Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Serie di potenze: esercizi svolti misti

Esercizi Serie di potenze

Home » Serie di potenze: esercizi svolti misti

 
 

Sommario

Leggi...

Raccolta di esercizi sulle serie di potenze, riguardanti vari aspetti della teoria: calcolo del raggio e dell’intervallo di convergenza, somma di serie notevoli, derivazione e integrazione termine a termine e manipolazione di serie per funzioni razionali. Ogni esercizio è corredato da svolgimento dettagliato e spiegazione rigorosa. Il materiale è destinato a studenti universitari di Analisi Matematica 2.

 
 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Luigi De Masi.


 
 

Notazioni

Leggi...

\mathbb N    nsieme dei numeri naturali \{0,1,2,\dots\};
\mathbb Z    insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb Q    insiemi dei numeri razionali;
\mathbb R    insiemi dei numeri reali;
\mathbb C    insiemi dei numeri complessi;
\sum_{n=0}^{{+\infty}}a_nx^n    serie di potenze con centro 0 e coefficienti a_n\in\mathbb R (o \mathbb C);
v    raggio di convergenza di una serie di potenze;
f^{(m)}(x)    derivata di ordine m della funzione f;
C^k(E)    insieme delle funzioni derivabili k volte in E, con derivate continue.
C^\infty(E)    insieme delle funzioni derivabili infinite volte in E, con derivate continue.


 
 

Richiami di teoria

Leggi...

Presentiamo di seguito i richiami teorici utili per lo svolgimento degli esercizi proposti. Per approfondire la teoria sull’argomento si rimanda alla dispensa [3, Serie di potenze – Teoria].

Definizione 1.1 (serie di potenze). Sia x_0 \in \mathbb{R} e sia \{a_k\}_{k=0}^{+\infty} una successione di numeri reali. Si dice serie di potenze di centro x_0 e coefficienti a_k la serie di funzioni definita da

(1) \begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k. \end{equation*}

\[\quad\]

Poiché le serie di potenze sono particolari serie di funzioni, la relativa teoria è necessaria per lo svolgimento degli esercizi. Invitiamo pertanto il lettore a consultare [2, Serie di potenze – Teoria] per i dettagli.

Data una serie di potenze di centro x_0, l’insieme in cui la essa converge è un intervallo centrato in x_0, il cui raggio viene detto raggio di convergenza della serie di potenze. Tale raggio è intuitivamente pari alla massima distanza da x_0 dei punti in cui la serie converge.

Teorema 1.2 (raggio di convergenza). Sia \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k una serie di potenze e si definisca

(2) \begin{equation*} \rho \coloneqq \sup \left \{ |x-x_0| \colon \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k \text{ è convergente }\right \}. \end{equation*}

Tale \rho, detto raggio di convergenza della serie, soddisfa le seguenti proprietà:

\[\quad\]

  1. la serie di potenze converge totalmente, e quindi uniformemente e puntualmente, in ogni intervallo del tipo [x_0-r,x_0+r] con r < \rho;

    2.  

  2. il termine generale della serie di potenze è illimitato per ogni x tale che |x-x_0|>\rho; in particolare, la serie di potenze non converge in nessun punto x tale che |x-x_0|>\rho e il termine generale della serie è illimitato per ogni x tale che |x-x_0|>\rho.

In particolare, l’insieme di convergenza puntuale della serie di potenze è un intervallo di estremi x_0-\rho e x_0+\rho e la somma S della serie di potenze è una funzione continua nell’intervallo (x_0-\rho,x_0+\rho).

\[\quad\]

Presentiamo di seguito i criteri comunemente utilizzati per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze.

Proposizione 1.3 (criterio del rapporto, o di d’Alembert, [3, proposizione 2.9]). Sia \sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k una serie di potenze e si supponga che esista

(3) \begin{equation*} \ell \coloneqq \lim_{k \to +\infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}. \end{equation*}

Allora il raggio di convergenza \rho della serie è pari a \frac{1}{\ell}, dove con tale scrittura si intende che

(4) \begin{equation*} \rho = \begin{cases} 0 & \text{se } \ell=+\infty \\[2pt] \frac{1}{\ell} & \text{se } \ell \in (0,+\infty) \\[2pt] +\infty & \text{se } \ell=0. \end{cases} \end{equation*}

\[\quad\]

Proposizione 1.4 (criterio della radice, o di Cauchy–Hadamard, [3, proposizione 2.10]). Sia \sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k una serie di potenze e si supponga che esista

(5) \begin{equation*} \ell \coloneqq \lim_{k \to +\infty} \sqrt[k]{|a_k|}. \end{equation*}

Allora il raggio di convergenza \rho della serie è pari a \frac{1}{\ell}, dove con tale scrittura si intende che

(6) \begin{equation*} \rho = \begin{cases} 0 & \text{se } \ell=+\infty \\[2pt] \frac{1}{\ell} & \text{se } \ell \in (0,+\infty) \\[2pt] +\infty & \text{se } \ell=0. \end{cases} \end{equation*}

\[\quad\]

Questa versione del criterio della radice richiede, come ipotesi, l’esistenza del limite \lim_{k \to +\infty} \sqrt[k]{a_k}; ciò ne impedisce l’applicazione nei casi in cui tale limite non esista. Esiste un criterio della radice generalizzato nel quale si utilizza \limsup_{k \to +\infty} \sqrt[k]{a_k} con la medesima tesi del teorema 1.4, che riportiamo qui di seguito.

Proposizione 1.5 criterio della radice – versione generale, (3, proposizione 5.5). Sia \sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k una serie di potenze; detto

(7) \begin{equation*} \ell \coloneqq \limsup_{k \to +\infty} \sqrt[k]{|a_k|}, \end{equation*}

il raggio di convergenza \rho della serie è pari a \frac{1}{\ell}, dove con tale scrittura si intende che

(8) \begin{equation*} \rho = \begin{cases} 0 & \text{se } \ell=+\infty \\[5pt] \dfrac{1}{\ell} & \text{se } \ell \in (0,+\infty) \\[6pt] +\infty & \text{se } \ell=0. \end{cases} \end{equation*}

\[\quad\]

Le proprietà del raggio di convergenza consentono di ottenere i seguenti importanti risultati.

Teorema 1.6 (derivazione di una serie di potenze, [3, teorema 3.2]). Sia \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k una serie di potenze avente raggio di convergenza \rho>0 e somma S \colon (x_0-\rho,x_0+\rho) \to \mathbb{R}. Allora la serie delle derivate

(9) \begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} ka_{k}(x-x_0)^{k-1} \end{equation*}

possiede lo stesso raggio di convergenza \rho. In particolare, la funzione S è derivabile e si può derivare termine a termine:

(10) \begin{equation*} S'(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} ka_{k}(x-x_0)^{k-1} \qquad \forall x \in (x_0-\rho,x_0+\rho). \end{equation*}

Inoltre S \in C^{\infty}\big( (x_0-\rho,x_0+\rho) \big).

Teorema 1.7 (integrazione di una serie di potenze, [ 3, teorema 3.6]). Sia \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k una serie di potenze avente raggio di convergenza \rho>0 e somma S \colon (x_0-\rho,x_0+\rho) \to \mathbb{R}. Allora la serie degli integrali

(11) \begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a_k}{k+1}(x-x_0)^{k+1} \end{equation*}

possiede lo stesso raggio di convergenza \rho e la funzione S può essere integrata per serie:

(12) \begin{equation*} \int_{x_0}^x S(t)\,\mathrm{d}t = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a_k}{k+1}(x-x_0)^{k+1} \qquad \forall x \in (x_0-\rho,x_0+\rho). \end{equation*}

\[\quad\]

Richiamiamo poi le definizioni di funzione analitica e di serie di Taylor.

Definizione 1.8 (funzione analitica, [3, definizione 4.1]). Sia I \subseteq \mathbb{R} un intervallo. Una funzione f \colon I \to \mathbb{R} si dice analitica in x_0\in I se esistono r>0 e dei coefficienti \{a_k\}_{k \in \mathbb{N}} tali che1

(13) \begin{equation*} f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k \qquad \forall x \in (x_0-r,x_0+r) \cap I. \end{equation*}

La funzione f si dice analitica in I se essa è analitica in ogni x_0 \in I. In tal caso scriviamo f \in C^{\omega}(I).

Definizione 1.9 (serie di Taylor, [3, definizione 4.4]). Sia f \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione derivabile infinite volte in x_0\in A. La serie di potenze \sum_{k=0}^{+\infty}a_k(x-x_0)^k di centro x_0 e di coefficienti

(14) \begin{equation*} a_k = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \qquad \forall k \in \mathbb{N} \end{equation*}

è detta serie di Taylor della funzione f in x_0.

\[\quad\]

Osservazione 1.10. Dal teorema 1.6 sulla derivazione di una serie di potenze segue che una funzione f analitica in x_0 è di classe C^{\infty}\big( (x_0-r,x_0+r) \big) e l’unica scelta possibile dei coefficienti a_k è legata alle derivate di f dalla seguente formula:

(15) \begin{equation*} a_k = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}

Segue quindi che una funzione è analitica in x_0 se e solo se i coefficienti della serie in (13) soddisfano (15), ossia se essa è pari alla sua sua serie di Taylor in un intorno di x_0.

L’insieme delle funzioni analitiche è chiuso rispetto alle usuali operazioni tra funzioni, come mostra la seguente proposizione.

Proposizione 1.11 (algebra delle funzioni analitiche). Siano I,J \subseteq \mathbb{R} intervalli e siano \alpha,\beta \in \mathbb{R}; supponiamo che f,g \in C^\omega(I) e che h \in C^\omega(J). Valgono le seguenti proprietà:

\[\quad\]

  1. la derivata e ogni primitiva di f sono analitiche in I;

    2.  

  2. \alpha f + \beta g è analitica in I;

    3.  

  3. f \cdot g è analitica in I;

    4.  

  4. \displaystyle \frac{1}{f} è analitica nell’insieme \{x \in I \colon f(x) \neq 0\};

    5.  

  5. se f(I) \subseteq J, allora h \circ f è analitica in I;

    6.  

  6. Se f è invertibile e f'(x) \neq 0 in I, allora l’inversa f^{-1} è analitica.

\[\quad\]

Concludiamo presentando un utile criterio per stabilire se una funzione di classe C^\infty sia analitica e il principio di identità delle funzioni analitiche.

Proposizione 1.12 (criterio di analiticità, [3, proposizione 4.8]). Sia I \subseteq \mathbb{R} un intervallo e sia f \in C^{\infty}(I). Se esiste C\geq 0 e N \in \mathbb{N} tale che

(16) \begin{equation*} |f^{(k)}(x)| \leq C^{k} k! \qquad \forall k \geq N,\,\, \forall x \in I, \end{equation*}

allora per ogni punto x_0 \in I la serie di Taylor di f centrata in x_0 ha raggio di convergenza almeno pari a \frac{1}{C} e converge a f in \left (x_0-\frac{1}{C}, x_0+\frac{1}{C}\right ). In particolare, f è analitica in I.

Teorema 1.13 (principio d’identità per funzioni analitiche, [3, teorema 5.15]) Sia I \subseteq \mathbb{R} un intervallo e siano f,g \in C^\omega(I) tali che l’insieme \{x \in I \colon f(x)=g(x)\} abbia un punto di accumulazione. Allora f=g.

\[\quad\]

   

  1. Sia r che la successione dei coefficienti a_k dipendono in generale dal punto x_0 considerato. ↩

 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze

\[ \sum_{n=0}^{{+\infty}} \frac{x^{n}}{3^{n}}. \]

Svolgimento.

Applichiamo il criterio del rapporto:

\[ \lim_{n\to+\infty}\left|\frac{\frac{1}{3^{n+1}}}{\frac{1}{3^{n}}}\right|=\frac{1}{3}. \]

Per la proposizione 1.3, il raggio di convergenza risulta quindi \rho = 3.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’intervallo di convergenza della serie di potenze

\[ \sum_{n=1}^{{+\infty}} (-1)^{n-1}\,\frac{(x-2)^{n}}{n}. \]

Svolgimento.

Applicando il criterio del rapporto otteniamo

\[\lim_{n\to+\infty} \left|\frac{\frac{1}{n+1} }{\frac{1}{n} }\right| = 1,\]

dunque il raggio di convergenza è \rho=1 e la serie converge per |x-2| < 1, ossia 1 < x < 3.

Procediamo ora ad analizzare il comportamento agli estremi: se x = 1, la serie diventa -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac1n, che diverge; se invece x = 3, la serie è armonica alternata, che converge ad esempio grazie al criterio di Leibnitz. Pertanto, l’intervallo di convergenza è

\[(1,3].\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’intervallo di convergenza della serie di potenze

\[ \sum_{n=1}^{{+\infty}}\frac{3n+\log n}{n^{3}+3}\,x^{n}. \]

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi