Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Endomorfismi reali simmetrici e teorema spettrale

Forma canonica di Jordan e teorema spettrale

Home » Endomorfismi reali simmetrici e teorema spettrale

In questo articolo troverete 21 esercizi dettagliatamente risolti sugli endomorfismi reali simmetrici e sul teorema spettrale. Gli esercizi riguardano spazi vettoriali reali dotati di prodotto scalare, diagonalizzazione ortogonale, matrici definite positive e basi spettrali ortonormali.

Sono inoltre presenti richiami teorici, utili per ricapitolare le definizioni e i risultati principali impiegati negli svolgimenti. Vi auguriamo una buona lettura!

Oltre all’esaustiva lista reperibile alla fine dell’articolo, consigliamo la lettura delle seguenti raccolte:

 
 

Sommario

Leggi...

Questa dispensa è una raccolta di esercizi su spazi vettoriali reali dotati di una struttura euclidea, ovvero di un prodotto scalare, in particolare sugli endomorfismi simmetrici rispetto al prodotto scalare assegnato e sull’applicazione del teorema spettrale.

 
 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Daniele Malesani.

Revisori: Valerio Brunetti, Enrico Gori.


 
 

Notazioni

Leggi...

\mathbb{N} insieme dei numeri naturali;
\mathbb{Z} insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{R} insieme dei numeri reali;
\mathbb{C} insieme dei numeri complessi;
\mathbb{R}^n spazio vettoriale euclideo di dimensione n;
\langle v,w\rangle prodotto scalare tra i vettori v e w;
\|v\| norma del vettore v, definita come \sqrt{\langle v,v\rangle};
A^T matrice trasposta di A;
\operatorname{I}_n matrice identità di ordine n;
v vettore colonna;
v^T vettore riga;
V generico spazio vettoriale;
\dim V dimensione dello spazio vettoriale V;
W^{\bot} sottospazio W^{\bot}\subset V ortogonale al sottospazio W\subset V rispetto al prodotto scalare in esame;
\mathbf{0}_V\in V vettore nullo in V;
\mathbf{0} vettore nullo dello spazio vettoriale in esame;
\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) spazio vettoriale delle matrici m\times n a coefficienti reali;
\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) spazio vettoriale delle matrici quadrate n\times n a coefficienti reali;
\operatorname{Id}_V endomorfismo identico dello spazio vettoriale V;
\operatorname{Ker}(f) nucleo dell’applicazione f;
\operatorname{Im}(f) immagine dell’applicazione f;
\det A determinante della matrice quadrata A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R});
\operatorname{Tr} A traccia della matrice quadrata A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R});
E_\lambda\subseteq V autospazio relativo all’autovalore \lambda.

 
 

Introduzione

Leggi...

Gli endomorfismi simmetrici di spazi vettoriali reali di dimensione finita sono applicazioni lineari simmetriche rispetto a un prodotto scalare scelto. Il teorema spettrale garantisce che tali applicazioni sono sempre diagonalizzabili e ammettono sempre una base ortonormale di autovettori, dove ortonormale è inteso rispetto al prodotto scalare in esame. In particolare, ciò implica che, per spazi vettoriali reali, tali endomorfismi hanno polinomio caratteristico sempre interamente decomponibile. In una base ortonormale rispetto al prodotto scalare dato, la matrice associata a un endomorfismo simmetrico è simmetrica. Questa dispensa raccoglie una serie di esercizi dedicati a questi concetti, accompagnata da un breve richiamo teorico per ricapitolare le definizioni e i risultati principali utili per lo svolgimento degli esercizi proposti. Il preambolo teorico non è dunque da intendersi come una trattazione completa dell’argomento, per la quale si rimanda il lettore ai capitoli V, VII e VIII dell’autorevole testo di Serge Lang [1].

Per esercizi svolti e un breve riepilogo teorico sulla diagonalizzazione, si può inoltre consultare la dispensa apposita di Qui Si Risolve [2].


 
 

Richiami di teoria

Prodotti scalari e spazi euclidei.

Il teorema spettrale caratterizza endomorfismi che mostrano proprietà di simmetria rispetto ad un prodotto scalare di riferimento. Si richiama innanzi tutto cosa sia un prodotto scalare.

Definizione 1 (prodotto scalare e spazio euclideo). Sia V uno spazio vettoriale reale. Una forma bilineare \langle\cdot,\cdot\rangle\colon V\times V\to\mathbb{R} si dice prodotto scalare se soddisfa le proprietà a seguire.

  • Simmetria: \langle v,w\rangle=\langle w,v\rangle per ogni v,w\in V;

    •  

  • Positività: \langle v,v\rangle>0 per ogni v\in V, con v\neq \mathbf{0}.

In tal caso la coppia (V,\langle\cdot,\cdot\rangle) è detta spazio vettoriale euclideo.

\[\quad\]

Introdurre la nozione di prodotto scalare in uno spazio vettoriale è fondamentale per lo studio della geometria, infatti consente di parlare di lunghezza (norma) di un vettore e di distanza e angolo fra due vettori. Per un breve richiamo teorico ed esercizi sulle forme bilineari e le matrici ad esse associate, si consiglia l’apposito articolo presente sul sito [3].

\[\quad\]

Definizione 2 (norma indotta). Se (V,\langle\cdot,\cdot\rangle) è uno spazio vettoriale euclideo, la norma indotta dal prodotto scalare è definita per ogni vettore v\in V da

(1) \begin{equation*} \|v\|\coloneqq\sqrt{\langle v,v\rangle}, \end{equation*}

e soddisfa le seguenti proprietà

  • Omogeneità: \|\alpha v\|=|\alpha|\|v\| \text{ per ogni } v\in V \text{ e per ogni } \alpha\in\mathbb{R};
  • Positività: \|v\|\geq 0 \text{ per ogni } v\in V \text{ e } \|v\|=0\iff v=\mathbf{0};
  • Disuguaglianza triangolare: \|v+w\|\leq \|v\|+\|w\| per ogni v,w\in V.

\[\quad\]

La norma così costruita è detta indotta dal prodotto scalare per distinguerla da altre norme che possono essere definite su V indipendentemente dalla struttura euclidea con la quale è equipaggiato. I concetti di prodotto scalare e norma sono fondamentali nello studio della geometria, in quanto permettono di definire una nozione di angolo ed una di distanza. Tali argomenti non saranno oggetto di questa dispensa.

Ricordiamo adesso rapidamente i concetti di ortogonalità e ortonormalità.

\[\quad\]

Definizione 3 (ortogonalità e ortonormalità). Una famiglia di vettori \{v_1,\dots,v_k\}\subset V è detta

  • Ortogonale rispetto al prodotto scalare \langle\cdot,\cdot\rangle se e solo se \langle v_i,v_j\rangle=0 per ogni coppia di indici distinti i,j\in\{1,\dots,k\}, con i\neq j.
  • Ortonormale se è ortogonale e inoltre \langle v_i,v_i\rangle=\|v_i\|^2=1 per ogni i\in\{1,\dots,k\}.

Una base ortonormale di V è una base costituita da vettori ortonormali.

\[\quad\]

Un altro concetto utile è quello di matrice ortogonale. Ne forniamo di seguito la definizione.

\[\quad\]

Definizione 4 (matrice ortogonale). Una matrice quadrata reale Q\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) si dice ortogonale se le sue colonne (e, di conseguenza, le sue righe) formano una famiglia ortonormale rispetto al prodotto scalare euclideo. Ciò equivale a richiedere la condizione

(2) \begin{equation*} Q^T Q=\operatorname{I}_n. \end{equation*}

Le matrici ortogonali preservano il prodotto scalare euclideo, ovvero per ogni x,y\in\mathbb{R}^n vale

(3) \begin{equation*} \langle Qx,Qy\rangle = \langle x,y\rangle. \end{equation*}

\[\quad\]

Tali matrici rappresentano le trasformazioni lineari che conservano lunghezze e angoli, anche dette isometrie lineari. Questa nozione sarà fondamentale in seguito: il teorema spettrale garantisce infatti che ogni endomorfismo reale simmetrico è diagonalizzabile tramite una matrice di passaggio ortogonale. Enunciamo, per completezza, il seguente semplice risultato riguardo le matrici ortogonali.

\[\quad\]

Proposizione 5. Sia Q\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) una matrice quadrata reale ortogonale. Si ha che:

  • Q è invertibile;
  • Q^{-1}=Q^T, ovvero l’inversa coincide con la trasposta.

Il secondo punto della suddetta proposizione è spesso utilizzato come definizione di matrice ortogonale.

Endomorfismi simmetrici e teorema spettrale.

Passiamo adesso a definire l’oggetto principale del teorema spettrale, ovvero gli endomorfismi simmetrici rispetto a un prodotto scalare.

\[\quad\]

Definizione 6 (endomorfismo simmetrico). Sia (V,\langle\cdot,\cdot\rangle) uno spazio euclideo finito-dimensionale. Un endomorfismo T\colon V\to V è detto simmetrico rispetto al prodotto scalare assegnato se e solo se per tutte le coppie di vettori v,w\in V si ha

(4) \begin{equation*} \langle T(v),w\rangle=\langle v,T(w)\rangle. \end{equation*}

\[\quad\]

Si ha il seguente immediato risultato.

\[\quad\]

Proposizione 7. Sia (V,\langle\cdot,\cdot\rangle) uno spazio euclideo di dimensione finita n\in\mathbb{N} e sia dato un endomorfismo T\colon V\to V. Se A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) è la matrice associata a T rispetto a una base ortonormale, allora T è simmetrico se e solo se la matrice A è simmetrica, ovvero se e solo se

(5) \begin{equation*} A^T=A. \end{equation*}

\[\quad\]

La condizione di simmetria è quindi molto semplice da verificare rappresentando l’endomorfismo rispetto ad una base ortonormale, vedremo più avanti cosa fare qualora sia nota la rappresentazione rispetto ad una base generale. Si ricordano intanto le seguenti definizioni di autospazio, spettro e base spettrale di un endomorfismo reale.

\[\quad\]

Definizione 8 (spettro e base spettrale). Sia T\colon V\to V un endomorfismo lineare di uno spazio vettoriale reale V di dimensione finita n\in\mathbb{N}. Per ogni \lambda\in\mathbb{R} consideriamo il sottospazio

(6) \begin{equation*} E_\lambda=\operatorname{Ker}(T-\lambda\operatorname{Id}_V)\subseteq V. \end{equation*}

Se E_\lambda è diverso dal sottospazio nullo, allora è detto autospazio relativo a \lambda e \lambda è detto autovalore di T. Lo spettro di T è l’insieme dei suoi autovalori:

(7) \begin{equation*} \operatorname{Spec}(T)=\{\lambda\in\mathbb{R}:E_\lambda\neq\{\mathbf{0}\}\}. \end{equation*}

Una base di V formata da autovettori di T è detta base spettrale di V rispetto a T. Se V è euclideo e tale base è ortonormale rispetto al prodotto scalare assegnato, si parla di base spettrale ortonormale.

\[\quad\]

Si è adesso nella posizione di enunciare il teorema spettrale per endomorfismi simmetrici.

\[\quad\]

Teorema 9 (teorema spettrale reale). Sia (V,\langle\cdot,\cdot\rangle) uno spazio vettoriale euclideo reale di dimensione finita e sia T\colon V\to V un endomorfismo lineare. Sono equivalenti:

  1. T è simmetrico rispetto al prodotto scalare assegnato, cioè

    (8) \begin{equation*} \langle T(v),w\rangle=\langle v,T(w)\rangle \qquad \text{per ogni } v,w\in V; \end{equation*}

    2.  

  2. esiste una base di V ortonormale rispetto al prodotto scalare assegnato e formata da autovettori di T;

    3.  

  3. esiste una base di V ortonormale rispetto al prodotto scalare assegnato tale che la matrice associata a T è diagonale reale.

In tal caso il polinomio caratteristico di T ha solo radici reali e gli autospazi relativi ad autovalori distinti sono ortogonali. Inoltre V si decompone come somma diretta ortogonale degli autospazi di T:

(9) \begin{equation*} V=\bigoplus_{\lambda\in \operatorname{Spec}(T)} E_\lambda. \end{equation*}

Equivalentemente, T ammette la decomposizione spettrale

(10) \begin{equation*} T=\sum_{\lambda\in \operatorname{Spec}(T)} \lambda P_\lambda, \end{equation*}

dove P_\lambda è la proiezione ortogonale sull’autospazio E_\lambda.

\[\quad\]

In forma matriciale, il teorema spettrale afferma che una matrice reale A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) è simmetrica se e solo se è ortogonalmente diagonalizzabile, cioè se e solo se esistono una matrice ortogonale Q\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) e una matrice diagonale reale D\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) tali che

(11) \begin{equation*} Q^T A Q = D. \end{equation*}

Equivalentemente,

(12) \begin{equation*} A=QDQ^T. \end{equation*}

Per endomorfismi reali uno degli elementi chiave del contenuto del teorema sta nel fatto che se un endomorfismo è simmetrico, allora il suo polinomio caratteristico è sicuramente interamente decomponibile nei reali, ovvero ammette un numero di radici reali contate con molteplicità algebrica pari al suo grado.

Nella pratica, la procedura standard di diagonalizzazione di un endomorfismo simmetrico produce autospazi mutuamente ortogonali rispetto al prodotto scalare in esame. Tuttavia, se un autospazio ha dimensione maggiore di 1, i generatori scelti al suo interno non sono necessariamente ortogonali fra loro. Inoltre gli autovettori di una base spettrale arbitraria non sono necessariamente di norma unitaria. Per costruire una base spettrale ortonormale, si può quindi scegliere una base di ciascun autospazio e applicare, all’interno di ogni autospazio, il procedimento di Gram-Schmidt.

\[\quad\]

Proposizione 10  (procedimento di Gram-Schmidt). Sia \{v_1,\dots,v_k\} un insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio euclideo (V,\langle\cdot,\cdot\rangle). Definiamo ricorsivamente

(13) \begin{equation*} u_1=v_1,\quad e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|},\qquad u_i=v_i-\sum_{j=1}^{i-1}\operatorname{proj}_{u_j}(v_i),\quad e_i=\frac{u_i}{\|u_i\|}, \end{equation*}

per ogni i\in\{2,\dots,k\}, dove la proiezione di v_i su u_j è definita dall’applicazione lineare

(14) \begin{equation*} \operatorname{proj}_{u_j}(v_i)=\frac{\langle v_i,u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle}\,u_j. \end{equation*}

I vettori \{e_1,\dots,e_k\} così costruiti sono ortonormali e generano lo stesso sottospazio dei vettori v_i di partenza.

\[\quad\]

Questo procedimento consente quindi di trasformare una base di un dato sottospazio di uno spazio euclideo in una base ortonormale dello stesso sottospazio.

Matrici definite positive.

I prodotti scalari sono forme bilineari simmetriche, dunque sono sempre rappresentati da matrici simmetriche. La positività può essere verificata attraverso lo studio della matrice associata.

\[\quad\]

Definizione 11  (matrice definita positiva). Una matrice reale simmetrica M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) è definita positiva se per ogni vettore non nullo x\in \mathbb{R}^n vale

(15) \begin{equation*} x^T M x>0. \end{equation*}

Si dice invece semidefinita positiva se per ogni x\in \mathbb{R}^n vale

\[x^T M x\ge 0.\]

Se esistono vettori x,y\in\mathbb{R}^n tali che x^T M x>0 e y^T M y<0, M si dice indefinita.

\[\quad\]

A partire da una matrice definita positiva si può definire dunque un prodotto scalare non canonico su \mathbb{R}^n via la formula \langle x,y\rangle_M = x^T M y. Ogni prodotto scalare può essere realizzato in questo modo, come vedremo nella prossima sottosezione.

\[\quad\]

Proposizione 12 (criterio spettrale per la positività). Sia M una matrice reale simmetrica. Allora valgono le seguenti equivalenze:

  • M è definita positiva se e solo se tutti i suoi autovalori sono strettamente positivi;

    • \[\quad\]

  • M è semidefinita positiva se e solo se tutti i suoi autovalori sono non negativi;

    • \[\quad\]

    \[\quad\]

  • M è indefinita se e solo se ha autovalori sia positivi sia negativi.

Il criterio spettrale lega la positività di M al segno dei suoi autovalori: la matrice è definita positiva se e solo se tutti gli autovalori sono maggiori di zero. È un criterio concettualmente elegante, ma richiede il calcolo esplicito di tutti gli autovalori.

\[\quad\]

Proposizione 13  (criterio di Sylvester). Sia M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) una matrice simmetrica. Denotiamo \Delta_k\in\mathbb{R} il determinante della sottomatrice k\times k ottenuta cancellando le ultime n-k righe e colonne di M, detto k-esimo minore principale di guida. Si ha che M è definita positiva se e solo se tutti i minori principali di guida \Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_n sono strettamente positivi.

\[\quad\]

Il criterio di Sylvester fornisce un test alternativo al criterio spettrale che evita il calcolo degli autovalori: basta controllare il segno dei determinanti dei minori principali. Per matrici di dimensione moderata è spesso più pratico del criterio spettrale.

Prodotti scalari e simmetria in basi arbitrarie.

Ogni prodotto scalare su \mathbb{R}^n, fissata una base \mathcal{B}=(v_1,\dots,v_n), può essere rappresentato da una matrice simmetrica definita positiva.

\[\quad\]

Definizione 14  (matrice del prodotto scalare). Sia (V,\langle\cdot,\cdot\rangle) uno spazio euclideo di dimensione n\in\mathbb{N} e sia \mathcal{B}=(v_1,\dots,v_n) una base. La matrice del prodotto scalare rispetto a \mathcal{B} è la matrice reale quadrata G\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) definita da g_{ij}=\langle v_i,v_j\rangle. La matrice G è simmetrica e definita positiva. Per ogni coppia di vettori x,y\in V, siano X,Y\in\mathbb{R}^n i vettori colonna delle coordinate rispetto alla base \mathcal{B}, il prodotto scalare si esprime come

(16) \begin{equation*} \langle x,y\rangle = X^T\,G\,Y. \end{equation*}

\[\quad\]

Cambiando base, la matrice G si trasforma per congruenza, si veda ad esempio [3]. Come precisato nelle precedenti sezioni, un endomorfismo simmetrico rispetto a un prodotto scalare non è necessariamente rappresentato da una matrice simmetrica in una base non ortonormale. Enunciamo quindi un criterio algebrico generale per verificare la simmetria in una base qualsiasi.

\[\quad\]

Proposizione 15 (criterio di simmetria in una base arbitraria). Sia T\colon V\to V un endomorfismo lineare e sia \mathcal{B}=(v_1,\dots,v_n) una base di V. Indichiamo con A la matrice associata a T rispetto a \mathcal{B} e con G la matrice del prodotto scalare rispetto a \mathcal{B}. Allora T è simmetrico rispetto al prodotto scalare \langle\cdot,\cdot\rangle se e solo se vale l’uguaglianza matriciale

(17) \begin{equation*} A^T G = G A. \end{equation*}

In particolare, se \mathcal{B} è ortonormale, e quindi G=\operatorname{I}_n, questa condizione si riduce a A^T=A.

\[\quad\]

Basta quindi determinare la matrice G del prodotto scalare nella base, la matrice A associata all’endomorfismo nella stessa base e controllare se sia verificata l’identità A^T G = G A. Nei prossimi esercizi si farà riferimento a questo test.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi