Esercizio corpo rigido 56

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L’Esercizio Corpo Rigido 56 è il cinquantaseiesimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 55 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 57. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.

Testo dell’Esercizio Corpo Rigido 56

Esercizio 56 $(\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due cilindri, aventi rispettivamente raggi $R_1$ e $R_2$ e momenti d’inerzia $I_1$ e $I_2$ , sono sostenuti da assi fissi perpendicolari al piano come mostrato in figura. Il cilindro grande ruota inizialmente con velocità angolare $\omega_0$ , mentre quello piccolo si sposta verso destra finchè, giunto a contatto con quello grande, viene posto in rotazione per attrito. Cessata la fase di slittamento i cilindri ruotano con velocità costante in verso opposto.
Esprimere la velocità angolare finale $\omega_2$ in funzione di $R_1, R_2, I_1, I_2$ e $\omega_0$ .

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Richiami teorici.

Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt} \end{cases} \end{equation*}$

dove $\displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}}$ è la somma di tutte le forze esterne, $\vec{P}_t$ è la quantità di moto totale del sistema, $\displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}$ è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, $\vec{v}_{O^\prime}$ è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, $\vec{v}_{CM}$ è la velocità del centro di massa ed infine $\vec{L}_{O^\prime}$ è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo $O^\prime$ . Se per il calcolo dei momenti esterni scegliamo un polo fisso o il centro di massa otteniamo

$\vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0},$

quindi (1) diventa

(2) $\begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}. \end{cases} \end{equation*}$

Se il corpo rigido ha massa indipendente dal tempo e possiede una certa simmetria rispetto all’asse di rotazione, allora (2) può essere riscritta come segue

(3) $\begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}=m\vec{a}_{CM}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}=I\vec{\alpha}, \end{cases} \end{equation*}$

dove $I$ è il momento d’inerzia rispetto al polo scelto per il calcolo dei momenti esterni e $\alpha$ è l’accelerazione angolare.

Svolgimento.

Chiamiamo $C_1$ il cilindro con momento d’inerzia $I_1$ e $C_2$ il cilindro con il momento d’inerzia $I_2$ rispetto ai propri centri di massa. I momenti d’inerzia sono considerati ovviamente rispetto all’asse passante per il proprio centro di massa. Inizialmente $C_1$ ruota con velocità angolare $\omega_0$ e $C_2$ è in quiete, $C_2$ viene successivamente spostato e messo a contatto con $C_1$ interagendo con $C_2$ tramite una forza di attrito $\vec{f}$ . Inizialmente, dopo il contatto, i due cilindri rotolano e strisciano, fino a che ad un certo istante il moto diviene di puro rotolamento e le velocità periferiche sono uguali rispetto ad un sistema di riferimento fisso. I due cilindri, $C_1$ e $C_2$ , sono vincolati a rimanere a contatto, quindi non si ha la conservazione del momento angolare. Sul punto di contatto dei due dischi è presente una forza di attrito $\vec{f}$ . Per il principio di azione e reazionei[1], le forze di attrito generate sono applicate entrambe sul punto di contatto dei cilindri e sono tangenti ad ambo le circonferenze; in particolare, su $C_1$ è applicata ad una distanza $R_1$ dal suo centro di massa che tramite un momento frenante produce un rallentamento, mentre su $C_2$ è applicata ad una distanza $R_2$ dal centro del disco e tramite un momento produce un aumento della sua velocità angolare. Per il calcolo dei momenti, per entrambi scegliamo come polo il loro centro di massa ed osserviamo che è un polo fisso. Applichiamo (3) ottenendo

(4) $\begin{equation*} \begin{cases} f R_2 = I_2 \alpha_2\\ f R_1 = - I_1 \alpha_1 \end{cases}, \end{equation*}$

dove $\alpha_1=d\omega_1/dt$ è l’accelerazione angolare di $C_1$ nonché la derivata rispetto al tempo della velocità angolare $\omega_1$ , mentre $\alpha_2=d\omega_2/dt$ è l’accelerazione angolare di $C_2$ , similarmente a prima è la derivata rispetto al tempo della velocità angolare $\alpha_2=d\omega_2/dt$ . Il segno meno nella (4) $_2$ sta ad indicare che $C_2$ rallenta perchè sottoposta alla decelazione $\alpha_2$ . Si vuole far notare che $f$ è una forza di cui non sappiamo la natura, quindi nel caso più generale possibile è una funzione del tempo. Facendo il rapporto tra (4) $_2$ e (4) $_1$ otteniamo

(5) $\begin{equation*} \dfrac{R_2}{R_1} = - \dfrac{I_2 \alpha_2}{I_1 \alpha_1} \end{equation*}$

e quest’ultima puo’ essere riscritta come

$\dfrac{R_2}{R_1} d\omega_1 =-\dfrac{I_2}{I_1} d\omega_2$

Integriamo ora tra l’istante $t=0$ e $t=t^\star>0$ che è l’istante in cui il moto diventa di puro rotolamento:

(6) $\begin{equation*} \dfrac{R_2}{R_1} (\omega_1-\omega_0)= -\dfrac{I_2}{I_1} \omega_2. \end{equation*}$

Dal momento che il moto diventa di puro rotolamento, vale la seguente relazione

$\omega_1 \; R_1 = \omega_2 \; R_2\quad \Leftrightarrow \quad\omega_1 = \dfrac{\omega_2 \; R_2}{R_1},$

quindi sostituendo $\omega_1$ in (6) abbiamo

$\dfrac{R_2}{R_1} \left(\dfrac{\omega_2 \; R_2}{R_1}-\omega_0\right)= -\dfrac{I_2}{I_1} \omega_2 \quad \Leftrightarrow\quad \omega_2 \left( \dfrac{R_2^2}{R_1^2} + \dfrac{I_2}{I_1} \right) = \dfrac{R_2}{R_1} \omega_0$

da cui concludiamo che

$\boxcolorato{fisica}{ \omega_2 = \dfrac{R_1 R_2 I_1 \omega_0}{R_2^2\, I_1 + R_1^2 \, I_2}. }$

1. l principio di azione e reazione afferma che ad ogni reazione corrisponde una reazione uguale ed opposta, agente sulla stessa retta di applicazione. ↩

Fonte.

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Seconda edizione, Zanichelli.

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