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Distanza tra punto e retta – la formula

Ripasso geometria analitica

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Come si calcola la distanza tra un punto e una retta nel piano cartesiano? E cosa si intende per distanza tra un punto e una retta?
In questo articolo rispondiamo a questa domanda in maniera chiara e concisa, fornendo la formula per il calcolo della distanza tra un punto e una retta e la sua semplice spiegazione.

In breve, per distanza tra un punto P e una retta r del piano si intende la minima distanza tra P e i punti di r. Come si calcola questo valore? Geometricamente, il punto Q di r che minimizza la distanza da P è quello che si trova sulla retta s perpendicolare a r e passante per P. Una volta individuata tale retta s, è semplice trovare le coordinate di Q e quindi determinare la distanza tra questi punti. In questo articolo spieghiamo passo per passo la formula per il calcolo della distanza tra un punto e una retta, seguendo questa semplice intuizione geometrica.

Oltre al nostro materiale su Piano cartesiano e retta consigliamo i seguenti articoli su argomenti correlati:

Buona lettura!

 

Quesito teorico 2.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Dimostrare la formula della distanza di un punto da una retta.

 

Svolgimento.  Consideriamo l’equazione della retta r nella forma y=mx+q e indichiamo con P=(x_0,y_0) il punto del quale vogliamo calcolare la distanza. Poiché per definizione tale distanza coincide con la distanza che il punto P ha dal punto H appartenente alla retta r che si ottiene come intersezione di questa con la retta perpendicolare s ad r passante per P, per prima cosa determiniamo s. Il suo coefficiente angolare è m'=-1/m e quindi l’equazione di s è

\[y-y_0=-\frac{1}{m}(x-x_0).\]

L’intersezione tra r ed s è allora

\[r\cap s=H=\left(\frac{x_0+my_0-mq}{m^2+1},\frac{mx_0+m^2y_0+q}{m^2+1}\right).\]

La distanza tra i punti P ed H è allora:

\[|PH|=\sqrt{\left(\frac{x_0+my_0-mq}{m^2+1}-x_0\right)^2+\left(\frac{mx_0+m^2y_0+q}{m^2+1}-y_0\right)^2},\]

da cui

\[|PH|=\sqrt{\frac{(m^2+1)(mx_0+q-y_0)^2}{(m^2+1)^2}}=\frac{|mx_0+q-y_0|}{\sqrt{m^2+1}},\]

che è la formula cercata. Per ricavare una formulazione differente, basta ricordare che se l’equazione della retta è della forma ax+by+c=0, allora m=-a/b, q=-c/b e sostituire questi valori nella precedente.

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
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  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
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