I teoremi di de l’Hôpital: teoria

Teorema di De L'Hôpital, Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale

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Se ti è capitato di avere dei dubbi sul teorema di de l’Hôpital, sei nel posto giusto!

Quando un limite presenta una forma indeterminata $\left[\frac{0}{0}\right]\,\, \text{o}\,\, \left[ \frac{\infty}{\infty}\right]$ , occorre confrontare numeratore e denominatore in maniera più precisa per stabilire il valore a cui tende il rapporto. A tal fine, un’idea semplice e geniale è la seguente: poiché le derivate $f'$ e $g'$ rappresentano intuitivamente i tassi di crescita di $f$ e $g$ , è ragionevole ipotizzare che un’informazione sul carattere del loro rapporto $\frac{f'(x)}{g^\prime(x)}$ si traduca in un’informazione sul carattere del rapporto $\frac{f(x)}{g(x)}$ . In altre parole, confrontare i tassi di crescita di $f$ e $g$ “nelle vicinanze di $x_0$ ” permette di confrontare le funzioni $f$ e $g$ negli stessi punti.

I teoremi di de l’Hôpital forniscono una formalizzazione rigorosa di questa intuizione. Questo articolo è una rassegna sulle varie formulazioni di questi risultati, con dettagliate dimostrazioni e numerosi esempi pratici, applicando i teoremi alle suddette forme indeterminate. Il documento è quindi una risorsa completa su questa tematica essenziale nel calcolo dei limiti. Cosa aspetti dunque? Comincia pure la lettura!

Consigliamo la lettura della raccolta di esercizi sui teoremi di de l’Hôpital e di esercizi sulle forme indeterminate, mentre ulteriore materiale teorico correlato può essere consultato ai seguenti link, oltre all’esaustiva lista presente alla fine dell’articolo:

Autori e revisori

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Autore: Martina Moro.

Revisore: Valerio Brunetti.

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Teorema 1 [de l’Hôpital, caso $\left[ \frac 0 0 \right]$ ]. Siano $a, b\, \in \mathbb{R},\, a<b,\,x_0\in(a,b)$ e

$f,g:[a,b]\setminus\{x_0\}\to \mathbb{R}$ due funzioni derivabili in $(a,b)\setminus\{x_0\}$ tali che
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$\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0;$

$\,$

$g'(x)\neq 0\; \forall x \in [a,b]\setminus\{x_0\}\,;$
esiste

$\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\ell\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}. \end{equation*}$

Allora

$\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\ell. \end{equation*}$

Dimostrazione 1.

Le funzioni $f$ e $g$ possono essere prolungate per continuità

(1) $\begin{equation*} \tilde{f}(x)= \begin{cases} f(x) \quad &\text{se $x\neq x_0$},\\ 0 \quad &\text{se $x=x_0$}. \end{cases} \end{equation*}$

Analogamente si definisce $\tilde{g}$ a partire da $g$ e si applica il teorema a queste due nuove funzioni che verificano ancora tutte le ipotesi del teorema 1. Notiamo che $g^\prime(x)\neq 0$ implica che $g(x)\neq 0$ per ogni $x \in [a,b]\setminus\{x_0\}$ ; infatti supponiamo per assurdo l’esistenza di $x_1\in [a,b]$ tale che $g(x_1)=0$ e senza perdere di generalità possiamo supporre $x_0<x_1$ . Allora si può applicare il teorema di Rolle all’intervallo $[x_0,x_1]$ , e dunque esiste $y_0\in (x_0,x_1)$ tale che $g'(y_0)=0$ , contro le ipotesi. Da questo possiamo concludere che $g(x)\neq 0$ per ogni $x\in[a,b]\setminus\{x_0\}$ . Consideriamo $x \in [a,b]$ e supponiamo $x>x_0$ ; applicando il teorema di Cauchy all’intervallo di estremi $x_0$ e $x$ possiamo affermare l’esistenza di $\xi\in (x_0, x)$ ¹ tale che