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Serie di potenze: esercizi svolti sul calcolo del dominio di convergenza

Esercizi Serie di potenze

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Sommario

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Raccolta di esercizi sull’intervallo di convergenza di una serie di potenze mediante la determinazione del raggio di convergenza e lo studio dei punti estremi, rivolti a coloro che muovono i loro primi passi nell’argomento.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

 
 

Notazioni

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\mathbb N    insieme dei numeri naturali \{0,1,2,\dots\};
\mathbb Z    insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb R    insiemi dei numeri reali;
\sum_{n=0}^{{+\infty}}a_nx^n    serie di potenze con centro 0 e coefficienti a_n\in\mathbb R;
\rho    raggio di convergenza di una serie di potenze.


 
 

Richiami di teoria

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Presentiamo di seguito i richiami teorici utili per lo svolgimento degli esercizi proposti. Per approfondire la teoria sull’argomento si rimanda alla dispensa [3, Serie di potenze – Teoria].

Definizione 1.1 (serie di potenze). Sia x_0 \in \mathbb{R} e sia \{a_k\}_{k=0}^{+\infty} una successione di numeri reali. Si dice serie di potenze di centro x_0 e coefficienti a_k la serie di funzioni definita da

(1) \begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k. \end{equation*}

\[\quad\]

Poiché le serie di potenze sono particolari serie di funzioni, la relativa teoria è necessaria per lo svolgimento degli esercizi. Invitiamo pertanto il lettore a consultare [2, Serie di potenze – Teoria] per i dettagli.

Data una serie di potenze di centro x_0, l’insieme in cui la essa converge è un intervallo centrato in x_0, il cui raggio viene detto raggio di convergenza della serie di potenze. Tale raggio è intuitivamente pari alla massima distanza da x_0 dei punti in cui la serie converge.

Teorema 1.2 (raggio di convergenza, [3, teorema 2.3]). Sia \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k una serie di potenze e si definisca

(2) \begin{equation*} \rho \coloneqq \sup \left \{ |x-x_0| \colon \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k \text{ è convergente }\right \}. \end{equation*}

Tale \rho, detto raggio di convergenza della serie, soddisfa le seguenti proprietà:

\[\quad\]

  1. la serie di potenze converge totalmente, e quindi uniformemente, assolutamente e puntualmente, in ogni intervallo del tipo [x_0-r,x_0+r] con r < \rho;

    2.  

  2. la serie di potenze non converge in nessun punto x tale che |x-x_0|>\rho e il termine generale della serie è illimitato per ogni x tale che |x-x_0|>\rho.

In particolare, l’insieme di convergenza puntuale della serie di potenze è un intervallo di estremi x_0-\rho e x_0+\rho e la somma S della serie di potenze è una funzione continua nell’intervallo (x_0-\rho,x_0+\rho).

\[\quad\]

Presentiamo di seguito i criteri comunemente utilizzati per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze.

Proposizione 1.3 (3, criterio del rapporto, o di d’Alembert, [proposizione 2.9]). Sia \sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k una serie di potenze e si supponga che esista

(3) \begin{equation*} \ell \coloneqq \lim_{k \to +\infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}. \end{equation*}

Allora il raggio di convergenza \rho della serie è pari a \frac{1}{\ell}, dove con tale scrittura si intende che

(4) \begin{equation*} \rho = \begin{cases} 0 & \text{se } \ell=+\infty \\[2pt] \frac{1}{\ell} & \text{se } \ell \in (0,+\infty) \\[2pt] +\infty & \text{se } \ell=0. \end{cases} \end{equation*}

Presentiamo di seguito i criteri comunemente utilizzati per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze.

Proposizione 1.4 (criterio della radice, o di Cauchy–Hadamard, [3, proposizione 2.10]). Sia \sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k una serie di potenze e si supponga che esista

(5) \begin{equation*} \ell \coloneqq \lim_{k \to +\infty} \sqrt[k]{|a_k|}. \end{equation*}

Allora il raggio di convergenza \rho della serie è pari a \frac{1}{\ell}, dove con tale scrittura si intende che

(6) \begin{equation*} \rho = \begin{cases} 0 & \text{se } \ell=+\infty \\[2pt] \frac{1}{\ell} & \text{se } \ell \in (0,+\infty) \\[2pt] +\infty & \text{se } \ell=0. \end{cases} \end{equation*}

\[\quad\]

Questa versione del criterio della radice richiede, come ipotesi, l’esistenza del limite \lim_{k \to +\infty} \sqrt[k]{a_k}; ciò ne impedisce l’applicazione nei casi in cui tale limite non esista. In [3, proposizione 5.5], il lettore può reperire un criterio della radice generalizzato nel quale si utilizza \limsup_{k \to +\infty} \sqrt[k]{a_k} con la medesima tesi del teorema 1.4, che non riportiamo.

Nell’utilizzo pratico dei criteri del rapporto e della radice risultano molto utili i limiti notevoli

(7) \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^\alpha} = 1 \qquad \forall \alpha \in \mathbb{R} \end{equation*}

e

(8) \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n!} = +\infty, \end{equation*}

le cui dimostrazioni si possono reperire rispettivamente in [7, esempi 9.8 e 9.1]. Infine, sempre allo scopo di facilitare l’utilizzo del criterio della radice e del rapporto, esplicitiamo la seguente proprietà della quale, non avendo a disposizione un riferimento bibliografico preciso, riportiamo la semplice dimostrazione.

Proposizione 1.5 (successioni asintotiche e criteri di convergenza). Sia a_n una successione di numeri reali e si supponga che a_n \sim b_n per n \to +\infty, ovvero che \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n}=1. Allora sono soddisfatte le seguenti equivalenze:

\[ \begin{gathered} \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \ell \iff \lim_{n \to +\infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} = \ell, \\[5pt] \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|}= \ell \iff \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|b_n|}= \ell. \end{gathered} \]

In altre parole, i criteri della radice e del rapporto forniscono lo stesso risultato applicati alle successioni a_n e b_n.

\[\quad\]

Dimostrazione. Dimostriamo la prima equivalenza. Senza ledere la generalità, supponiamo che valga \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \ell. Si ha dunque

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n \to +\infty} \left (\frac{b_{n+1}}{b_n} \cdot \frac{a_n}{a_{n+1}} \right )\cdot \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1\cdot \ell = \ell. \]

Allo stesso modo si dimostra l’implicazione inversa. Per la seconda equivalenza, si supponga che valga \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|}= \ell. Si ha dunque

\[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|b_n|} = \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{|b_n|}{|a_n|} \cdot |a_n|}= 1 \cdot \ell = \ell. \]

Analogamente si prova l’implicazione inversa.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’intervallo di convergenza della serie di potenze

\[ \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\, \frac{9^{n}-5^{n}}{(4n+7)\,8^{n}}\, \left(x-\frac{1}{2}\right)^{n}. \]

Svolgimento.

Si tratta di una serie di potenze centrata in x_0=\frac12. Il raggio di convergenza \rho si ottiene applicando il criterio della radice: da 9^n-5^n \sim 9^n e 4n+7 \sim 4n per n \to +\infty e dalla proposizione 1.5, segue

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{\lvert 9^n-5^n\rvert}}{8\,\sqrt[n]{4n+7}} = \lim_{n\to+\infty} \frac{9}{8} \sqrt[n]{\frac{1}{4n}} =\frac{9}{8}, \]

poiché \sqrt[n]{4n}\to1 grazie a (7). Ne segue che il raggio di convergenza è

\[ \rho=\frac{8}{9}. \]

Dalla definizione di intervallo di convergenza, vi è convergenza assoluta per \lvert x-\frac12\rvert<\rho, ossia per x\in\left(\frac12-\frac{8}{9},\,\frac12+\frac{8}{9}\right)=\left(-\frac{7}{18},\,\frac{25}{18}\right) e la serie non converge per \lvert x-\frac12\rvert>\rho. Rimane da esaminare il comportamento della serie agli estremi dell’intervallo di convergenza.

\[\quad\]

  • Per x=\frac{25}{18} si ha (x-\frac12)^n=(\frac{8}{9})^n e la serie diventa

    \[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\,\frac{9^{n}-5^{n}}{(4n+7)\,8^{n}}\left(\frac{8}{9}\right)^n =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n+7}\left(1-\left(\frac{5}{9}\right)^n\right) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n+7} -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n+7}\left(\frac{5}{9}\right)^n. \]

    La prima è la classica serie a segni alterni di termini \frac{1}{4n+7} che sono infinitesimi e decrescenti, quindi converge per il criterio di Leibniz; la seconda converge assolutamente per confronto con la geometrica di ragione \frac{5}{9} in quanto il modulo del termine generale è sempre minore di \left (\frac{5}{9}\right )^n.

    La somma delle due serie converge quindi solo semplicemente, e x=\frac{25}{18} è incluso nell’intervallo di convergenza.

    •  

  • Per x=-\frac{7}{18} si ha (x-\frac12)^n=(-\frac{8}{9})^n e, semplificando il segno alterno, la serie diventa

    \[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\,\frac{9^{n}-5^{n}}{(4n+7)\,8^{n}}\left(-\frac{8}{9}\right)^n =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n+7}\left(1-\left(\frac{5}{9}\right)^n\right) \geq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{9n}, \]

    dove la disuguaglianza segue da 1-\left(\frac{5}{9}\right)^n\geq \frac{4}{9} per ogni n \in \mathbb{N}\setminus\{0\}. Poiché la serie è a termini positivi, per confronto con la serie armonica essa è divergente e ciò implica che x=-\frac{7}{18} non appartiene all’intervallo di convergenza.

In conclusione l’intervallo di convergenza è

\[ \boxcolorato{analisi}{\;\left (-\frac{7}{18},\,\frac{25}{18}\right ].\,} \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’intervallo di convergenza della serie di potenze

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{9^{n}-8^{n}}{(3n^{2}+1)\,5^{n}}\,(4x+1)^{n}. \]

Svolgimento.

La serie è centrata in x_0=-\frac{1}{4} e dunque la scriviamo come

\[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{9^n-8^n}{(3n^2+1)5^n} \cdot 4^n\left (x+ \frac{1}{4}\right )^n. \]

Per calcolare il raggio di convergenza utilizziamo il criterio della radice insieme alla proposizione 1.5: da 9^{n}-8^{n} \sim 9^n e da 3n^2+1 \sim 3n^2 segue

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{|9^{n}-8^{n}|\cdot 4^n}}{5\,\sqrt[n]{\,3n^{2}+1\,}} = \frac{9\cdot 4}{5}\lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{3n^2}} = \frac{36}{5}, \]

poiché \sqrt[n]{3n^{2}+1}\to 1 in virtù di (7). Dunque il raggio di convergenza è

\[\rho= \frac{5}{36}.\]

Dalla definizione di intervallo di convergenza, si ha convergenza assoluta della serie per

\[ \left | x+\frac{1}{4} \right |<\frac{5}{36}\iff -\frac{7}{18}<x<-\frac{1}{9} \]

e la serie non converge per \left | x+\frac{1}{4} \right |>\frac{5}{36}. Rimane da esaminare la convergenza agli estremi dell’intervallo determinato. Se x=-\frac{7}{18} oppure x=-\frac{1}{9}, il modulo del termine generale diventa

\[ \frac{9^{n}-8^{n}}{(3n^{2}+1)\,5^{n}}\left(\frac{5}{9}\right)^{n} =\frac{1-\left ( \frac{8}{9}\right )^{n}}{3n^{2}+1}, \]

e la serie è a termini positivi e converge per confronto con la serie armonica generalizzata \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}} di esponente 2 in quanto il numeratore è minore di 1 e il denominatore è maggiore di n^2. Ne segue che la serie converge assolutamente nell’intervallo chiuso

\[ \boxcolorato{analisi}{\;\left [-\dfrac{7}{18}, -\dfrac{1}{9} \right ].\;} \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’intervallo di convergenza della serie di potenze

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!\,2^{n}+5}{(n+3)!}\,(x+2)^{n}. \]

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