Quesito teorico 2. 
Dimostrare la formula della distanza di un punto da una retta.
Svolgimento. Consideriamo l’equazione della retta 
nella forma 
e indichiamo con 
il punto del quale vogliamo calcolare la distanza. Poiché per definizione tale distanza coincide con la distanza che il punto 
ha dal punto 
appartenente alla retta che si ottiene come intersezione di questa con la retta perpendicolare 
ad passante per , per prima cosa determiniamo . Il suo coefficiente angolare è 
e quindi l’equazione di è
![\[y-y_0=-\frac{1}{m}(x-x_0).\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c3a138890d85b6fad2c510b4c914195_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
L’intersezione tra ed è allora
![\[r\cap s=H=\left(\frac{x_0+my_0-mq}{m^2+1},\frac{mx_0+m^2y_0+q}{m^2+1}\right).\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c3d17abb1065166ad2b8e2caba8dc03_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La distanza tra i punti ed è allora:
![\[|PH|=\sqrt{\left(\frac{x_0+my_0-mq}{m^2+1}-x_0\right)^2+\left(\frac{mx_0+m^2y_0+q}{m^2+1}-y_0\right)^2},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3939761364686563f629cb9d434a8e96_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
da cui
![\[|PH|=\sqrt{\frac{(m^2+1)(mx_0+q-y_0)^2}{(m^2+1)^2}}=\frac{|mx_0+q-y_0|}{\sqrt{m^2+1}},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4ad660825612172b521b74ad9ba30941_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che è la formula cercata. Per ricavare una formulazione differente, basta ricordare che se l’equazione della retta è della forma 
, allora 
e sostituire questi valori nella precedente.