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Grado di un monomio e di un polinomio

Monomi: Espressioni e Problemi, Polinomi: Espressioni e Problemi

Home » Grado di un monomio e di un polinomio

Benvenuti nella nostra guida sul grado di un monomio e di un polinomio.
In questo articolo esponiamo in maniera breve e chiara il concetto di grado, che esprime la “complessità massima” di un polinomio o di un monomio, ossia il suo massimo esponente complessivo. Dopo aver introdotto questo concetto con delle definizioni sintetiche, lo illustriamo in vari esempi svolti, analizzando anche come il grado si comporta rispetto alla somma e al prodotto.
Puoi applicare i concetti qui descritti anche negli articoli delle cartelle Monomi: Espressioni e problemi e Polinomi: Espressioni e problemi, in particolare in

Buona lettura!

Sommario

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In questo articolo esaminiamo la nozione di grado di un monomio e di un polinomio, con esempi pratici e discussione delle relative proprietà.

 

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi.  

 

 

Introduzione

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I polinomi compaiono in tutta la matematica: dall’algebra elementare all’analisi numerica, dalla geometria alla teoria dei codici. Il concetto di grado di un polinomio esprime in qualche modo “quanto è complesso” il suo monomio dominante, con conseguenze pratiche su svariati problemi.

 

Monomi e loro grado

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Un monomio è il prodotto di un coefficiente numerico e di altri fattori letterali, ciascuno elevato a una certa potenza non-negativa. Le lettere che costituiscono i fattori del monomio vengono dette variabili. Ad esempio, l’espressione

(1) \begin{equation*} 5x^2yz^3 \end{equation*}

è un monomio nelle variabili x,y,z, in quanto prodotto del numero reale 5 per x^2 \cdot y \cdot z^3 (in cui solitamente il segno di moltiplicazione viene sottointeso). Invece, l’espressione

\[ 5x^2yz^{-3} \]

non è un monomio, in quanto l’esponente della variabile z è negativo.

 

Definizione 1 (grado di un monomio). Dato un monomio, il suo grado è la somma degli esponenti delle variabili nella sua parte letterale. Se il monomio non ha parte letterale, il suo grado è 0.

 

Ad esempio, il monomio in (1) ha grado 6 in quanto la somma degli esponenti delle lettere che vi compaiono è 2+1+3=6.

 

Esempio 2. Il monomio

\[ 7^2 a^3b \]

ha grado 4 in quanto la somma degli esponenti della sua parte letterale è 3+1=4: non bisogna lasciarsi ingannare dal fatto che il coefficiente numerico sia espresso sotto forma di potenza; tale esponente non deve essere considerato nel calcolo del grado del monomio.

 

Polinomi e loro grado

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Un polinomio è un’espressione costituita dalla somma di un numero finito di monomi. Ad esempio

(2) \begin{equation*} \frac{1}{4}xy + 3a^2x - by^4 \end{equation*}

è un polinomio nelle variabili x,y,a,b, in quanto i suoi tre addendi sono dei monomi. Invece l’espressione

\[ \frac{x}{y} + 6y^2 \]

non è un polinomio perché l’addendo \frac{x}{y} non è un monomio, in quanto non è il prodotto di potenze a esponente positivo delle variabili x e y, ma un quoziente: infatti \frac{x}{y}=xy^{-1} e l’esponente della y è negativo.

 

Definizione 2. Il grado di un polinomio P è il massimo tra i gradi dei monomi che lo compongono. Il grado del polinomio P si indica anche con \deg(P).

Invece, il grado del polinomio rispetto a una specifica variabile è il massimo esponente con cui compare la variabile nei monomi che lo compongono.

 

Esempio 3. Il polinomio

\[ P = \frac{1}{4}xy + 3a^2x - by^4 \]

ha grado 5, in quanto il monomio \frac{1}{4}xy ha grado 2, il monomio 3a^2x ha grado 3, mentre il monomio -by^4 ha grado 5. In formule possiamo scrivere \deg(P)=5.

Rispetto alla sola variabile x, il polinomio ha grado 1, poiché la massima potenza di x che compare ha esponente 1.

Rispetto alla variabile y, P ha grado 4 in quanto il massimo esponente con cui compare la y è 4. Analogamente, rispetto alla variabile a il polinomo ha grado 2 e rispetto alla variabile b il polinomio ha grado 1.

 

Relazioni tra grado e operazioni

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Dati due polinomi P e Q, è interessante chiedersi come si comportano i gradi di P+Q e di P \cdot Q rispetto ai gradi di P e Q.

 

Somma di polinomi

Partiamo da un esempio pratico: consideriamo i due polinomi

(3) \begin{equation*} P(x)= ax^2y -4 x^3, \qquad Q(x) = \frac{2}{3} a^2 + 7y^4z \end{equation*}

nelle variabili a,x,y,z. Osserviamo che \deg P=4 e \deg Q=5.

La somma P+Q è composta da quattro monomi:

\[ P+Q=ax^2y -4 x^3 - \frac{2}{3} a^2 + 7y^4z. \]

Il grado di questo polinomio è il massimo grado tra quelli dei monomi presenti. Poiché il massimo grado è 5 (monomio 7y^4z), il grado di P+Q è 5. Sembrerebbe che ogni monomio in ciascuno dei polinomi P e Q compare nella somma, e quindi concorre al grado di P+Q, e sembrerebbe plausibile che il grado di P+Q sia pari al massimo tra il grado di P e quello di Q.

Purtroppo ciò non è vero, come mostra il seguente esempio.

 

Esempio 4. Siano P e Q i polinomi

\[ P(x)= ax^2y -7 y^4z, \qquad Q(x) = \frac{2}{3} a^2 + 7y^4z. \]

Si ha \deg(P)=5 e \deg(Q)=5, ma

\[ P+Q= ax^2y -\cancel{7 y^4z} + \frac{2}{3} a^2 + \cancel{7y^4z} = ax^2y + \frac{2}{3} a^2, \]

che ha grado 4. Infatti, i due monomi di grado massimo -7 y^4z e 7 y^4z si sono cancellati nella somma e quindi il grado del polinomio P+Q si è abbassato rispetto a quello di P e Q.

Da tali esempi deduciamo che il grado della somma P+Q di due polinomi è minore o uguale al massimo tra i gradi di P e Q, ovvero in formule

\[\boxcolorato{analisi}{ \deg(P+Q) \leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}.}\]

 

Prodotto di polinomi

Analizziamo il caso del prodotto di polinomi usando i polinomi P e Q dati in (3), ovvero

\[ P(x)= ax^2y -4 x^3, \qquad Q(x) = \frac{2}{3} a^2 + 7y^4z. \]

Ricordiamo che \deg(P)=4, mentre \deg(Q)=5. Il prodotto P\cdot Q è pari alla somma dei prodotti incrociati di tutti i monomi, per la proprietà distributiva:

\[ P \cdot Q = \Big( ax^2y -4 x^3 \Big) \cdot \left (\frac{2}{3} a^2 + 7y^4z \right ) = \frac{2}{3}a^3x^2y + 7ax^2y^5z - \frac{8}{3}a^2x^3 - 28x^3y^4z. \]

I monomi nel prodotto hanno grado rispettivamente pari a 6,9,5,8 e quindi P\cdot Q ha grado 9. Osserviamo che 9 è proprio la somma dei gradi 4 e 5 dei polinomi di partenza, e ciò non è casuale. Infatti, sappiamo che nel polinomio P c’è un monomio di grado 4 e nel polinomio Q un addendo ha grado 5. Quando si svolge il prodotto tra questi due addendi, gli esponenti delle lettere in comune si sommano (per la nota proprietà delle potenze) e quindi il grado complessimo del monomio è pari alla somma dei gradi, ovvero 5+4=9. Dato che 4 e 5 erano i massimi gradi disponibili rispettivamente in P e Q, il polinomio P\cdot Q non può contenere alcun monomio di grado maggiore.

Da ciò deduciamo che il grado del prodotto P \cdot Q di due polinomi è pari alla somma dei gradi di P e Q, in formule

\[\boxcolorato{analisi}{ \deg(P \cdot Q) = \deg(P) + \deg(Q).}\]

 

Esercizi proposti

Esercizio 1. Determinare il grado del polinomio

\[ P(x,y,z)=2x^{3}y^{2}-4x^{2}yz^{5}+7z^{6}, \]

indicando anche i gradi rispetto a ciascuna delle variabili.

Svolgimento.

Il polinomio è dato dalla somma di tre monomi: il primo ha grado 3+2=5, il secondo ha grado 2+1+5=8, mentre il terzo ha grado 6. Poiché il grado di un polinomio è il massimo tra i gradi dei monomi che lo compongono, il grado di P è pari a 8:

\[\boxcolorato{analisi}{ \deg(P)=8.}\]

Il massimo esponente con cui compare la variabile x è 3; il grado del polinomio rispetto alla variabile y è invece 2 e il grado di P rispetto a z è 6.

 

Esercizio 2. Determinare il grado del seguente polinomio:

\[ Q(x,y)=3x^{4}y^{2}-5x^{2}y^{5}+9. \]

Svolgimento.

I tre monomi che compongono Q hanno grado rispettivamente pari a 4+2=6, 2+5=7 e 0. Il grado di Q è pari al massimo di questi gradi, ovvero

\[\boxcolorato{analisi}{ \deg(Q)=7.}\]

 

Esercizio 3. Determinare il grado di P+Q e di P\cdot Q, dove P e Q sono i polinomi degli esercizi precedenti.

Suggerimento.

Non è necessario calcolare esplicitamente la somma e il prodotto dei polinomi.

Svolgimento.

Risolviamo separatamente la richiesta sulla somma e sul prodotto.

  • I gradi di P e Q sono diversi, quindi quando essi vengono sommati i monomi di grado massimo non si possono cancellare a vicenda; da ciò segue che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \deg(P+Q)=8.}\]

    A questa conclusione si poteva arrivare anche calcolando la somma P+Q:

    \[ P+Q = 2x^{3}y^{2}-4x^{2}yz^{5}+7z^{6} + 3x^{4}y^{2}-5x^{2}y^{5}+9, \]

    che si vede avere grado 8 in quanto il monomio di massimo grado che vi compare è -4x^{2}yz^{5}.

  • Per il prodotto, una strada è sicuramente quella di calcolare il prodotto P\cdot Q e poi determinarne il grado, ma poiché P e Q sono composti da 3 monomi, per calcolare P\cdot Q è necessario svolgere 3\cdot 3=9 prodotti; dunque questa non sembra una strategia conveniente (il lettore può comunque provarci per esercizio).

    Utilizziamo invece la formula che afferma che il grado di P \cdot Q è pari alla somma dei gradi di P e di Q: da \deg(P)=8 e \deg(Q)=7, segue quindi

    \[\boxcolorato{analisi}{ \deg(P\cdot Q)= \deg(P)+\deg(Q)=8+7=15.}\]

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
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  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
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