Equazioni di secondo grado parametriche

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Equazioni di secondo grado parametriche – Esercizio 5

In questo quinto articolo sulle equazioni di secondo grado parametriche, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo argomento. Segnaliamo anche il precedente Equazioni di secondo grado parametriche – Esercizio 4 per ulteriore materiale sulle equazioni di secondo grado parametriche.
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Esercizio $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Data l’equazione parametrica

$kx^2+(2k+3)x+k+1=0, \qquad k \neq 0$

determina per quali valori di $k$ :
1) le soluzioni sono reali
2) le soluzioni sono reali e distinte
3) l’equazione ammette una soluzione pari a $2$
4) le soluzioni sono opposte
5) le soluzioni sono reciproche
6) la somma delle soluzioni è $\frac{3}{4}$
7) la somma dei quadrati delle soluzioni è $2$
8) la somma dei cubi delle soluzioni è $0$
9) le soluzioni sono negative.

Svolgimento punto 1.

Identifichiamo

$A = k, \qquad B = 2k+3 \qquad \mbox{ e } \quad C = k+1.$

Il primo punto ci chiede per quali valori di $k$ le soluzioni sono reali, pertanto basta impostare che

$\Delta = B^2-4AC \ge 0$

da cui

$\begin{aligned} & (2k+3)^2-4 \,\left(k\right) \, \left(k+1\right) \geq 0\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad 9+8k \geq 0\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad k \ge - \dfrac{9}{8}. \end{aligned}$

Svolgimento punto 2.

Il secondo punto ci chiede per quali valori di $k$ le soluzioni sono reali e distinte, quindi questa volta basta impostare che

$\Delta =B^2-4AC > 0$

da cui abbiamo un risultato analogo a prima

$k > - \dfrac{9}{8}.$

Svolgimento punto 3.

Il terzo punto ci chiede per quali valori di $k$ l’equazione ammette soluzione pari ad $2$ , pertanto basta sostituire $x=2$ nell’equazione per ottenere

$\begin{aligned} & k \, (2)^2 + (2k+3) \, 2 + k + 1 = 0\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad 4k+4k+6+k+1=0\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad 9k=-7\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad k=-\dfrac{7}{9} \end{aligned}$

accettabile per il punto 1.

Svolgimento punto 4.

Avere soluzioni reali opposte significa che la loro somma è nulla, pertanto basta impostare che

$-\dfrac{B}{A} = 0$

da cui, con $A \neq 0 \, \Leftrightarrow \, k \neq 0$ , abbiamo

$B= 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2k+3=0 \quad \Leftrightarrow \quad k =-\dfrac{3}{2}$

non accettabile per il punto 1.

Svolgimento punto 5.

Avere soluzioni reciproche significa avere

$x_1 = \dfrac{1}{x_2}$

ovvero

$x_1 \; x_2 = 1$

da cui notiamo che ci basta imporre che il prodotto delle soluzioni sia pari ad $1$ . Pertanto

$\dfrac{C}{A}= 1$

e con $A \neq 0 \, \Leftrightarrow \, k \neq 0$ otteniamo

$C=A.$

Sostituendo abbiamo

$k+1=k$

che è impossibile, dunque non esistono valori di $k$ accettabili.

Svolgimento punto 6.

La somma delle soluzioni uguale a $\frac{3}{4}$ equivale a risolvere

$-\dfrac{B}{A}= \dfrac{3}{4}$

pertanto

$\begin{aligned} & -\dfrac{B}{A}= \dfrac{3}{4} \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ &\quad \Leftrightarrow \quad - \dfrac{2k+3}{k} = \dfrac{3}{4} \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad - \dfrac{4(2k+3)}{4k} = \dfrac{3k}{4k} \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad -4(2k+3) = 3k, \qquad \mbox{con } k \neq 0\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad -11k = 12\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad k = -\dfrac{12}{11} \end{aligned}$

accettabile per il punto 1.

Svolgimento punto 7.

La somma dei quadrati delle soluzioni pari a $2$ possiamo scriverla come

$x_1^2+x_2^2=2$

da cui

$\begin{aligned} & x_1^2+x_2^2=2\\\\ & (x_1+x_2)^2 - 2x_1 \, x_2 =2 \end{aligned}$

e ricordando che la somma è data da $-B/A$ e il prodotto da $C/A$ otteniamo

$\left(-\dfrac{B}{A}\right)^2 - 2 \, \dfrac{C}{A} =2$

e sostituendo abbiamo

$\begin{aligned} & \left(-\dfrac{2k+3}{k}\right)^2 - 2 \, \dfrac{k+1}{k} =2\\\\ & \dfrac{4k^2+12k+9}{k^2}- 2 \, \dfrac{k+1}{k} =2\\\\ & \dfrac{4k^2+12k+9-2k^2-2k}{k^2} = \dfrac{2k^2}{k^2}\\\\ & 4k^2+12k+9-2k^2-2k = 2 k^2, \qquad \mbox{con } k \neq 0\\\\ & 10k+9 = 0\\\\ & k = - \frac{9}{10} \end{aligned}$

accettabile per il punto 1.

Svolgimento punto 8.

La somma dei cubi delle soluzioni pari a $0$ , possiamo scriverla come

$x_1^3+x_2^3=0$

da cui

$\begin{aligned} & x_1^3+x_2^3=0\\ & (x_1+x_2)^3 - 3x_1^2 \, x_2 - 3x_1 \, x_2^2 =0\\ & (x_1+x_2)^3 - 3x_1\, x_2 \, (x_1 + x_2) =0 \end{aligned}$

e ricordando che la somma è data da $-B/A$ e il prodotto da $C/A$ otteniamo

$\left(-\dfrac{B}{A}\right)^3 - 3 \, \dfrac{C}{A} \left(- \dfrac{B}{A}\right)=0$

e sostituendo abbiamo

$\begin{aligned} & \left(-\dfrac{B}{A}\right)^3 - 3 \, \dfrac{C}{A} \left(- \dfrac{B}{A}\right)=0\\\\ & \left(-\dfrac{2k+3}{k}\right)^3 - 3 \, \dfrac{k+1}{k} \left(- \dfrac{2k+3}{k}\right)=0\\\\ & \left(-\dfrac{2k+3}{k}\right)^3 - 3 \, \dfrac{k+1}{k} \left(- \dfrac{2k+3}{k}\right)=0\\\\ & 2k^3-3k^2+9k+27=0\\\\ & k = - \dfrac{3}{2} \; \vee \; k = \dfrac{-9-3\sqrt{5}}{2} \; \vee \; k = \dfrac{-9+\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$

non accettabili per il punto 1.

Svolgimento punto 9.

Due soluzioni sono negative se il loro prodotto è positivo e la loro somma è negativa. Infatti la richiesta del solo prodotto positivo, non esclude che le soluzioni siano entrambe positive. Impostiamo il seguente sistema

$\begin{cases} x_1+x_2<0\\\\ x_1\, x_2 > 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} -\frac{B}{A}<0\\\\ \frac{C}{A} > 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \dfrac{2k+3}{k}>0\\\\ \dfrac{k+1}{k}>0 \end{cases}$

da cui

$\begin{cases} k<-\frac{3}{2} \, \vee \, k> 0\\\\ k<-1 \, \vee \, k>0. \end{cases}$

Siccome dobbiamo tenere a mente anche la condizione di realtà del punto 1), impostiamo il seguente sistema

$\begin{cases} k<-\frac{3}{2} \, \vee \, k> 0\\\\ k<-1 \, \vee \, k>0\\\\ k \ge -\frac{9}{8} \end{cases}$

che ha soluzione

$k>0.$

Fonte: Zanichelli

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