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Esercizi su integrali indefiniti immediati

Integrali immediati

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In questo articolo sono proposti 75 esercizi svolti sugli integrali indefiniti immediati. I testi degli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà e hanno l’obiettivo di fornire allo studente solide basi nel calcolo degli integrali immediati. Questo permetterà di affrontare, successivamente, il calcolo di integrali più complessi mediante l’applicazione di metodi appropriati.
Per i richiami teorici più completi si rimanda alle dispense di teoria su integrali definiti e indefiniti e la guida alla risoluzione degli integrali indefiniti.

Dopo aver svolto questi esercizi, si consiglia lo svolgimento dei seguenti esercizi per le diverse tecniche di integrazione:

  1. Integrali per sostituzione
  2. Integrali per parti
  3. Integrali di funzione razionale

Infine, si suggerisce lo svolgimento degli esercizi misti sugli integrali indefiniti e degli esercizi misti sugli integrali definiti.

 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi, Donato Ciampa.

Revisori: Sergio Fiorucci, Matteo Talluri.


 
 

Richiami di teoria

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Di seguito verranno riportati gli integrali immediati che saranno utilizzati nel corso dello svolgimento degli esercizi.

  1. (1) \begin{equation*} \int x^\alpha\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + c, \end{equation*}

  2. (2) \begin{equation*} \int f(x)^\alpha f'(x)\,dx = \frac{f(x)^{\alpha+1}}{\alpha+1} + c, \end{equation*}

  3. (3) \begin{equation*} \int \frac{1}{x}\, dx = \ln \left|x\right| +c, \end{equation*}

  4. (4) \begin{equation*} \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln \left|f(x)\right| +c, \end{equation*}

  5. (5) \begin{equation*} \int e^{f(x)}\cdot f'(x)\,dx = e^{f(x)} + c, \end{equation*}

  6. (6) \begin{equation*} \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + c, \end{equation*}

  7. (7) \begin{equation*} \int e^x\,dx = e^x + c, \end{equation*}

  8. (8) \begin{equation*} \int \frac{f'(x)}{\cos^2f(x)}\, dx = \tan f(x) + c, \end{equation*}

  9. (9) \begin{equation*} \int \frac{f'(x)}{\sin^2f(x)}\, dx = -\cot f(x) + c, \end{equation*}

  10. (10) \begin{equation*} \int \sin x\,dx = -\cos x +c, \end{equation*}

  11. (11) \begin{equation*} \int \cos(x)\,dx = \sin x +c, \end{equation*}

  12. (12) \begin{equation*} \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^2}}\,dx = \arcsin f(x) + c, \end{equation*}

  13. (13) \begin{equation*} \int \frac{f'(x)}{1+f^2(x)}\,dx = \arctan f(x) + c, \end{equation*}

dove c\in \mathbb{R} e \alpha \in \mathbb{R}\setminus\{-1\} .


 
 

Testi degli esercizi

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere il seguente integrale indefinito:

(14) \begin{equation*} \int (4x^4-2x^2+5)\,dx. \end{equation*}

Svolgimento.

Possiamo iniziare lo svolgimento di questo esercizio scrivendo l’integrale iniziale come somma di integrali e portando fuori dal segno di integrale le costanti. In questo modo otteniamo

(15) \begin{equation*} \int (4x^4-2x^2+5)\,dx = 4\int x^4\,dx- 2\int x^2\,dx + 5\int \,dx. \end{equation*}

Applicando l’integrale notevole (1), è possibile scrivere

(16) \begin{equation*} 4\int x^4\,dx- 2\int x^2\,dx + 5\int \,dx = 4\cdot\frac{x^{4+1}}{4+1} -2\cdot\frac{x^{2+1}}{2+1} + 5x +c, \end{equation*}

dove c\in \mathbb{R}.

Semplificando il risultato ottenuto, possiamo concludere scrivendo:

\[\boxcolorato{analisi}{\int (4x^4-2x^2+5)\,dx = \frac{4}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 5x +c,}\]

dove c\in \mathbb{R}.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere il seguente integrale indefinito:

(17) \begin{equation*} \int (2x^3-x+2)\,dx. \end{equation*}

Svolgimento.

Possiamo iniziare lo svolgimento di questo esercizio scrivendo l’integrale iniziale come somma di integrali. Otteniamo, così

(18) \begin{equation*} \int (2x^3-x+2)\,dx = 2\int x^3\,dx -\int x\,dx +2\int \,dx, \end{equation*}

dove, abbiamo portato fuori dal segno di integrale le costanti. Applicando (1), otteniamo

(19) \begin{equation*} \int (2x^3-x+2)\,dx = 2\left(\frac{x^4}{4}\right) - \dfrac{x^2}{2} + 2x + c, \end{equation*}

dove c\in \mathbb{R}.

Semplificando il risultato ottenuto, possiamo concludere scrivendo:

\[\boxcolorato{analisi}{\int (2x^3-x+2)\,dx = \frac{x^4}{2}-\frac{x^2}{2} + 2x + c,}\]

dove c\in \mathbb{R}.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere il seguente integrale indefinito:

(20) \begin{equation*} \int \frac{x^3+1}{x+1}\,dx. \end{equation*}

Svolgimento.

Possiamo iniziare ricordando che, al numeratore della nostra funzione integranda, la quantità x^3+1 possiamo fattorizzarla come:

(21) \begin{equation*} x^3+1= (x+1)(x^2-x+1), \end{equation*}

questo ci permette di riscrivere l’integrale iniziale come

(22) \begin{equation*} \begin{aligned} \int \frac{x^3+1}{x+1}\,dx &= \int \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}\,dx =\\[7pt] &=\int (x^2-x+1)\,dx, \end{aligned} \end{equation*}

dove, nell’ultimo passaggio abbiamo effettuato una semplice semplificazione del termine x+1 che si trovava sia al numeratore che al denominatore della nostra funzione integranda.

Ora, possiamo ancora riscrivere l’integrale appena ottenuto come somma di integrali, ottenendo così

(23) \begin{equation*} \int (x^2-x+1)\,dx = \int x^2\,dx -\int x\,dx +\int \,dx. \end{equation*}

Applicando (1), possiamo concludere scrivendo che:

\[\boxcolorato{analisi}{\int \frac{x^3+1}{x+1}\,dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x +c ,}\]

dove c\in \mathbb{R}.


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere il seguente integrale indefinito:

(24) \begin{equation*} \int (\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)\,dx. \end{equation*}

Svolgimento.

Possiamo iniziare andando a svolgere i prodotti tra i termini nelle parentesi, ottenendo, così

(25) \begin{equation*} \int (\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)\,dx = \int (x\sqrt{x}+1)\,dx. \end{equation*}

Possiamo ancora riscrivere questo integrale, ora, come somma di integrali, e, se portiamo nel primo termine della somma la x all’interno della radice, otteniamo

(26) \begin{equation*} \int (x\sqrt{x}+1)\,dx = \int \sqrt{x^3}\,dx + \int \,dx. \end{equation*}

Applicando (1), possiamo concludere scrivendo che:

\[\boxcolorato{analisi}{\int (\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)\,dx = \frac{2x^2\sqrt{x}}{5} + x +c,}\]

dove c\in \mathbb{R}.


 
 

Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere il seguente integrale indefinito:

(27) \begin{equation*} \int \left(\frac{x^4+x^3-2x-4}{x^3}\right)\,dx. \end{equation*}

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