Formula di Taylor per funzioni di più variabili

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Introduzione

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La formula di Taylor per funzioni di più variabili ha lo scopo di stimare una funzione $f$ sufficientemente regolare con un polinomio dipendente dalle derivate di $f$ a meno di un eventuale errore. Tale errore può essere annullato al prezzo di conoscere le derivate della funzioni in un intorno del punto, dando così luogo alla formula di Taylor con resto di Lagrange; alternativamente esso può essere stimato come trascurabile rispetto al monomio di grado maggiore, dando così origine alla formula di Taylor con resto di Peano.

Queste approssimazioni, note dai corsi di Analisi 1 per funzioni di una variabile, possono essere generalizzate al caso di funzioni di più variabili e lo scopo di questo articolo è proprio di proporre al lettore gli enunciati precisi e le dimostrazioni complete di tali formule.

Sviluppo di Taylor in più variabili

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In questo articolo vogliamo generalizzare alle funzioni di più variabili un importantissimo strumento sia nella teoria che nelle applicazioni, ossia la formula di Taylor.

Tale formula consente di stimare una funzione regolare, in un intorno di un fissato punto, con un polinomio i cui coefficienti dipendono dal valore della funzione e delle sue derivate nel punto in questione, a patto di commettere un certo “errore”. Tale errore, per una funzione di classe $C^k$ , può essere ottenuto in maniera esatta, mediante l’uso della derivata di ordine più alto della funzione, nel qual caso si avrà la formula di Taylor con resto in forma di Lagrange, che ricordiamo qui di seguito per una funzione di una variabile:

(1) $\begin{equation*} f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \ldots + \frac{f^{(k-1)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{k-1} + \frac{f^{(k)} ( \xi)}{k!}(x-x_0)^k, \end{equation*}$

dove $\xi$ è un punto compreso tra $x_0$ e $x$ . Oppure l’errore nell’approssimazione con un polinomio può essere stimato asintoticamente, nel qual caso si otterrà la formula di Taylor con resto di Peano, che ricordiamo qui per funzioni di una variabile:

$f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \ldots + \frac{f^{(k-1)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{k-1} + \frac{f^{(k)}( x_0}{k!}(x-x_0)^k + o((x-x_0)^k),$

dove il simbolo di $o$ -piccolo significa che il resto tende a zero più velocemente di $(x-x_0)^k$ per $x \to x_0$ ; formalmente, date $f,g \colon E \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $x_0$ di accumulazione per l’insieme $\{x \in E \colon g(x) \neq 0\}$ , si dice che $f=o(g)$ se