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Formule di riduzione per gli integrali doppi

Teoria Funzioni di più variabili

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Autori e revisori

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Introduzione

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Le formule di riduzione per gli integrali doppi e, più in generale, per gli integrali multipli, costituiscono un utilissimo metodo di calcolo. Esse consentono infatti di ricondurre il calcolo di un integrale multiplo a quello di due o più integrali di funzioni di una variabile, che possono essere svolti con le tecniche usuali. Risulta quindi evidente come questa tecnica sia di notevole importanza e come essa possa consentire agevolmente la determinazione di un integrale multiplo.

In questo articolo le presentiamo prima in rettangoli e poi nei cosiddetti domini semplici o normali rispetto a uno degli assi. Offriamo poi alcuni esempi di utilizzo, per il calcolo di aree di domini piani e infine per il calcolo di alcuni semplici integrali doppi. Nonostante, per semplicità di esposizione, l’articolo tratta soltanto il caso di integrali doppi, i risultati in esso contenuti possono essere facilmente estesi al caso di integrali multipli in dimensione arbitraria.


 

Formule di riduzione in rettangoli

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Teorema 1 (formule di riduzione in un rettangolo). Siano \mathcal R= [a,b] \times [c,d], f : \mathcal R \to \mathbb R integrabile.

\[\quad\]

  • Se, per ogni x \in [a,b], la funzione y \mapsto f(x, y) è integrabile in [c,d] allora la funzione x \mapsto \int_c^d f(x,y) \, dy è integrabile in [a,b] e risulta

    \[\iint_\mathcal R f(x,y)\,dxdy = \int_a^b \left (\int_c^d f(x,y) \, dy \right )dx .\]

    •  

  • Se, per ogni y \in [c,d], la funzione x \mapsto f(x, y) è integrabile in [a,b] allora la funzione y \mapsto \int_a^b f(x,y) \, dx è integrabile in [c,d] e risulta

    \[\iint_\mathcal R f(x,y)\,dxdy = \int_c^d \left (\int_a^b f(x,y) \, dx \right )dy .\]

Pertanto, quando entrambe le ipotesi sono verificate, vale la formula di scambio dell’ordine di integrazione, cioè

\[\int_a^b \left (\int_c^d f(x,y) \, dy \right )dx = \int_c^d \left (\int_a^b f(x,y) \, dx \right )dy=\iint_\mathcal R f(x,y)\,dxdy .\]

\[\quad\]

Dimostrazione. Dimostriamo solo la prima formula, poiché per la seconda il ragionamento è analogo (si scambiano i ruoli di x e y). Per ipotesi, per ogni x\in [a,b] la funzione y \mapsto f(x, y) è integrabile in [c,d], quindi la funzione

\[\phi(x)=\int_c^d f(x,y) \, dy\]

è ben definita per ogni x \in [a,b]. Vogliamo dimostrare che \phi è integrabile e che vale

\[\int_a^b \phi(x)\, dx =\iint_\mathcal R f(x,y) \, dxdy.\]

Consideriamo \mathcal T = \{T_i\}_{i=1}^t e \mathcal P = \{ P_j\}_{j=1}^p partizioni di [a,b] e [c,d] rispettivamente; allora per ogni x \in [a,b] vale

\[\phi(x)=\int_c^d f(x,y) \, dy \geq s(\mathcal P, f(x,\cdot))=\sum_{j=1}^p \vert P_j \vert \inf_{y \in P_j} f(x,y)\]

e dunque

\[\inf_{x \in T_i} \phi (x) \geq \sum_{j=1}^p \vert P_j \vert \inf_{(x,y) \in T_i \times P_j} f(x,y) \qquad \forall i=1, \dots, t.\]

Quindi abbiamo che

\[s(\mathcal T, \phi) = \sum_{i=1}^t \vert T_i \vert \inf_{ x \in T_i} \phi(x) \geq \sum_{i=1}^t \sum_{j=1}^p \vert T_i \vert \vert P_j \vert \inf_{(x,y) \in T_i \times P_j} f(x,y)= s(\mathcal T \times \mathcal P, f)\]

cioè s(\mathcal T, \phi) \geq s(\mathcal T \times \mathcal P, f). Con gli stessi argomenti possiamo dimostrare che S(\mathcal T, \phi) \leq S(\mathcal T \times \mathcal P, f), e quindi vale la seguente catena di disuguaglianze:

\[s(\mathcal T \times \mathcal P, f) \leq s(\mathcal T, \phi)\leq S(\mathcal T, \phi) \leq S(\mathcal T \times \mathcal P, f) .\]

Allora, poiché f è integrabile, passando all’estremo superiore e all’estremo inferiore su tutte le partizioni di [a,b] e [c,d], segue (dalla proposizione 1.15 della Integrali doppi – Parte prima) che \phi è integrabile e vale

(1) \begin{equation*} \int_a^b \phi(x) \, dx= \int \int_{R} f(x,y) \, dxdy . \end{equation*}

Osservazione 2. Facciamo notare che questo risultato è un caso particolare del Teorema di Fubini-Tonelli, valido in una classe di spazi cosiddetti spazi di misura, che non trattiamo in quanto esulano dagli scopi della dispensa.


 
 

Formule di riduzione in domini semplici o normali

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