Esercizi sulle serie con parametro

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Sommario

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In questa dispensa vengono raccolti esercizi selezionati sulle serie numeriche, con l’obiettivo di illustrare i principali criteri di convergenza attraverso esempi significativi. Ogni esercizio è accompagnato da una soluzione commentata, nella quale si mette in evidenza il criterio utilizzato e la verifica delle relative ipotesi. Materiale destinato a studenti universitari di —

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Matteo Scianna.

Revisori: Daniele Volpe.

Prerequisiti

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In queste note si presuppone la conoscenza di alcuni concetti di base dell’analisi matematica, tra cui i numeri (naturali, interi, reali, complessi), il principio di induzione, il concetto di successione numerica e di limite di una successione. Inoltre, è necessario che il lettore sia familare con la nozione di integrale di Riemann di una funzione reale di variabile reale. Infine, in molti esercizi facciamo uso degli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari.

Notazioni

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$\mathbb{N}$	Insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{Z}$	Insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{Q}$	Insieme dei numeri razionali;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$\sum_{n=1}^{+\infty}a_n = a_1+a_2+...$	serie numerica di termine generale $a_n$ ;
$\mathcal{O}$	ordine di grandezza asintotico;
$\uparrow l$	approccio monotòno al limite (crescente);
$\downarrow l$	approccio monotòno al limite (decrescente);
$\lfloor a\rfloor$	massimo intero inferiore ad $a$ ;
$\sim$	relazione di asintotica equivalenza;
$\asymp$	relazione di equigrandezza: si ha $f(x) \asymp g(x) \iff \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = l \neq 0$ .

Introduzione

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Le serie generalizzano l’operazione di addizione sui numeri reali nel caso in cui a venire sommata sia una quantità infinita di termini. Data una successione $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ è possibile considerare la successione delle somme parziali definita da

$S_N \coloneq \sum_{n=1}^N a_n \quad \forall N \in \mathbb{N},$

ossia la somma dei primi $N$ termini della successione, al variare di $N$ . È possibile quindi definire il concetto di serie numerica come segue:

$\quad$

Definizione 1 (serie numerica). Se il limite della successione delle somme parziali $S_n$ esiste, si pone

$\sum_{k = 1}^{+\infty}a_n \coloneq \lim_{n\rightarrow \infty}S_n \in \mathbb{R}\cup\{-\infty, +\infty\}.$

Se tale limite è finito, diciamo che la serie associata alla successione $\{a_n\}$ è $convergente$ , e che converge a tale limite. Se, invece, tale limite è infinito o non esiste, diciamo che la serie associata alla successione $\{a_n\}$ è $non$ $convergente$ .

$\quad$

Nel caso in cui la serie sia non convergente, possiamo distinguere due casi:

$\quad$

Il limite esiste e vale $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \pm \infty$ ;
Il limite non esiste.

Nel primo caso diciamo che la serie $diverge$ (positivamente o negativamente), nel secondo la serie risulta $indeterminata$ .

Richiami di teoria

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In questa sezione richiamiamo alcuni dei risultati fondamentali della teoria delle serie numeriche, necessari per la risoluzione degli esercizi proposti. Per maggiori dettagli si veda Serie numeriche: la guida completa.

$\quad$

Proposizione 2 (condizione necessaria per la convergenza). Sia $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ una serie convergente. Allora, il suo termine generale è infinitesimo, i.e. si ha

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0.$

$\quad$

Lemma 3 (convergenza delle serie a termini di segno costante). Le serie a termini di segno definitivamente non negativo (risp. non positivo) possono essere convergenti o divergenti positivamente (risp. negativamente), ma non indeterminate.

$\quad$

Corollario 4. Sia $\{ a_n \}_{n\in \N}\subset \R$ una successione. Per ogni $p >0$ intero, le serie

$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n \quad \mbox{e} \quad \sum_{n=p}^{+\infty}a_n$

hanno lo stesso carattere.

$\quad$

Lemma 5. Sia $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ una serie convergente. Allora, per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ , la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)$ converge, e si ha

(1) $\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)=\alpha\sum_{n=0}^{+\infty}a_n. \end{equation*}$

Se, invece, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ diverge, allora $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)$ diverge per ogni $\alpha \neq 0$ .

$\quad$

Lemma 6. Siano date le serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ e $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ . Allora,

$\quad$

se entrambe le serie convergono, anche la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n)$ converge e si ha
$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\left(a_n+b_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n+\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n;$

se entrambe le serie divergono positivamente (risp. negativamente), oppure se una diverge positivamente (risp. negativamente) e l’altra converge, allora la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n)$ diverge positivamente (risp. negativamente).

$\quad$

Proposizione 7 (carattere serie geometrica). Sia $x \in \R$ . La serie geometrica di ragione $x$ vale

(2) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}x^n =\begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, \qquad & \text{se } x \in (-1,1) ; \\\\ +\infty, \qquad & \text{se } x \in[1,+\infty);\\\\ {\rm indeterminata}, \qquad & \text{se } x \in(-\infty,-1]. \end{cases} \end{equation*}$

Teorema 8 (criterio del confronto). Siano $\{a_n\},\{b_n\}$ due successioni numeriche tali che definitivamente vale $0\leq a_n\leq b_n$ . Allora, si ha:

$\quad$

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n < +\infty \implies \sum_{n=0}^{+\infty}a_n < +\infty$

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n = +\infty \implies \sum_{n=0}^{+\infty}b_n = +\infty$

Teorema 9 (criterio del confronto asintotico). Siano $\{a_n\},\{b_n\}$ due successioni a termini definitivamente positivi e tale che $b_n >0$ definitivamente. Supponiamo che

$\lim_{n\to +\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\ell\in[0,+\infty].$

Si ha che

$\quad$

Se $\ell=0\,$ e $\,\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n<+\infty$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n<+\infty$ ;

se $\ell=+\infty\,$ e $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n=+\infty$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n=+\infty$ ;

se $\ell \in(0,+\infty)\,$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n<+\infty$ se e solo se $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n<+\infty$ .

Teorema 10 (criterio di condensazione di Cauchy). Sia $\{a_n\}_{n\geq 1}$ una successione a termini positivi non crescente, ovvero

$a_n\geq a_{n+1}>0 \qquad \forall \,n \geq 1.$

Allora, le serie

$\sum_{n=1}^{+\infty }a_n \qquad \mbox{e} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty }2^na_{2^n}$

hanno lo stesso carattere.

Lemma 11 (serie armonica generalizzata del primo tipo). Sia $\alpha \in \R$ . Allora,

$S_\alpha = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha} \quad \begin{cases} \text{converge}, \quad &\text{se}\,\,\alpha>1;\\ \text{diverge}, &\text{se}\,\,\alpha \leq 1. \end{cases}$

Lemma 12 (serie armonica generalizzata del secondo tipo). Siano $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ . Allora,

$S_{\alpha,\beta} = \sum\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta} \quad \begin{cases} {\text{converge}},&\text{se}\,\, \alpha >1\, \lor \, \left( \alpha =1\, \wedge \, \beta >1 \right);\\ +\infty ,&\text{se}\,\,\alpha <1\, \lor \, \left( \alpha =1\, \wedge \, \beta \leq 1 \right). \end{cases}$

Teorema 13 (criterio del rapporto). Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie a termini definitivamente positivi tale che

(3) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\ell\in[0,+\infty]. \end{equation*}$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell\in [0,1)$ , la serie converge;

Se $\ell\in(1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=1$ , il criterio è inconcludente.

$\quad$

Teorema 14 (criterio dell’integrale). Sia $\{ a_n \}_{n\in \N}$ una successione a termini positivi e decrescente e sia $f:[1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione positiva e decrescente tale che $f(n) = a_n$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ . Allora, l’integrale improprio $\displaystyle \int\limits_{1}^{+\infty}f(x)\,{\rm d}x$ ha lo stesso carattere della serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ .

$\quad$

Teorema 15 (criterio della radice). Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie a termini definitivamente positivi tale che

(4) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\sqrt[n]{a_n}=\ell\in[0,+\infty]. \end{equation*}$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell\in [0,1)$ , la serie converge;

Se $\ell\in(1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=1$ , il criterio è inconcludente.

$\quad$

Definizione 16 (convergenza semplice e assoluta). Sia $\{ a_n \}_{n \in \N} \subset \R$ una successione. Diremo che la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ è assolutamente convergente, oppure converge assolutamente, se

$\sum_{n=0}^{+\infty}\left|a_n\right| < +\infty.$

Si ha convergenza semplice della stessa serie se questa converge, ma non si ha convergenza della serie dei valori assoluti definita sopra.

$\quad$

Proposizione 17 (criterio della convergenza assoluta). Sia $\{ a_n \}_{n \in \N} \subset \R$ una successione. Se la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ converge assolutamente, allora converge semplicemente.

$\quad$

Teorema 18 (criterio di Abel). Siano $\{ a_n \}_{n \in \N}, \{ b_n \}_{n \in \N} \subset \R$ due successioni tale che

$\quad$

la successione $\{a_n\}$ è definitivamente monotona e limitata;

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ converge.

Allora, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n b_n$ è convergente.

$\quad$

Teorema 19 (criterio di Dirichlet] Siano $\{a_n\}_{n \in \N}\subset \R$ , $\{b_n\}_{n \in \N}\subset \R$ due successioni tali che:

$\quad$

la successione $\{a_n\}$ è definitivamente monotona;

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0$ ;

la successione $\{B_n\}_{n \in \N}\subset \R$ delle somme parziali di $\{b_n\}$ è limitata.

Allora, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_nb_n$ è convergente.

Teorema 20 (criterio di Leibniz). Sia $\{a_n\}_{n \in \N}\subset \R$ una successione che soddisfa le seguenti proprietà:

$\quad$

$\{a_n\}$ è definitivamente monotona;

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0$ .

Allora, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n a_n$ è convergente.

Lemma 21 (approssimazione di Stirling). Si ha

$\lim_{n \rightarrow+\infty} \frac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n}} = 1$

o, equivalentemente,

$n! = \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1+o(1)\right)$

per $n\rightarrow +\infty$ .

$\quad$

Teorema 22 (criterio di Raabe). Sia $\displaystyle \sum_{n =1}^{+\infty} a_n$ una serie a termini definitivamente positivi, e supponiamo che esista

$\ell = \lim_{n \to +\infty} n \bigg( \frac{a_n}{a_{n+1}} -1 \bigg).$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\displaystyle \ell\in(1,+\infty]$ , la serie converge;

Se $\displaystyle\ell \in [-\infty,1)$ , la serie diverge;

Se $\displaystyle \ell=1$ , il criterio è inconcludente.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare al variare del parametro la convergenza della serie:

$\sum_{n=1}^{+\infty} \left(1-\cos\frac{1}{n}\right)^{a}.$

Svolgimento.

Si osserva anzitutto che la serie è a termini non negativi. Utilizzando l’identità trigonometrica

$\begin{equation*} 1-\cos t=2\sin^{2}(t/2) \end{equation*}$

si ottiene

$\begin{equation*} 1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)=2\sin^{2}\!\left(\frac{1}{2n}\right). \end{equation*}$

Poiché per $x \to 0$ vale $\sin x \sim x$ , segue che

$\sin\!\left(\frac{1}{2n}\right) \sim \frac{1}{2n}, \qquad n \to +\infty,$

e quindi

$1 - \cos\!\left(\frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{2n^2}.$

Elevando alla potenza $a$ si ottiene

$\left(1 - \cos\!\left(\frac{1}{n}\right)\right)^a \sim \frac{1}{2^a n^{2a}}.$

Applichiamo il criterio 9, notando che la serie assegnata ha lo stesso carattere della serie armonica generalizzata

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2a}},$

che converge se e solo se $2a > 1$ , cioè $a > \frac{1}{2}$ .

Se $a \le \frac{1}{2}$ la serie diverge; in particolare, per $a \le 0$ il termine generale non tende a zero.

$\boxcolorato{analisi}{{\text{La serie converge se e solo se } a > \frac{1}{2}.}}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare al variare del parametro la convergenza della serie:

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\log\!\bigl(1+n^{2}\bigr)}{(n+3)^{\beta}}.$

Svolgimento.

Consideriamo il comportamento asintotico del termine generale $a_n$ per $n\to\infty$ . Per il numeratore si ha:

$\log(1+n^{2})=2\log n+\log\!\Bigl(1+\tfrac{1}{n^{2}}\Bigr)\sim 2\log n$

mentre per il denominatore risulta:

$(n+3)^{\beta}\sim n^{\beta}.$

Quindi

$a_n \sim \frac{2\log n}{n^\beta} = \frac{2}{n^{\beta}(\log n)^{-1}}$

Si nota che la serie risultante è una serie armonica generalizzata di tipo 2 della forma $\sum\frac{1}{n^p(\log n )^q}$ con $p = \beta$ e $q=-1$ . Dal lemma 12 sappiamo che tale serie converge se $p>1$ oppure se $p=1$ e $q >1$ , si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\text{la serie } \text{converge per }\ \beta>1,\ \text{e diverge per}\ \beta\le 1.}}$

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