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Esercizio lavoro ed energia 31

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Esercizio lavoro ed energia 31

L’esercizio 31 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 30 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 32. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo lavoro ed energia 31

Esercizio 31 (\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo approssimabile a un punto materiale di massa m è agganciato a due molle; la prima, di costante elastica k_1, ha l’altro estremo fissato sulla parte superiore di una scatola, mentre l’altra di costante elastica k_2 ha l’altro estremo agganciato alla parte inferiore della stessa scatola. La scatola è alta \ell_0 e tale lunghezza è pari anche alla lunghezza a riposo di entrambe le molle. Il corpo è vincolato a muoversi lungo la direzione verticale, le molle sono ideali e possono comprimersi fino ad avere lunghezza nulla. Si supponga la scatola ferma.

  1. Si appoggi m alla base della scatola e si determini il valore minimo k_{2,{\min}} di k_2 necessario affinché la massa m possa essere in equilibrio senza essere appoggiata alla base della scatola (reazione vincolare nulla).
  2. Il corpo viene lasciato da fermo dalla posizione iniziale y_0=\ell_0/2. Si calcoli la velocità massima v_{\max} che ha il corpo durante il moto e il periodo del moto.

 

 

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Figura 1: schema problema.

 
 

Svolgimento punto 1.

Per ipotesi, sappiamo che il corpo è vincolato a muoversi lungo la direzione verticale, dunque il suo moto è descritto nella sola direzione verticale (un grado di libertà). Per studiare tale moto, introduciamo un sistema di riferimento fisso Oy, tale che O sia posto alla stessa quota della parete superiore della scatola e l’asse y sia parallelo alle pareti laterali, come mostrato in figura 2. In questo punto del problema, viene richiesto di trovare il valore minimo di k_2 per cui il corpo sia in equilibrio alla base della scatola, come mostra la figura 2.

 

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Figura 2: diagramma delle forze.

Diagramma delle forze che agiscono su un punto materiale sospeso tra due molle, con indicazione della reazione vincolare nulla, utilizzato per esercizi di lavoro ed energia

 

Osserviamo che in questa configurazione le forze che agiscono sul punto materiale sono la propria forza peso m\vec{g}, la forza elastica \vec{F}_{\text{el},2} esercitata dalla molla di costante elastica k_2, la reazione vincolare \vec{N} dovuta al contatto con la parete inferiore della scatola, e la forza elastica di richiamo \vec{F}_{\text{el},1} esercitata dalla molla di costante elastica k_1. La forza \vec{F}_{\text{el},1} risulta nulla in quanto l’elongazione della molla è pari alla sua lunghezza a riposo, dunque dalla legge di Hooke segue che \vec{F}_{\text{el},1}=\vec{0}. Impostiamo l’equazione del moto sfruttando il secondo prinicipio della dinamica e imponendo che, poichè il punto materiale è in equilibrio, che la somma delle forze agenti su di esso sia nulla, cioè

(1)   \begin{equation*} mg-N-k_2\ell_0=0. \end{equation*}

Per ipotesi il punto materiale non tocca la parete, dunque la forza dovuta al contatto con la scatola deve essere nulla, ossia N=0. Segue che

(2)   \begin{equation*} mg-k_{2,{\min}}\ell_0=0, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{k_{2,{\min}}=\dfrac{mg}{\ell_0}.}\]


Svolgimento punto 2.

Quando il corpo viene lasciato libero di muoversi, si ha che nel generico istante di tempo t>0, le forze che agiscono su di esso sono le forze elastiche delle due molle e la forza peso del corpo stesso. Chiaramente rispetto al punto precedente non è presente la reazione vincolare in quanto stiamo considerando la situazione di quando non avviene il contatto con la parete superiore o inferiore della scatola.

 

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Figura 3: diagramma delle forze.

Diagramma delle forze che agiscono su un punto materiale sospeso tra due molle, in assenza di reazione vincolare, utilizzato per esercizi di lavoro ed energia

 

Osserviamo inoltre che, dal momento che il moto del punto materiale è confinato all’interno della scatola e che la lunghezza a riposo di entrambe le molle è pari a \ell_0, le forze elastiche \vec{F}_{\text{el},1} e \vec{F}_{\text{el},2} essendo entrambe forze di richiamo, \vec{F}_{\text{el},1} sarà sempre concorde al verso positivo dell’asse y, mentre \vec{F}_{\text{el},2} sarà sempre concorde al verso negativo dell’asse y. In questo caso, per il secondo principio della dinamica, l’equazione del moto è

(3)   \begin{equation*} k_1(\ell_0-y)+k_2(\ell_0-y-\ell_0)+mg=m\ddot{y}, \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} k_1(\ell_0-y)-k_2y+mg=m\ddot{y}. \end{equation*}

Per determinare la posizione \tilde{y} rispetto al punto O in cui la velocità del corpo risulta massima, imponiamo che la sua accelerazione sia nulla (il moto del punto materiale è armonico semplice, dunque, la velocità risulta massima quando l’accelerazione è nulla), ossia che \ddot{y}=0. Otteniamo così

(5)   \begin{equation*} k_1\ell_0-k_1\tilde{y}-k_2\tilde{y}+mg=0\quad\Leftrightarrow\quad\tilde{y}=\dfrac{k_1\ell_0+mg}{k_1+k_2}, \end{equation*}

dove abbiamo posto y=\tilde{y}. Osserviamo che sul punto materiale m agiscono solo forze conservative, pertanto si conserva l’energia meccanica di m. A questo punto, nota la posizione in cui il corpo raggiunge la massima velocità, possiamo calcolare quest’ultima attraverso il bilancio energetico: sappiamo infatti che il corpo viene lasciato libero di muoversi da fermo, dunque la sua energia cinetica iniziale è nulla. Avremo invece che la sua energia potenziale iniziale sarà data dalla somma dei due contributi elastici delle molle e del contributo dell’energia gravitazionale. Ponendo l’energia potenziale nulla alla quota y=0, nel sistema di riferimento Oy, avremo

(6)   \begin{equation*} U_i=\dfrac{1}{2}k_1\dfrac{\ell_0^2}{4}+\dfrac{1}{2}k_2\dfrac{\ell_0^2}{4}-mg\dfrac{\ell_0}{2}=\dfrac{1}{8}\ell_0^2(k_1+k_2)-mg\dfrac{\ell_0}{2}. \end{equation*}

L’energia meccanica del corpo quando y=\tilde{y}, ossia quando la velocità è pari a v_{\max}, è data invece oltre che dai contributi potenziali elastici e gravitazionali, anche da un contributo cinetico. Avremo dunque

(7)   \begin{equation*} U_f=\dfrac{1}{2}mv_{\max}^2+\dfrac{1}{2}k_1(\ell_0-\tilde{y})^2+\dfrac{1}{2}k_2\tilde{y}^2-mg\tilde{y}. \end{equation*}

Si osservi che siccome abbiamo posto il sistema di riferimento orientato come in figura 3, l’energia potenziale gravitazionale è -mgy, altrimenti se avessimo posto il sistema di riferimento nel verso opposto avremmo avuto mgy, con y quota generica di m nel sistema di riferimento adottato. Pe la conservazione dell’energia abbiamo

(8)   \begin{equation*} U_i=U_f, \end{equation*}

ossia

(9)   \begin{equation*} \dfrac{\ell_0}{8}^2(k_1+k_2)-mg\dfrac{\ell_0}{2}=\dfrac{1}{2}mv_{max}^2+\dfrac{1}{2}k_1(\ell_0-\tilde{y})^2+\dfrac{1}{2}k_2\tilde{y}^2-mg\tilde{y}, \end{equation*}

per cui

(10)   \begin{equation*} v_{max}^2=\dfrac{2}{m}\left(\dfrac{\ell_0^2}{8}(k_1+k_2)-mg\left(\dfrac{\ell_0}{2}-\tilde{y}\right)-\dfrac{1}{2}k_1\left(\ell_0-\tilde{y}\right)^2-\dfrac{1}{2}k_2\tilde{y}^2\right), \end{equation*}

o anche, sostituendo \tilde{y} (determinata nell’equazione (5)), si ottiene

    \[\boxcolorato{fisica}{v_{max}=\sqrt{\dfrac{2}{m}\left(\dfrac{\ell_0^2}{8}(k_1+k_2)-mg\left(\dfrac{\ell_0}{2}-\dfrac{k_1\ell_0+mg}{k_1+k_2}\right)-\dfrac{1}{2}k_1\left(\ell_0-\dfrac{k_1\ell_0+mg}{k_1+k_2}\right)^2-\dfrac{1}{2}k_2\left(\dfrac{k_1\ell_0+mg}{k_1+k_2}\right)^2\right)}.}\]

Dall’equazione (4), si ha

(11)   \begin{equation*} k_1\ell_0-k_1\tilde{y}-k_2\tilde{y}+mg=m\ddot{y}, \end{equation*}

oppure

(12)   \begin{equation*} \ddot{y}=g+\dfrac{k_1\ell_0}{m}-\left(\dfrac{k_1+k_2}{m}\right)\tilde{y}. \end{equation*}

L’equazione (12) un’equazione differenziale del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti, la cui omogenea associata è l’equazione di un oscillatore armonico unidimensionale; le sue soluzioni sono dunque funzioni oscillanti con pulsazione pari a

(13)   \begin{equation*} \omega=\sqrt{\dfrac{k_1+k_2}{m}}. \end{equation*}

Possiamo dunque concludere che il periodo delle oscillazioni è

    \[\boxcolorato{fisica}{T=2\pi\sqrt{\dfrac{k_1+k_2}{m}}.}\]

 

 

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Esercizi di Meccanica classica

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Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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