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Esercizi sui limiti base di successioni

Limiti base

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Sommario

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La seguente dispensa presenta una serie di esercizi sul calcolo dei limiti di successioni elementari selezionati con l’obiettivo di fornire allo studente la possibilità di testare le proprie conoscenze su concetti fondamentali come definizione di limite, concetto di convergenza, teoremi del confronto, criteri di convergenza di successioni e primi limiti notevoli.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Irina Piombino, Valerio Brunetti.

Revisori: Chiara Gambicchia.


 
 

Notazioni

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\mathbb{N}    Insieme dei numeri naturali positivi: \{1,2,\dots\};
\mathbb{N}_0=\mathbb{N}\cup\{0\}    Insieme dei numeri naturali: \{0,1,2,\dots\};
\mathbb{R}    Insieme dei numeri reali;
\overline{\mathbb{R}}    Insieme dei numeri reali estesi, ovvero \overline{\mathbb{R}}\coloneqq\mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\};
\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}    Successione di termine generale a_n, ossia la funzione a \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R};
\lim_{n \to + \infty} a_n = \ell, a_n \to \ell    Limite della successione a_n;
\log x    Logaritmo naturale di x.


 
 

Introduzione

Introduzione.

Nella seguente dispensa sono raccolti 47 esercizi dedicati al calcolo dei limiti di successioni elementari con l’obiettivo di fornire allo studente una prima preparazione basilare che gli consentirà, successivamente, di affrontare casi più complessi. Gli esercizi vengono presentati in ordine di difficoltà così da garantire al lettore una preparazione graduale. Oltre allo svolgimento degli esercizi, la dispensa include anche una sezione di richiami teorici in cui vengono presentati gli strumenti maggiormente utilizzati durante lo svolgimento degli esercizi. Per un ripasso più approfondito della teoria, si suggerisce la lettura della seguente dispensa: teoria sulle successioni.

 
 

Richiami di teoria

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In questa sezione vogliamo richiamare i principali risultati teorici sui quali è basata la risoluzione degli esercizi presenti all’interno della dispensa. Per approfondire l’argomento, si rimanda il lettore alle dispense di teoria teoria sulle successioni.

Teoremi e criteri sui limiti di successione.

Richiamiamo di seguito i principali teoremi e criteri che vengono applicati negli esercizi per studiare il comportamento di una successione.

\[\quad\]

Teorema 1 (del confronto o dei carabinieri). Siano a_n, b_n, c_n successioni, si supponga che esista N_1\in\mathbb{N} tale che

(1) \begin{equation*} a_n \leq b_n \leq c_n, \;\;\; \forall n \geq N_1 \end{equation*}

e che valga

\[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \ell \in \mathbb{R}.\]

Allora

\[\lim_{n \to \infty} b_n = \ell .\]

\[\quad\]

Teorema 2 (del confronto: \ell=\pm \infty). Siano \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}},\{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} due successioni e supponiamo che esista N_1 \in \mathbb{N} tale che

(2) \begin{equation*} a_n \leq b_n \qquad \forall n \geq N_1.\end{equation*}

\[\quad\]

  1. Se a_n \to +\infty, allora b_n \to + \infty.

    2.  

  2. Se b_n \to - \infty, allora a_n \to - \infty.

\[\quad\]

Definizione 3 (proprietà definitivamente vere). Sia a_n un successione reale e sia \mathcal{P} una proprietà. Diremo che \mathcal{P} è definitivamente vera se esiste N \in \mathbb{N} tale che a_n soddisfa \mathcal{P} per ogni n \geq N.

\[\quad\]

\[\quad\]

Proposizione 4 (applicazione del criterio del rapporto). Sia a_n una successione a termini positivi.

\[\quad\]

  1. Se esiste \alpha>1 tale che \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq \alpha definitivamente, allora \displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_n = + \infty.

    2.  

  2. Se esiste \alpha \in (0,1) tale che \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \alpha definitivamente, allora \displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_n = 0.

Gerarchie di infiniti e confronto tra successioni.

Le successioni che incontreremo maggiormente negli esercizi tenderanno per lo più a +\infty, dunque vale la pena ricordare che possiamo “ordinarle” in una lista in cui il rapporto tra il termine successivo e il precedente tende a infinito che prende il nome di gerarchia degli infiniti:

(3) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ \log_a n,\, n^b,\, a^n,\,n!,\, n^n\qquad a>1,\,b>0. } \end{equation*}

Per confrontare il comportamento di due successioni, nel corso dello svolgimento di alcuni esercizi, verrà utilizzato anche il concetto di o-piccolo, del quale riportiamo di seguito la definizione.


Il teorema ponte e i limiti notevoli di successione.

Teorema 5 (teorema ponte). Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} un punto di accumulazione per A e sia \ell \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}. Allora sono equivalenti le seguenti affermazioni:

\[\quad\]

  1. \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) =\ell;

    2.  

  2. per ogni successione x_n a valori in A tale che x_n \to x_0 e x_n \neq x_0 definitivamente, si ha

    (4) \begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} f(x_n) = \ell. \end{equation*}

\[\quad\]

Dall’applicazione del teorema ponte, derivano i seguenti limiti notevoli di successione, che spesso verranno utilizzati per risolvere gli esercizi.

\[\begin{aligned} &a)\, a_n \to 0 \,\,\, \text{e} \,\,\, a_n \neq 0 \text{ definitivamente} \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n \to + \infty} \frac{\sin a_n}{a_n}=1. \\\\ &b)\, a_n \to 0 \,\,\, \text{e} \,\,\, a_n \neq 0 \text{ definitivamente} \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n \to + \infty} \frac{1 - \cos a_n}{a_n^2}= \frac{1}{2}. \\\\ &c)\, a_n \to 0 \,\,\, \text{e} \,\,\, a_n \neq 0 \text{ definitivamente} \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n \to + \infty} \frac{e^{a_n}-1}{a_n}= 1. \\\\ &d)\, a_n \to 0 \,\,\, \text{e} \,\,\, a_n \neq 0 \text{ definitivamente} \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n \to + \infty} \frac{\log (1+ a_n)}{a_n}= 1. \\\\ &e)\, a_n \to 0 \,\,\, \text{e} \,\,\, a_n \neq 0 \text{ definitivamente} \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n \to + \infty} \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} = e. \\\\ \end{aligned}\]


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{n-1}{n+1}. \]

Svolgimento.

Si consideri il limite

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n-1}{n+1}. \]

Per ogni n\in\mathbb{N} con n\ge 1 si raccoglie il termine di grado massimo al numeratore e al denominatore:

\[ \frac{n-1}{n+1}=\frac{n\left(1-\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\frac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}. \]

Notando che \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, si passa al limite e si ottiene

\[\boxcolorato{analisi}{\lim_{n\to+\infty}\frac{n-1}{n+1}=\frac{1-0}{1+0}=1.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{2n-6}{n^2+1}. \]

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