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Esercizio 13.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Data la seguente equazione

    \[x^3-2x+1=0\]

nell’incognita reale x, determinare l’insieme risolutivo.

 

Svolgimento. Il polinomio p(x)=x^3-2x+1 è fattorizzabile applicando la regola di Ruffini, procediamo quindi trovando, tra i divisori del termine noto, il numero che annulla il polinomio. Il termine noto è pari a 1 e i suoi divisori sono \pm1, quindi ad esempio possiamo sostituire x=1 in p(x), e otteniamo:

    \[p(1)=1^3-2\cdot1+1=0\]

da cui

    \begin{equation*} \begin{tabular}{l|lll|l} & 1 & 0 & -2 &1\\ 1 & & & & \\ \cline{1-5} & & & & \\ \end{tabular} \quad\longrightarrow\quad \begin{tabular}{l|lll|l} & 1 & 0 & -2 &1\\ 1 & & & & \\ \cline{1-5} & 1 & & & \\ \end{tabular} \quad\longrightarrow\quad \begin{tabular}{l|lll|l} & 1 & 0 & -2 &1\\ 1 & & 1& & \\ \cline{1-5} & 1 & 1& & \\ \end{tabular} \end{equation*}

    \begin{equation*} \begin{tabular}{l|lll|l} & 1 & 0 & -2 &1\\ 1 & & -1& +1 & \\ \cline{1-5} & 1 & 1& -1 & \\ \end{tabular} \quad\longrightarrow\quad \begin{tabular}{l|lll|l} & 1 & 0 & -2 &1\\ 1 & & -1& +1 & -1\\ \cline{1-5} & 1 & 1& -1 & 0 \\ \end{tabular} \end{equation*}

Pertanto il polinomio p(x) può essere riscritto come segue:

    \[p(x)=x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1),\]

e quindi

    \[(x-1)(x^2+x-1)=0.\]

Risolviamo

    \[(x-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad x=1\]

e

    \[x^2+x-1=0\]

che ha come soluzione

    \[\Delta=1^2-4\cdot(-1)=5,\quad x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2},\]

da cui si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{\frac{-1-\sqrt{5}}{2},1,\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right\}.}\]

Altrimenti si poteva procedere osservando che

    \[\begin{aligned} &x^3-2x+1=x^3-x-x+1=x(x^2-1)-(x-1)=x(x-1)(x+1)-(x-1)=\\ &=(x-1)(x(x+1)-1)=(x-1)(x^2+x-1), \end{aligned}\]

pertanto

    \[(x-1)(x^2+x-1)=0,\]

concludendo nuovamente con le medesime soluzioni.

Fonte: clicca qui