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Esercizi spazi vettoriali 7 — Somma e intersezione di sottospazi

Spazi vettoriali

Home » Esercizi spazi vettoriali 7 — Somma e intersezione di sottospazi

In questa raccolta vengono proposti 30 esercizi svolti sulla somma e l’intersezione di spazi vettoriali. Questo articolo continua il percorso didattico sugli spazi vettoriali, si veda ad esempio Esercizi svolti su basi e dimensioni e Esercizi svolti su sottospazi vettoriali e basi.

Ogni esercizio è stato selezionato e ogni soluzione è stata curata al fine di garantire chiarezza didattica ed espositiva. Auguriamo quindi a tutti una piacevole lettura.

 

Sommario

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In questa dispensa vengono proposti esercizi misti sulla somma e sull’intersezione di sottospazi vettoriali. I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola.


 

Autori e revisori

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Autore: Chiara Bellotti

Revisori: Luigi De Masi, Sara Sottile, Matteo Talluri, Valerio Brunetti


 

Notazioni su somma e intersezioni di sottospazi vettoriali

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A

\mathrm{rk}

\det

\dim

\mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})

\mathscr{L}(v_1,\dots, v_n)

\mathbb{R}[x]

\mathbb{R}_{\leq n}[x]

\operatorname{Sym}_n(\mathbb{R})

\operatorname{ASym}_n(\mathbb{R})

U \oplus W

\boldsymbol{0}

Matrice dei coefficienti del sistema lineare;

Rango di una matrice;

Determinante di una matrice;

Dimensione di uno spazio vettoriale;

Spazio generato dai vettori v_1,\dots, v_n;

Spazio generato dai vettori v_1,\dots, v_n;

Insieme dei polinomi in una variabile a coefficienti reali;

Insieme dei polinomi in una variabile di grado minore o uguale a n a componenti reali;

Spazio delle matrici simmetriche a componenti reali;

Spazio delle matrici antisimmetriche a componenti reali;

Somma diretta dei sottospazi vettoriali U e W;

Vettore nullo di un generico spazio vettoriale.


 

Premessa teorica su somma e intersezione di sottospazi vettoriali

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In questa sezione richiamiamo brevemente le principali definizioni e proprietà che verranno usate negli esercizi che seguono. Per eventuali dimostrazioni si può fare riferimento a [[1], [2] ].

Definizione 2.1 (Dimensione). Sia V uno spazio vettoriale avente una base costituita da n elementi. Allora si dice che V ha dimensione n.

Definizione 2.2 (Codimensione). Sia V uno spazio vettoriale avente dimensione finita e sia W\subseteq V un suo sottospazio vettoriale. Si definisce codimensione di W in V la quantità

\[ \operatorname{codim} W=\dim V-\dim W.\]

Proposizione 2.3 ([1] Teorema 6, Ch.2). Sia V uno spazio vettoriale e sia W\subseteq V un suo sottospazio vettoriale. Allora

\[ \dim W\leq \dim V.\]

Teorema 2.4 (Formula delle dimensioni, [2] Teorema 4.18, Ch.4). Siano U e W due sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale V di dimensione finita. Vale la seguente relazione:

(1) \begin{equation*} \operatorname{dim} (U+W)=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W-\operatorname{dim} (U \cap W). \end{equation*}

Teorema 2.5 ([2] Ch.4, Ch.5). La dimensione di un sottospazio vettoriale U di uno spazio vettoriale V di dimensione finita è pari alla dimensione dello spazio ambiente meno il rango della matrice del sistema delle sue equazioni cartesiane, ovvero il rango di tale matrice è pari alla codimensione del sottospazio vettoriale U.


 

Testi degli esercizi su somma e intersezione di sottospazi vettoriali

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)Sono dati i vettori

\[v_1=(-1,0,0),\quad v_2=(2,1,-1),\quad v_3=(1,1,-1)\]

di \mathbb{R}^3. Sia W= \mathscr{L}\left(v_1, v_2, v_3\right). Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento diretto per W.

Svolgimento.

Osserviamo che v_1+v_2=v_3 e v_1, v_2 sono indipendenti, quindi \mathscr{L}\left(v_1, v_2, v_3\right)=\mathscr{L}\left(v_1, v_2\right). Da questo segue che

\[\operatorname{dim}W=2,\]

la codimensione di W è pari a 1 e una sua base è

\[\left\{v_1, v_2\right\}.\]

Osserviamo poi che

\[(x,y,z)\in \mathscr{L}\left(v_1, v_2\right)\Longleftrightarrow \exists t, s \in \mathbb{R} \text { tali che }(x,y,z)=t v_1+s v_2,\]

ovvero

\[\exists t, s \in \mathbb{R} \text { tali che } (x,y,z)=t(1,0,0)+s(2,1,-1) \Longleftrightarrow \exists t, s \in \mathbb{R} \text { tali che } \left\{\begin{array}{l} x=t+2 s \\ y=s \\ z=-s \end{array}.\right\]

Quelle appena trovate sono le equazioni parametriche del generico vettore in W. Sostituendo la terza equazione nella seconda si ottiene y+z=0, che è l’equazione cartesiana. Poiché la codimensione di W è pari a 1, il sistema di equazioni cartesiane che lo descrive ha una sola equazione per il teorema 2.5.

Ci resta ora da trovare un complemento diretto di W. Siccome \dim (\mathbb{R}^{3})=3 e \dim W=2, un complemento diretto di W deve avere dimensione 1. Siccome il vettore

\[(0,1,0)\notin W\]

in quanto non soddisfa l’equazione cartesiana y+z=0, il sottospazio

\[U=\mathscr{L}\left((1,0,0)\right)\]

ha dimensione 1 e U\cap W=\{\mathbf{0}\}, quindi per la formula delle dimensioni ((2.4)) possiamo concludere che U è un complemento diretto di W in \mathbb{R}^3.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento diretto per W \subseteq \mathbb{R}^4, dove

\[W=\mathscr{L}((2,-1,1,1),\ (0,0,0,0),\ (1,-1,1,1),\ (1,0,0,0),\ (4,-2,2,2)).\]

Svolgimento.

Osserviamo che

\[(2,-1,1,1)=(1,-1,1,1)+(1,0,0,0)\]

e

\[(4,-2,2,2)=2\ (2,-1,1,1),\]

mentre il vettore nullo è linearmente dipendente da ogni sistema di vettori. Segue che

\[W=\mathscr{L}((1,-1,1,1),\ (1,0,0,0))\]

ed essendo questi due vettori linearmente indipendenti, la dimensione di W è 2 e i vettori (1,-1,1,1),\ (1,0,0,0) ne costituiscono una base. La codimensione di W è quindi 4-2=2, in quanto stiamo lavorando in \mathbb{R}^{4}.

Siccome

\[\mathscr{L}((1,-1,1,1),(1,0,0,0))=\{s(1,-1,1,1)+t(1,0,0,0) \colon s, t \in \mathbb{R}\},\]

otteniamo come equazioni parametriche

\[(x,y,z,w) \in W \Longleftrightarrow x=s+t, \quad y=-s, \quad z=s, \quad w=s,\quad\quad s,t\in\mathbb{R}.\]

Sostituendo w=s in y=-s e z=s, si ottengono le seguenti equazioni cartesiane:

\[z-w=0, \quad y+w=0,\]

che sono 2 in quanto la codimensione di W è 2.

Detto U un complemento diretto di W in \mathbb{R}^{4}, essendo \dim W=2 segue che \dim U=4-2=2. Osserviamo che

\[(0,0,1,0),\ (0,0,0,1) \notin W\]

in quanto non soddisfano le equazioni cartesiane di W e sono linearmente indipendenti. Detto U il sottospazio generato da questi due vettori, osserviamo che \dim U=2 e un qualunque elemento di U, avente la forma (0,0,a,b) con a,b\in\mathbb{R}, appartiene a W se e solo se soddisfa le equazioni cartesiane di W, ma questo accade se e solo se a=b=0. Quindi, siccome W\cap U=\{\mathbf{0}\}, per la formula delle dimensioni ((2.4)) possiamo quindi concludere che il sottospazio U generato dai vettori

\[(0,0,1,0),\ (0,0,0,1),\]

è tale che \dim(U+W)=4, quindi W \oplus U = \mathbb{R}^4 e quindi è un complemento diretto di W in \mathbb{R}^4.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento per U \subseteq \mathbb{R}^3, dove

\[U=\mathscr{L}((1,-3,-2),\ (0,-1,-1),\ (0,2,2),\ (0,0,0),\ (-1,2,1)).\]

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