Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Equazioni differenziali a variabili separabili – esercizi svolti

Esercizi equazioni differenziali ordinarie

Home » Equazioni differenziali a variabili separabili – esercizi svolti

 
 

Sommario

Leggi...

Raccolta di esercizi sulle equazioni differenziali a variabili separabili.

 
 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

 
 

Introduzione

Leggi...

Le equazioni differenziali a variabili separabili costituiscono un’importante famiglia di equazioni differenziali per le quali esiste una strategia risolutiva. Un’equazione differenziale a variabili separabili è riconducibile alla forma

\[ y'(x) f(y(x)) = g(x) \]

dove f,g sono opportune funzioni. Integrando ambo i membri tra x_0 e x si ottiene

\[ \int_{x_0}^x f(y(t)) y'(t) \,\mathrm{d}t = \int_{x_0}^x g(t) \,\mathrm{d}t \iff \int_{y(x_0)}^{y(x)} f(s) \,\mathrm{d} s = \int_{x_0}^x g(t) \,\mathrm{d}t \]

dove nella seconda forma si è usata la formula di sostituzione nel primo integrale. Conoscendo delle primitive di f e g, grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale (si veda [1]) si risolvono gli integrali e si ottiene quindi una relazione tra y(x) e x in cui non compare la derivata y'(x). Ricavando y(x) da tale relazione si ottiene una soluzione dell’equazione.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

\[ y'(x) = 3x^2-5x+10. \]

Svolgimento.

Integrando ambo i membri si ottiene

\[ y(x) = \int (3x^2-5x+10) \, dx, \]

pertanto l’integrale generale dell’equazione differenziale è

\[\boxcolorato{analisi}{ y(x) = x^3-\frac{5}{2} x^2+10x + c, \qquad \text{ con } c \in \mathbb{R}. }\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

\[ y'(x) = \tan(x) +x. \]

Svolgimento.

Integriamo ambo i membri dell’equazione, così da avere

\[ y(x) = \int \bigl( \tan(x)+x \bigr)\ dx. \]

Ricordando \tan x = \frac{\sin x }{\cos x}, si ottiene che l’integrale generale dell’equazione differenziale in esame è

\[\boxcolorato{analisi}{ y(x) = -\log \, \lvert \cos(x) \rvert + \frac{x^2}{2} + c, \qquad \text{ con } c \in \mathbb{R}. }\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

\[ y'(x) = 4y^2(x) -y(x)+7. \]

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi