Accedi ai contenuti scaricabili
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio leggi della dinamica 20

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

Home » Esercizio leggi della dinamica 20

L’esercizio 20 sulle leggi della dinamica è il ventesimo della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Leggi di Newton in meccanica classica. Questo esercizio è il successivo di Esercizio leggi della dinamica 19 ed è il precedente di Esercizio leggi della dinamica 21. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo leggi della dinamica 20

Esercizio 20 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un blocco di massa m=5.0 kg è posto su di un piano inclinato e su di esso è applicata la forza orizzontale \vec{F} di intensità 50 N, come in figura 1. Il piano inclinato è scabro, e il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e piano è \mu_k=0.30. Il coefficiente di attrito statico non è dato (ma per risolvere questo problema non vi occorre averne una conoscenza troppo precisa). Se il piano è inclinato di un angolo \alpha=37^\circ rispetto all’orizzontale, rispondere ai seguenti punti:

  1. qual è l’accelerazione del blocco se scivola verso l’alto?
  2. Con la forza \vec{F} sempre applicata, quanto salirà lungo il piano partendo da una velocità iniziale di 4.0\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}?
  3. Che cosa avverrà dopo che il blocco avrà raggiunto il punto più alto?

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Svolgimento Punto 1.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, come in figura 2, e determiniamo le forze agenti sul blocco; in particolare, scegliamo di orientare l’asse x in modo che tale asse sia parallelo all’ipotenusa del piano inclinato, e l’asse delle y perpendicolare all’ipotenusa.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Le forze agenti sul blocco sono la forza orizzontale \vec{F} (che abbiamo scomposto nelle sue componenti \vec{F}_x e \vec{F}_y), la forza peso \vec{P}, della quale evidenziamo in figura 2 le componenti \vec{P}_x e \vec{P}_y lungo le direzioni x e y rispettivamente, la forza d’attrito dinamico \vec{F}_{att} e la reazione vincolare \vec{N}. Per la seconda legge della dinamica, nella direzione dell’asse delle y, abbiamo

(1) \begin{equation*} N=mg\sin \alpha + F_y=mg\cos \alpha + F \sin \alpha, \end{equation*}

dove abbiamo considerato le congruenze degli angoli mostrati in figura 2; specifichiamo inoltre che lungo l’asse delle y il corpo è in equilibrio, di conseguenza la somma delle forze agenti in quella direzione deve essere nulla. Conseguentemente, potremo scrivere il modulo della forza d’attrito dinamico esplicitamente come

(2) \begin{equation*} F_{att}= \mu_k N = \mu_k (mg\cos \alpha + F \sin \alpha). \end{equation*}

Per la seconda legge della dinamica, nella direzione x, si ha rispettivamente

(3) \begin{equation*} \displaystyle -mg\sin \alpha - F_{att} + F\cos\alpha = ma, \end{equation*}

dove a rappresenta il modulo della decelerazione del corpo. Sfruttando l’equazione (2), si ottiene

(4) \begin{equation*} -mg\sin \alpha -\mu_k (mg\cos \alpha + F \sin \alpha)+ F\cos\alpha=ma, \end{equation*}

cioè

\[\boxcolorato{fisica}{ a=\frac{F(\cos\alpha-\mu_k\sin\alpha)-mg(\sin\alpha+\mu_k\cos\alpha)}{m}\simeq -2,1\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}.}\]

 

Svolgimento Punto 2.

Osserviamo che il corpo è dunque sottoposto ad una decelerazione costante. Ipotizziamo adesso, proprio in accordo con il secondo punto del problema, che il corpo abbia velocità iniziale di modulo v_0 = 4.0\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}, parallela all’ipotenusa del piano inclinato, come in figura 3.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Poiché il corpo è sottoposto ad una decelerazione costante, possiamo determinare quanto spazio d percorrerà il blocco prima di arrestarsi, in accordo con le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato. In particolare, consideriamo la legge che lega l’accelerazione allo spazio percorso con le velocità iniziali e finali, cioè

(5) \begin{equation*} 0 = v^2_0 + 2ad, \end{equation*}

da cui

\[\boxcolorato{fisica}{ d=-\frac{v_0^2}{2a}\simeq 3,81\ \text{m}.}\]

 

Svolgimento. Punto 3.

Analizziamo adesso il corpo una volta che si è fermato; consideriamo, in particolare, le forze applicate su esso, come in figura 4.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Un blocco di massa m = 5.0 kg è posto su un piano inclinato con un angolo α = 37° rispetto all'orizzontale. Una forza orizzontale F di intensità 50 N è applicata al blocco, mentre il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco e il piano è μ_k = 0.30.

 

Una volta che il corpo si è fermato sarà soggetto alla forza peso \vec{P} , alla forza \vec{F} , alla reazione vincolare \vec{N} , e alla forza d’attrito statico \vec{F}_s diretta nel verso negativo delle x. La forza \vec{F}_s, infatti, si oppone al movimento del blocco, che, come già specificato, avviene lungo l’asse x. In particolare, è interessante osservare che il blocco tende a scivolare verso la sommità del piano: in effetti, possiamo verificare facilmente che, in modulo, vale che P_x < F_x, ossia

(6) \begin{equation*} mg \sin \alpha < F \cos \alpha, \end{equation*}

da cui si ottiene numericamente 29,51 N < 39,93 N. Possiamo anche valutare l’intensità della forza d’attrito dinamico \vec{F}_{att}, la quale è ancora determinata in accordo con l’equazione (2). Determiniamo, effettuando i calcoli opportuni, che {F}_{att}\approx20,8 N; dunque, di fatto, abbiamo constatato che, in modulo, la forza d’attrito radente dinamico è maggiore della risultante delle forze lungo la direzione x, ossia

(7) \begin{equation*} F_{att}>F \cos \alpha - mg \sin \alpha\approx10,4 \,\text{N}. \end{equation*}

Poiché è sempre vero che, in modulo, la forza d’attrito statico massima F_{s}^{max} è maggiore di quella d’attrito dinamico F_{att}, segue la catena di disuguaglianze

(8) \begin{equation*} F_s^{max}>F_{att}>F \cos \alpha - mg \sin \alpha, \end{equation*}

da cui concludiamo che la forza d’attrito statico è maggiore della risultante delle altre forze agenti lungo la direzione x, e pertanto il corpo resta fermo. Quanto ottenuto ci fa dedurre che non è necessario conoscere il valore esatto del coefficiente di attrito statico.

   


 
 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 58 esercizi risolti, contenuti in 160 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione della Meccanica Newtoniana.

 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

    Leggi...

    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

    Leggi...

     
     

    Un po’ di storia sulle leggi della dinamica

    Leggi...

    Le leggi della dinamica rappresentano uno dei pilastri fondamentali della fisica classica. Formulate da Isaac Newton nel XVII secolo, queste leggi hanno rivoluzionato la nostra comprensione del movimento e delle forze, gettando le basi per la fisica moderna. La storia delle leggi della dinamica inizia con le prime intuizioni pre-scientifiche e arriva fino alle scoperte rivoluzionarie di Newton, estendendosi al loro impatto duraturo sulla scienza e sulla tecnologia contemporanea.

    Prima di Newton, la comprensione del movimento e delle forze era dominata dalle idee di Aristotele, un filosofo greco del IV secolo a.C. Aristotele credeva che tutti i corpi avessero un “luogo naturale” e che si muovessero solo quando una forza esterna agiva su di essi. Questa visione, conosciuta come “fisica aristotelica”, affermava che un oggetto in movimento si fermava automaticamente una volta cessata la forza che lo spingeva. Questa concezione aristotelica rimase predominante per secoli, influenzando profondamente la filosofia naturale. Tuttavia, presentava limitazioni significative, specialmente nella spiegazione di fenomeni come il moto dei pianeti o il comportamento dei proiettili. Nonostante i suoi limiti, la fisica aristotelica gettò le basi per lo sviluppo successivo delle leggi della dinamica.

    Un punto di svolta nella comprensione del movimento fu segnato da Galileo Galilei, un matematico e fisico italiano del XVI secolo. Galileo sfidò molte delle idee di Aristotele, introducendo concetti che sarebbero stati fondamentali per la formulazione delle leggi della dinamica. Galileo fu il primo a dimostrare che la velocità di caduta di un oggetto non dipende dalla sua massa, ma dal tempo trascorso. Egli introdusse il concetto di inerzia, l’idea che un corpo in movimento rimane in movimento a meno che una forza esterna non intervenga. Questo principio di inerzia costituì la base della Prima legge di Newton, una delle tre leggi della dinamica che avrebbero rivoluzionato la fisica. Oltre a queste scoperte, Galileo sviluppò la metodologia scientifica basata sull’osservazione e l’esperimento, ponendo le basi per la fisica moderna. Le sue idee furono cruciali per la successiva formulazione delle leggi della dinamica da parte di Newton.

    Isaac Newton, uno dei più grandi scienziati della storia, formulò le leggi della dinamica nel suo capolavoro “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica”, pubblicato nel 1687. Le tre leggi di Newton descrivono il comportamento del movimento e delle forze in modo preciso e matematico, fornendo una base solida per la meccanica classica. La Prima legge della dinamica, nota anche come legge dell’inerzia, afferma che un corpo in stato di quiete o di moto rettilineo uniforme rimane in tale stato finché non agisce su di esso una forza esterna. Questa legge formalizza il concetto introdotto da Galileo, stabilendo che il movimento non richiede una forza continua per essere mantenuto, ma solo per essere alterato. La legge dell’inerzia fu rivoluzionaria perché sfidava direttamente la fisica aristotelica, dimostrando che il moto non è il risultato di un’azione continua ma di una condizione naturale degli oggetti.

    La Seconda legge della dinamica, forse la più famosa delle tre, stabilisce che la forza che agisce su un corpo è direttamente proporzionale alla sua massa e alla sua accelerazione, secondo la formula F = ma. Questa legge descrive come le forze influenzano il movimento degli oggetti e fornisce una base per calcolare le forze necessarie per muovere o fermare un oggetto. Questa legge è stata fondamentale per lo sviluppo della meccanica classica, permettendo di comprendere e prevedere con precisione il comportamento degli oggetti sotto l’influenza di forze diverse. È grazie a questa legge che possiamo spiegare fenomeni quotidiani, come la caduta di un oggetto o il lancio di un proiettile, con una precisione matematica.

    La Terza legge della dinamica è forse la più intuitiva: afferma che per ogni azione esiste una reazione uguale e contraria. Questo significa che quando un oggetto esercita una forza su un altro, il secondo oggetto esercita una forza uguale e opposta sul primo. Questa legge è evidente in molti fenomeni quotidiani, come il rimbalzo di una palla o il funzionamento di un razzo. La comprensione di questa legge è essenziale per l’ingegneria e la tecnologia moderne, poiché spiega come le forze interagiscono in sistemi complessi.

    Le leggi della dinamica di Newton hanno avuto un impatto profondo e duraturo sulla fisica classica. Prima della loro formulazione, la comprensione del movimento e delle forze era frammentaria e spesso basata su osservazioni qualitative piuttosto che su principi matematici. Le leggi di Newton hanno fornito una struttura coerente e matematica per descrivere il comportamento degli oggetti in movimento, permettendo ai fisici di fare previsioni accurate e di sviluppare nuove tecnologie. Grazie alle leggi della dinamica, è stato possibile sviluppare la meccanica celeste, che spiega il movimento dei pianeti e delle stelle. Queste leggi hanno permesso di calcolare con precisione le orbite dei corpi celesti, confermando le teorie di Keplero e contribuendo alla comprensione dell’universo. Le leggi della dinamica hanno anche gettato le basi per l’ingegneria moderna, permettendo la progettazione di macchine, edifici e veicoli con una comprensione precisa delle forze in gioco. Senza le leggi di Newton, molte delle tecnologie che diamo per scontate oggi, come gli aerei, le automobili e i ponti, non sarebbero possibili.

    Con l’avvento della fisica moderna, alcune delle previsioni delle leggi della dinamica di Newton sono state riviste e ampliate. In particolare, la teoria della relatività di Einstein ha dimostrato che le leggi di Newton non sono sufficienti per descrivere il movimento a velocità prossime a quella della luce o in campi gravitazionali molto forti. Tuttavia, le leggi della dinamica rimangono valide e utili nella maggior parte delle situazioni quotidiane e continuano a essere insegnate come parte fondamentale della fisica.

     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

    Leggi...

    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.






    Document