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Esercizi svolti sugli integrali impropri con parametro

Esercizi sugli Integrali Impropri

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Sommario

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Questa dispensa raccoglie 40 esercizi svolti sugli integrali impropri parametrici, selezionati con l’obiettivo di guidare lo studente nell’analisi della convergenza o divergenza degli integrali al variare di uno o più parametri. Gli esercizi sono suddivisi per difficoltà — semplici, intermedi e avanzati — e affrontano una vasta gamma di casi significativi.

Ogni esercizio è svolto con cura e dettaglio, senza tralasciare passaggi fondamentali, rendendo questa raccolta uno strumento utile non solo per gli studenti del corso di Analisi Matematica 1, ma anche per appassionati e chiunque desideri approfondire il tema degli integrali impropri in presenza di parametri.


 
 

Autori e revisori

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Autori: Cesare Malagù, Valerio Brunetti.

Revisori: Chiara Gambicchia, Sara Sottile.


 
 

Notazioni

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\mathbb{N}    insieme dei numeri naturali;
\mathbb{Z}    insieme dei numeri relativi;
\mathbb{Q}    insieme dei numeri razionali;
\mathbb{R}    insieme dei numeri reali;
\mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}    insieme esteso dei numeri reali;
\sim    f(x)\sim g(x) \iff lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1;
o(\cdot)    f(x)=o(g(x)) \iff lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0;
O(\cdot)    f(x)=O(g(x)) \iff \exists\, C > 0,x_0 > 0 \text{ tali che } \forall x > x_0, |f(x)| \leq C \cdot |g(x)|.


 
 

Introduzione

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Nello studio degli integrali impropri, il primo passo consiste spesso nell’analizzare la convergenza dell’integrale stesso. Questo consente di stabilire, già a priori, se l’integrale converge, facendo uso di criteri specifici come:

\[\quad\]

  • il criterio del confronto asintotico;

    •  

  • il teorema del confronto (nel caso in cui la funzione integranda mantenga segno costante nell’intervallo di integrazione);

    •  

  • in caso contrario, criteri quali la convergenza assoluta o il criterio di Dirichlet;

    •  

  • tecniche particolari, come l’integrazione per parti, applicabili in situazioni specifiche.

Tutti questi risultati sono presentati con rigore e chiarezza sulla dispensa di Teoria sugli integrali impropri.

La presente raccolta rappresenta il naturale proseguimento della seguente dispensa di Esercizi svolti sugli integrali impropri in cui sono stati proposti 39 esercizi, tutti risolti analizzando preventivamente la convergenza mediante il criterio opportuno, e successivamente eseguendo il calcolo nel caso di convergenza.

Questa nuova raccolta contiene 38 esercizi svolti incentrati sullo studio della convergenza degli integrali impropri al {variare di un parametro reale} \beta. Gli esercizi sono suddivisi in livelli di difficoltà (semplici, intermedi e complessi) e mirano a rafforzare le competenze analitiche dello studente o dell’appassionato, affinando le tecniche di problem solving legate a questo argomento fondamentale.


 
 

Richiami di teoria

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Tutta la teoria e i criteri adottati sono illustrati nella dispensa Teoria sugli integrali impropri.

Riassumiamo nel seguito i criteri fondamentali provare la convergenza.

Teorema 1 (criterio del confronto). Sia I:=[a,b) con -\infty< a < b \le +\infty e siano f,g\colon [a,b)\to[0,+\infty) due funzioni non negative e localmente integrabili su [a,b). Assumiamo che

\[0\le f(x)\le g(x)\quad\text{per ogni $x\in [a,b)$}.\]

Se l’integrale generalizzato di g è convergente su \overline I, allora anche l’integrale generalizzato di f è convergente su \overline I e si ha

\[0\le\int_a^b f(t)\,dt\le \int_a^b g(t)\,dt.\]

Se invece l’integrale generalizzato di f è divergente su \overline I, allora anche l’integrale generalizzato di g è divergente su \overline I.

Teorema 2 (criterio del confronto asintotico). Sia I:=[a,b) con -\infty < a < b \le +\infty e consideriamo due funzioni non negative f,g\colon [a,b)\to[0,+\infty) localmente integrabili su I. Supponiamo che g sia strettamente positiva in un intorno sinistro di b e che f e g siano asintoticamente equivalenti per x\to b^- (f\sim g per x\to b^-), cioè che esista finito e non nullo il limite

\[\lim_{x\to b^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda\in(0,+\infty).\]

Allora l’integrale generalizzato di f è convergente (divergente) su \overline I se e solo se l’integrale generalizzato di g è convergente (divergente) su \overline I.

\[\quad\]

Si ha anche il seguente corollario:

Corollario 1. Siano -\infty<a<b<+\infty.

\[\quad\]

  1. Sia f\colon [a,+\infty)\to [0,+\infty) una funzione non negativa e localmente integrabile su [a,+\infty). Supponiamo che esista \alpha\in\mathbb R tale che

    \[\lim_{x\to +\infty}x^\alpha f(x)=\lambda\in(0,+\infty).\]

    Se \alpha>1 l’integrale generalizzato di f converge su [a,+\infty), mentre se \alpha\le 1 l’integrale di f diverge su [a,+\infty).

    2.  

  2. Sia f\colon [a,b)\to [0,+\infty) una funzione non negativa e localmente integrabile su [a,b). Supponiamo che esista \beta\in\mathbb R tale che

    \[\lim_{x\to b^-}(b-x)^\beta f(x)=\lambda\in(0,+\infty).\]

    Se \beta<1 l’integrale generalizzato di f converge su [a,b], mentre se \beta\ge 1 l’integrale di f diverge su [a,b].

\[\quad\]

Sia ora f\colon I\to\mathbb R una qualsiasi funzione localmente integrabile su un intervallo I\subseteq\mathbb R. Se f non ha segno costante su I, allora non possiamo applicare i criteri precedenti per studiare la convergenza del suo integrale generalizzato su \overline I. Tuttavia a |f| possiamo applicare i criteri precedenti, e da ciò dedurre delle informazioni su f.

Teorema 3. Sia I:=[a,b) con -\infty<a<b\le +\infty e sia f\colon I\to\mathbb R una funzione localmente integrabile su I. Se |f|\colon I\to [0,+\infty) è integrabile in senso generalizzato su \overline I, allora anche f è integrabile in senso generalizzato su \overline I. In particolare

\[\left|\int_a^b f(t)\,dt\right|\le \int_a^b|f(t)|\,dt.\]

\[\quad\]

Infine, riepiloghiamo i criteri di convergenza di alcuni integrali noti nella seguente tabella.

\[\quad\]

Tabella Integrali Generalizzati

Integrale generalizzato Converge Diverge
\int_a^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha (\ln t)^\beta e^{\gamma t}}\,dt,\quad a \in (1, +\infty) \gamma > 0,\ \alpha \in \mathbb{R},\ \beta \in \mathbb{R} \gamma = 0,\ \alpha > 1,\ \beta \in \mathbb{R} \gamma = 0,\ \alpha = 1,\ \beta > 1 \gamma < 0,\ \alpha \in \mathbb{R},\ \beta \in \mathbb{R} \gamma = 0,\ \alpha < 1,\ \beta \in \mathbb{R} \gamma = 0,\ \alpha = 1,\ \beta \le 1
\int_0^a \frac{1}{t^\alpha (-\ln t)^\beta e^{\gamma t}}\,dt,\quad a \in (0, 1) \alpha < 1,\ \beta \in \mathbb{R},\ \gamma \in \mathbb{R} \alpha = 1,\ \beta > 1,\ \gamma \in \mathbb{R} \alpha > 1,\ \beta \in \mathbb{R},\ \gamma \in \mathbb{R} \alpha = 1,\ \beta \le 1,\ \gamma \in \mathbb{R}
\int_a^1 \frac{1}{t^\alpha (-\ln t)^\beta e^{\gamma t}}\,dt,\quad a \in (0, 1) \beta < 1,\ \alpha \in \mathbb{R},\ \gamma \in \mathbb{R} \beta \ge 1,\ \alpha \in \mathbb{R},\ \gamma \in \mathbb{R}
\int_1^a \frac{1}{t^\alpha (\ln t)^\beta e^{\gamma t}}\,dt,\quad a \in (1, +\infty) \beta < 1,\ \alpha \in \mathbb{R},\ \gamma \in \mathbb{R} \beta \ge 1,\ \alpha \in \mathbb{R},\ \gamma \in \mathbb{R}

Tabella 1: criteri di convergenza per \displaystyle \int\!\frac{dt}{t^\alpha(\ln t)^\beta e^{\gamma t}}.

\[\quad\]


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire per quali valori di \beta\in\mathbb{R} l’integrale improprio

\[ I(\beta)=\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\,(x+2)^{\beta}}\;dx \]

è convergente.

Svolgimento.

  1. Considerazioni preliminari. Posto

    \[ f_\beta(x)=\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\,(x+2)^{\beta}}, \qquad \beta\in\mathbb R , \]

    osserviamo che (x+2)^{\beta} è ben definita solo per x>-2 e 1+x^{2}\neq 0 per ogni x\in\mathbb R. Il dominio naturale di f_\beta è quindi

    \[ D=(-2,+\infty). \]

    Sull’intervallo di integrazione [1,+\infty)\subset D la funzione è continua e strettamente positiva, perciò è lecito applicare il criterio del confronto asintotico. L’integrale improprio può essere non convergente solo per x\to+\infty.

    2.  

  2. Comportamento per \boldsymbol{x\to+\infty}. Si ha

    \[ 1+x^{2}\sim x^{2}, \qquad (x+2)^{\beta}\sim x^{\beta}, \]

    e dunque

    \[ f_{\beta}(x)=\frac{1}{(1+x^{2})(x+2)^{\beta}} \;\sim\; \frac{1}{x^{2}\,x^{\beta}} =x^{-(\beta+2)}. \]

    3.  

  3. Funzione di confronto. Definiamo

    \[ g_\beta(x)=x^{-(\beta+2)}, \]

    cosicché f_\beta e g_\beta condividono lo stesso carattere di integrabilità all’infinito.

    4.  

  4. Convergenza dell’integrale di confronto.

    \[ \int_{1}^{+\infty} g_\beta(x)\,dx =\int_{1}^{+\infty} x^{-(\beta+2)}\,dx \quad\text{converge} \iff \beta+2>1 \;\Longleftrightarrow\; \beta>-1. \]

    5.  

  5. Conclusione (criterio del confronto asintotico). L’integrale improprio I(\beta) converge se e solo se

    \[\boxcolorato{analisi}{ \displaystyle \beta>-1. }\]


Osservazione 1.

Perché il dominio è (-2,+\infty)?

La funzione

\[ f_{\beta}(x)=\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\,(x+2)^{\beta}},\qquad \beta\in\mathbb{R}, \]

contiene due fattori nel denominatore:

\[\quad\]

  1. \displaystyle 1+x^{2}. Poiché x^{2}\ge 0\;\forall x\in\mathbb{R}, si ha

    \[ 1+x^{2}\;>\;0\quad\forall x\in\mathbb{R}, \]

    quindi questo termine non impone restrizioni di dominio.

    2.  

  2. \displaystyle (x+2)^{\beta}. Per dare un senso reale alla potenza (x+2)^{\beta} con \beta arbitrario (non necessariamente intero o razionale con denominatore dispari) occorre che la {base} sia strettamente positiva:

    \[ x+2 > 0\;\;\Longrightarrow\;\;x>-2. \]

    Se x+2\le 0 il valore di (x+2)^{\beta} ricade, in generale, nei numeri complessi (fatto che esula dallo studio degli integrali di funzioni reali su intervalli reali).

Poiché l’unica condizione aggiuntiva proviene dal secondo fattore, il dominio complessivo della funzione è

\[\boxcolorato{analisi}{ \displaystyle D_{f_{\beta}}=(-2,+\infty). }\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire per quali valori di \beta\in\mathbb{R} l’integrale improprio

\[ I(\beta)=\displaystyle\int_{2}^{+\infty} \frac{\ln^\beta\left(1+\frac{1}{x}\right)} {\sqrt{x}+1}\,dx \]

è convergente.

Svolgimento.

  1. Considerazioni preliminari. Sia

    \[ f_\beta(x)=\frac{\left[\ln\left(1+\dfrac1x\right)\right]^{\beta}} {\sqrt{x}+1}, \qquad \beta\in\mathbb R . \]

    Il denominatore impone x\ge 0 e non si annulla mai perché \sqrt{x}+1>0. Il logaritmo richiede 1+\dfrac1x>0, cioè x<-1 oppure x>0; inoltre \ln^\beta\left(1+\frac{1}{x}\right) richiede \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)>0, ossia x>0. Mettendo assieme tutte queste informazioni otteniamo

    \[ D=(0,+\infty). \]

    Poiché l’integrazione avviene su [2,+\infty)\subset D, l’integranda è continua e strettamente positiva. L’integrale improprio può fallire di convergere solo quando x\to+\infty.

    2.  

  2. Comportamento per \boldsymbol{x\to+\infty}. Per x\to+\infty valgono le seguenti equivalenze:1

    \[ \ln\left(1+\dfrac1x\right)\sim\frac1x, \qquad \frac{1}{\sqrt{x}+1}\sim\frac{1}{\sqrt{x}}. \]

    Ne segue

    \[ \bigl[\ln(1+\dfrac1x)\bigr]^{\beta}\!\sim x^{-\beta}, \qquad f_\beta(x) =\frac{\bigl[\ln(1+\dfrac1x)\bigr]^{\beta}}{\sqrt{x}+1} \sim x^{-\beta}\,x^{-\frac12}=x^{-(\beta+\frac12)}. \]

    3.  

  3. Criterio del confronto asintotico. Poniamo g(x)=x^{-(\beta+\frac12)}. Poiché f_\beta(x)\sim g(x), gli integrali

    \[ \int_{2}^{+\infty}f_\beta(x)\,dx \quad\text{e}\quad \int_{2}^{+\infty}g(x)\,dx \]

    hanno lo stesso carattere di convergenza. Ora

    \[ \int_{2}^{+\infty}x^{-p}\,dx \quad\text{converge} \iff p>1, \]

    da cui, ponendo p=\beta+\dfrac12, si ha convergenza se e solo se

    \[ \beta+\frac12>1 \;\Longleftrightarrow\; {\;\beta>\frac12\;}. \]

    4.  

  4. Conclusione. L’integrale improprio I(\beta) converge se e solo

    \[\boxcolorato{analisi}{ \displaystyle \beta > \frac12. }\]

   

  1. Si ha:

    \[ \frac{1}{\sqrt{x}+1} =\frac{1}{\sqrt{x}\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)} =\frac{1}{\sqrt{x}}\, \frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{x}}} =\frac{1}{\sqrt{x}}\,[1+o(1)] \sim\frac{1}{\sqrt{x}}\qquad(x\to+\infty). \]

    ↩


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire per quali valori di \beta\in\mathbb{R} l’integrale improprio

\[ I(\beta)=\int_{2}^{+\infty} \frac{ \arctan(x+7)}{ x\left(\log(x+2)\right)^{\beta}}\,dx \]

è convergente.

Svolgimento.

  1. Considerazioni preliminari. Sia

    \[ f_\beta(x)=\frac{\arctan(x+7)}{x\,[\log(x+2)]^{\beta}}, \qquad \beta\in\mathbb R . \]

    Il fattore \log(x+2) è definito e positivo se e solo se x>-1; il fattore x richiede x\neq 0. Il dominio risulta quindi

    \[ D=(-1,0)\,\cup\,(0,+\infty). \]

    Poiché integriamo su [2,+\infty)\subset D, l’integranda è continua e strettamente positiva sull’intervallo, condizione che consente di applicare il criterio del confronto asintotico. L’integrale può divergere solo per x\to+\infty.

    2.  

  2. Comportamento per \boldsymbol{x\to+\infty}. Si hanno le equivalenze2

    \[ \arctan(x+7)\sim\frac{\pi}{2},\qquad x[\log(x+2)]^{\beta}\sim x(\log x)^{\beta}, \]

    perciò

    \[ f_\beta(x) \sim \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{x(\log x)^{\beta}} =\frac{\pi}{2}\,x^{-1}(\log x)^{-\beta}. \]

    È noto, dalla tabella 1, che:

    \[ \int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x(\log x)^{\beta}}\;dx \quad \begin{cases} \text{converge} & \text{se }\beta>1,\\ \text{diverge} & \text{se }\beta\le 1. \end{cases} \]

    3.  

  3. Conclusione (criterio del confronto asintotico). Poiché f_\beta(x)\sim\frac{\pi}{2}x^{-1}(\log x)^{-\beta }, l’integrale improprio

    \[ I(\beta)=\int_{2}^{+\infty} \frac{\arctan(x+7)}{x\,[\log(x+2)]^{\beta}}\;dx \]

    converge se e solo se

    \[\boxcolorato{analisi}{ \displaystyle \beta >1. }\]

   

  1. Per il denominatore vale:

    \[ x[\log(x+2)]^{\beta} =x\left(\log x+\log(1+2/x)\right)^{\beta} =x(\log x)^{\beta} \left(1+\frac{\log(1+2/x)}{\log x}\right)^{\beta} =x(\log x)^{\beta}[1+o(1)]\sim x(\log x)^{\beta}. \]

    ↩


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire per quali valori di \beta\in\mathbb R l’integrale improprio

\[ I(\beta)=\int_{1}^{+\infty} \frac{\left|\sin \dfrac1x-\dfrac1x\right|^{\beta}} {\sqrt[3]{x}}\;dx \]

è convergente.

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