formula cercata. Per ricavare una formulazione differente, basta ricordare che se l’equazione della retta è della forma ax+by+c=0, allora m=-a/b, q=-c/b e sostituire questi valori nella precedente.