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Numeri reali: sintesi teorica

Insiemi numerici N, Z, Q, R

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Questo articolo si presenta come una versione sintetica e concentrata del più ampio e dettagliato l’insieme dei numeri reali. Mentre quest’ultimo offre un’esplorazione completa e profonda della retta reale, il presente lavoro serve come una guida rapida, fornendo definizioni chiave, risultati fondamentali e concetti essenziali in un formato compatto e facilmente assimilabile.
Questo approccio rende questo lavoro la scelta ideale per una rapida revisione o come introduzione per chi si avvicina per la prima volta a questi concetti, mentre l’insieme dei numeri reali è ideale per chi cerca una comprensione più approfondita della materia. Entrambi i testi si completano a vicenda, offrendo agli studenti una gamma versatile di risorse per lo studio della teoria dei numeri reali.

Il documento copre i seguenti argomenti:

  • Definizioni ed esempi di intervalli limitati e illimitati;
  • Maggioranti e minoranti di un insieme e nozione di insieme limitato;
  • Definizione e proprietà fondamentali di estremi superiore e inferiore;
  • Topologia di \mathbb{R}, intorni, insiemi aperti, chiusi, punti di frontiera e di accumulazione.

Il file permette di avere a portata di mano ogni nozione e risulta quindi uno strumento imprescindibile nello studio per una consultazione rapida ed efficace!

 

Numeri reali: autori

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Autori: Valerio Brunetti, Jacopo Garofali, Martina Moro.


 

Intervalli limitati e illimitati

Siano a,b \in \mathbb{R}.

Definiamo gli intervalli limitati di estremi a e b come segue:

  • [a,b]=\{x\in\mathbb{R} \; \vert \; a\le x\le b\} si dice intervallo chiuso;
  • (a,b\mbox)=\{x\in \mathbb{R}\; \vert \; a<x<b\} si dice intervallo aperto;
  • [a,b\mbox)=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; a\le x <b\} si dice intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra;
  • (a,b]=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; a<x\le b\} si dice intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra.

Nota: nel caso in cui b<a risulta ad esempio [a,b]=\emptyset. Gli intervalli illimitati sono invece determinati da un solo estremo a \in \mathbb{R}. Anche per essi si distinguono quattro casi:

  • [a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; x \ge a\} si dice intervallo chiuso illimitato superiormente;
  • (a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; x>a\} si dice intervallo aperto illimitato superiormente;
  • (-\infty,a]=\{x\in\mathbb{R}\; \vert\; x\le a\} si dice intervallo chiuso illimitato inferiormente;
  • (-\infty,a)=\{x\in \mathbb{R} \; \vert \; x<a\} si dice intervallo aperto illimitato inferiormente.

Numeri reali: maggioranti e minoranti

Definizione (maggiorante) . Sia A \subseteq \mathbb{R}, se è possibile determinare \alpha \in \mathbb{R}, tale che x\le \alpha \forall \, x \in A, allora \alpha è detto maggiorante di A.

 

Nota: se l’insieme A ammette maggiorante, l’insieme si dirà superiormente limitato.

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