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Verifica del limite: esercizio 3

Verifica del limite in funzioni

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In questo terzo articolo della raccolta Esercizi sulla verifica del limite presentiamo la verifica del limite al finito e all’infinito della funzione identità. Rimandiamo all’esercizio precedente esercizio sulla verifica del limite 2 e a quello successivo esercizio sulla verifica del limite 4 per ulteriore materiale sulla verifica del limite.

 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

Revisori: Matteo Talluri, Sergio Fiorucci.

 

Richiami di teoria sulla verifica del limite

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Si veda anche richiami di teoria sulla verifica dei limiti o l’articolo di Teoria sui limiti per un riferimento completo di tutte le dimostrazioni.

Definizione 1 (limiti di funzioni)  Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1) \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

Applicazioni della definizione 1 nei vari casi per la verifica del limite 3

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 3  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Si verifichino, mediante la definizione, i seguenti limiti relativi alla funzione identità f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) =x per ogni x \in \mathbb{R}:

  1. \displaystyle \lim_{x \to x_0}x=x_0, per qualsiasi x_0 \in \mathbb{R};
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty}x=+\infty;
  3. \displaystyle \lim_{x \to -\infty}x=-\infty.

 

Premessa

Il grafico della funzione f è rappresentato in blu in figura 3a.

Grafico della funzione f per la verifica del limite al finito

Figura 3a: la funzione f dell’esercizio 3. In rosso è evidenziato l’intorno V=(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) di x_0, in verde l’intorno U=V=(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) di x_0. Dato che f(x)=x per ogni x \in \mathbb{R}, se x \in U allora f(x) \in V.

 

Svolgimento punto 1.

Fissiamo x_0 \in \mathbb{R}. Poiché sia x_0 che \ell sono numeri reali, dobbiamo rifarci al primo caso esplicitato dalla tabella 1. Fissiamo \varepsilon>0, determinando quindi un intorno V=(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) di x_0. Poiché f(x)=x per ogni x \in \mathbb{R}, abbiamo

(3) \begin{equation*} x \in U=(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) \implies f(x)=x \in V=(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon). \end{equation*}

Per l’arbitrarietà di \varepsilon, la definizione 1 è verificata e dunque

(4) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} x = x_0. \end{equation*}


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