Teoria sui numeri numeri complessi per matematica e fisica

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I numeri complessi sono onnipresenti nella Matematica moderna: anche alcune questioni che non sembrano uscire fuori dal campo dei numeri reali possiedono profondi e inaspettati legami con essi. Un esempio è costituito dalla famosa funzione zeta di Riemann: una funzione definita sui numeri complessi che si è rivelata intimamente legata alla distribuzione dei numeri primi all’interno dei numeri naturali.

Questo volume si propone di introdurre la teoria dei numeri complessi in maniera completa, senza rinunciare all’accessibilità e alla chiarezza. Esso è quindi fruibile da coloro che desiderano approfondire l’argomento, come studenti dei corsi di Laurea in Matematica o Fisica, rimandando alla versione semplificata Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di ingegneria — versione semplificata) per una trattazione più snella ed essenziale.

Gli argomenti presenti riguardano:

Definizione e proprietà dei numeri complessi.
Rappresentazioni algebrica, trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi e loro relazioni;
Esponenziale complesso e sue proprietà;
Applicazioni al teorema fondamentale dell’algebra e la formula di Cardano per le radici di equazioni cubiche;
Argomento e logaritmo complesso.

Con esempi pratici e dimostrazioni dettagliate, il testo è una guida completa sull’argomento, attraverso le sue meraviglie e applicazioni nei vari campi della Matematica.

Autori e revisori

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Autore: Francesco Paolo Maiale

Revisori: Valerio Brunetti, Nicola Fusco, Matteo Talluri, Davide La Manna.

Sommario

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Questo documento è articolato in tre parti principali. Nella prima sezione, viene introdotto il concetto di numeri complessi, analizzandone alcune delle proprietà più significative. Si pone particolare enfasi sulla forma trigonometrica e sulle radici $n$ -esime dei numeri complessi.

Nella seconda sezione, si esplora la nozione di “funzione a più valori”. Qui, vengono definiti concetti chiave quali l’esponenziale complesso, il logaritmo complesso e la potenza generalizzata, stabilendo un confronto dettagliato con le loro controparti nel campo dei numeri reali.

L’ultima parte del documento è dedicata all’esame di diverse applicazioni pratiche di questi concetti. Si dedica un’attenzione particolare al Teorema Fondamentale dell’Algebra e alla formula di Cardano, illustrando la loro importanza e impatto nel campo della matematica complessa.

Introduzione ai numeri complessi

Introduzione.

Nel campo dei numeri reali $\mathbb{R}$ , alcune equazioni algebriche, come $x^2 + 1 = 0$ , non hanno soluzione. Pertanto, è naturale chiedersi se sia possibile trovare una estensione di campi¹ $\mathbb R \subset \mathbb F$ in modo che ogni polinomio a coefficienti reali

$p(x) = x^n + \sum_{j= 0}^{n-1} a_j x^j, \quad a_0,\ldots,a_{n-1} \in \mathbb R$

abbia almeno una radice in $\mathbb{F}$ ; in altre parole, esiste un $x_0 \in \mathbb{F}$ tale che

$p(x_0) = x_0^n + \sum_{j = 0}^{n-1} a_j x_0^j = 0.$

Per rispondere a questa domanda, si introduce il concetto di unità immaginaria $\imath$ , non appartenente a $\mathbb{R}$ , e si definisce tale che

(1) $\begin{equation*} \imath^2 = -1. \end{equation*}$

Osservazione 1. Dalla relazione (1), segue che

$x^2+1=(x-\imath)(x+\imath).$

La denominazione di $\imath$ come unità immaginaria, piuttosto che $-\imath$ , è arbitraria. Entrambe $\imath$ e $-\imath$ sono radici del polinomio $p(x) = x^2 + 1$ .

$\[\]$

Definizione 2. L’insieme dei numeri complessi è definito come

$\mathbb C := \left\{ z=x + \imath y \: : \: x,y \in \mathbb{R} \right\}.$

Diciamo inoltre che $\mathfrak{Re}(z) := x$ ed $\mathfrak{Im}(z) := y$ sono, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso $z$ .

Osservazione 3. Fino a questo punto, non abbiamo definito alcuna operazione specifica tra gli elementi di $\mathbb{C}$ . Pertanto, $\mathbb{C}$ è attualmente solo un insieme di elementi della forma

$z = x + \imath y, \quad \text{con } x, y \in \mathbb{R}.$

È cruciale notare che il simbolo $+$ in questa espressione non rappresenta l’addizione nel campo dei numeri reali $\mathbb{R}$ , poiché $\imath y$ non è un elemento di $\mathbb{R}$ .

$\[\]$

Procediamo ora a definire una struttura algebrica su $\mathbb{C}$ , introducendo operazioni di somma e prodotto per componenti, ovvero

(2) $\begin{equation*} \begin{aligned} & z_1 + z_2 = (x_1 + \imath y_1) + (x_2 + \imath y_2) := (x_1 + x_2) + \imath (y_1 + y_2), \\ & z_1 \cdot z_2 = (x_1 + \imath y_1) \cdot (x_2 + \imath y_2) := (x_1x_2 - y_1 y_2) + \imath(x_1y_2 + x_2 y_1), \end{aligned} \end{equation*}$

dove le somme e i prodotti tra gli $x_i$ e gli $y_i$ sono operazioni nel campo dei numeri reali e, quindi, ben definite.

A questo punto, avendo definito una somma e un prodotto, siamo finalmente pronti a dimostrare il risultato principale di questa sezione:

Proposizione 4. L’insieme $\mathbb C$ equipaggiato con le operazioni di somma e prodotto (2) è una estensione di campi dei numeri reali $\mathbb R$ .

Dimostrazione. Iniziamo notando che $\mathbb{R}$ è un sottoinsieme proprio di $\mathbb{C}$ , dato che

$x \in \mathbb{R} \implies x = x + 0 \imath \in \mathbb{C}.$

Per dimostrare che $\mathbb{C}$ è un campo rispetto alle operazioni definite in (2), si devono verificare le seguenti proprietà:

Associatività di somma e prodotto:
$z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2) + z_3 \quad \text{e} \quad z_1(z_2z_3) = (z_1z_2)z_3$

per ogni $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ .

Commutatività di somma e prodotto:
$z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \quad \text{e} \quad z_1z_2 = z_2z_1$

per ogni $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ .

Esistenza di elementi neutri per somma e prodotto:
$z + 0 = 0 + z = z \quad \text{e} \quad z \cdot 1 = 1 \cdot z = z$

dove $0 = 0 + 0 \imath$ , $1 = 1 + 0 \imath$ , per ogni $z \in \mathbb{C}$ .

Esistenza di inversi additivi e moltiplicativi:
$z + (-z) = (-z) + z = 0 \quad \text{e} \quad z z^{-1} = z^{-1} z = 1$

per ogni $z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ .

Distributività del prodotto rispetto all’addizione:
$z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3$

per ogni $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ .

La parte più delicata è dimostrare l’esistenza di un inverso moltiplicativo per $z = x + \imath y \neq 0$ . Il claim è il seguente: l’inverso moltiplicativo di $z$ è

$z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - \frac{y}{x^2+y^2}\imath.$

Per dimostrarlo, è sufficiente verificare che il prodotto fa uno:

$\begin{aligned} z z^{-1} & = (x+\imath y) \left( \frac{x}{x^2+y^2} - \imath \frac{y}{x^2+y^2} \right)= \\ & = \frac{x^2}{x^2+y^2} -\imath \frac{xy}{x^2+y^2} + \imath \frac{yx}{x^2+y^2} - \imath^2 \frac{y^2}{x^2+y^2}= \\ & = \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} + \imath \frac{xy - xy}{x^2+y^2}= 1 + \imath 0 = 1. \end{aligned}$

Infine, per mostrare che $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ è un’estensione di campi, basta osservare che la somma e il prodotto in $\mathbb{R}$ sono casi particolari di (2):

$x_1 + x_2 = (x_1 + 0 \imath) + (x_2 + 0 \imath) = x_1 + x_2,$

e analogamente per il prodotto

$x_1x_2 = (x_1 + 0 \imath)(x_2 + 0 \imath) = x_1x_2,$

per ogni $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ , completando così la dimostrazione.

In particolare, sebbene $\mathbb{C}$ condivida molte delle proprietà algebriche di $\mathbb{R}$ , esiste una differenza significativa che merita una particolare attenzione.

Definizione 5. Una relazione d’ordine $\mathcal R$ su un insieme $A$ è una relazione binaria² che gode delle seguenti proprietà:

riflessiva: si ha $x \mathcal R x$ per ogni $x \in A$ ;

antisimmetrica: se $x,y \in A$ sono tali che $x \mathcal R y$ e $y \mathcal R x$ , allora $x = y$ ;

transitiva: se $x,y,z\in A$ sono tali che $x \mathcal R R y$ e $y \mathcal R z$ , allora $x \mathcal R z$ .

Inoltre, una relazione d’ordine si dice totale se ogni coppia di elementi $x, y \in A$ è confrontabile, ovvero si ha

$x \mathcal R y \text{ oppure } y \mathcal R x.$

L’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ è totalmente ordinato rispetto alla relazione $\leq$ , ovvero per qualsiasi coppia di elementi $x, y \in \mathbb{R}$ , si ha:

$x \leq y \quad \text{oppure} \quad y \leq x.$

Considerando che $\mathbb{C}$ è un’estensione di campo di $\mathbb{R}$ , sorge spontanea la domanda: è possibile definire un ordine totale $\mathcal{R}$ su $\mathbb{C}$ tale che

$x \mathcal{R} y \iff x \leq y \quad \text{per ogni } x, y \in \mathbb{R}$

e che sia compatibile con le regole di calcolo dei numeri reali, ovvero

$x, y \geq 0 \text{ oppure } x, y \leq 0 \implies 0 \leq xy?$

La risposta è negativa, come si può dimostrare facilmente. Se, per assurdo, esistesse una tale relazione d’ordine totale, allora avremmo:

$\imath \mathcal{R} 0 \quad \text{oppure} \quad 0 \mathcal{R} \imath.$

In entrambi i casi, la compatibilità menzionata sopra rispetto al prodotto porterebbe alla relazione

$0 \mathcal{R} \imath^2 \qquad \text{dove } \imath^2 = -1,$

ma ciò è assurdo poiché $\mathcal{R}$ dovrebbe coincidere con $\leq$ sui numeri reali.

Osservazione 6. Sebbene non sia possibile definire un ordinamento totale su $\mathbb{C}$ che sia coerente con le operazioni di somma e prodotto, è possibile introdurre una relazione di ordine su $\mathbb{C}$ nel modo seguente:

$z < w \iff \mathfrak{Re}(z) < \mathfrak{Re}(w) \text{ oppure } \begin{cases} \mathfrak{Re}(z) = \mathfrak{Re}(w), \\ \mathfrak{Im}(z) < \mathfrak{Im}(w). \end{cases}$

Questa definizione è nota come ordine lessicografico ed è un ordine totale. Analogamente, si può mostrare che

$z < w \iff \mathfrak{Im}(z) < \mathfrak{Im}(w) \text{ oppure } \begin{cases} \mathfrak{Im}(z) = \mathfrak{Im}(w), \\ \mathfrak{Re}(z) < \mathfrak{Re}(w). \end{cases}$

è anch’esso un ordine totale su $\mathbb{C}$ .

$\[\]$

Questi ordinamenti sono utilizzati in contesti specifici, ad esempio quando è ragionevole dare priorità alla parte reale o immaginaria.

Per concludere questa sezione, esaminiamo la motivazione principale che ci ha portato all’introduzione dei numeri complessi: le radici dei polinomi a coefficienti reali.

Osservazione 7. Consideriamo il polinomio $p(x) = x^2 + bx + c$ . Utilizzando la formula risolutiva per le equazioni quadratiche, otteniamo:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4c}}{2}.$

Queste radici sono sempre definite in $\mathbb{C}$ , in quanto, in caso di discriminante negativo, si può ricorrere all’unità immaginaria, scrivendo:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \imath \sqrt{4c - b^2}}{2}.$

$\[\]$

In $\mathbb{C}$ , dunque, tutte le equazioni quadratiche sono risolvibili. Tuttavia, per i polinomi di grado superiore, la questione è meno immediata. Ci sono (almeno) due approcci per dimostrare che in $\mathbb{C}$ ogni polinomio a coefficienti reali ammette almeno una radice:

Si può mostrare che i polinomi irriducibili a coefficienti reali sono solo quelli di grado $\le$ 2. Questa affermazione può essere formalizzata così:
Proposizione 8. Per un polinomio $p(x) = x^n + \sum_{i = 0}^{n-1} a_i x^i$ con coefficienti reali di grado $n \ge 3$ , esiste la decomposizione:

$p(x) = \left( \prod_{j=1}^{k_1} (x-a_j) \right) \left( \prod_{h = 1}^{k_2} (x^2 - b_h x - c_h) \right) \quad \text{con } k_1+2k_2 = n,$

dove $a_j, b_j, c_j \in \mathbb{R}$ per ogni $j = 1,\ldots,k_1$ e $h = 1,\ldots,k_2$ .

Questo risultato implica che tutti i polinomi con coefficienti reali hanno almeno una radice in $\mathbb{C}$ , ma non fornisce indicazioni su quelli a coefficienti complessi.

Si può invece ricorrere al Teorema Fondamentale dell’Algebra, che afferma che ogni polinomio con coefficienti complessi ha almeno una radice in $\mathbb{C}$ .

Questo documento si focalizza sulla seconda strategia (vedi Teorema 41.). Chi fosse interessato alla prima può consultare [2 pp. 44–45].

$\[\]$

Ricordiamo che, se $\mathbb E$ ed $\mathbb F$ sono due campi con $\mathbb{F} \subset\mathbb{E}$ e le operazioni $+$ e $\cdot$ di $\mathbb F$ sono le restrizioni di quelle di $\mathbb E$ , allora diciamo che $\mathbb E$ è una estensione di $\mathbb F$ . ↩

Questo significa che si tratta di un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A \times A$ ; in particolare, la notazione $x \mathcal R y$ è equivalente a dire che $(x,y) \in \mathcal R$ . ↩

Rappresentazione cartesiana.

Dato che l’attribuzione di un numero complesso $z$ equivale all’assegnazione di una coppia di numeri reali $(x, y)$ , emerge una chiara corrispondenza biunivoca tra $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R}^2$ , espressa come:

$\mathbb{R}^2 \ni (x,y) \longmapsto z := x + \imath y \in \mathbb{C}.$

Di conseguenza, è possibile rappresentare i numeri complessi in un piano cartesiano, comunemente definito il piano complesso o piano di Argand-Gauss. In tale piano, l’asse delle ascisse è noto come l’asse reale, mentre l’asse delle ordinate è l’asse immaginario.

Questa rappresentazione facilita la visualizzazione grafica dell’addizione di due numeri complessi, che può essere interpretata come la somma di due vettori mediante la costruzione di un parallelogramma associato:

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In contrasto, la rappresentazione grafica del prodotto di numeri complessi non trova un analogo diretto nel piano $\mathbb{R}^2$ quando si considerano le coordinate cartesiane $(x, y)$ . Tuttavia, adottando la forma trigonometrica dei numeri complessi, che verrà introdotta in seguito, è possibile visualizzare il prodotto in un diverso sistema di coordinate, ovvero quello polare.

Definizione 9. Il coniugato di un numero complesso $z = x + \imath y \in \mathbb{C}$ , denotato con il simbolo $\bar{z}$ , è definito come segue:

$\bar{z} := x - \imath y.$

Nella rappresentazione cartesiana, si osserva che il coniugato $\bar{z}$ di un numero complesso $z$ corrisponde al suo simmetrico rispetto all’asse reale. Inoltre, emergono le seguenti relazioni fondamentali:

(3) $\begin{equation*} \mathfrak{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2} \quad \text{e} \quad \mathfrak{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2 \imath}, \end{equation*}$

da cui si deduce che $z$ appartiene all’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ se, e solo se, $z$ è uguale al suo coniugato $\bar{z}$ . Esploriamo ora alcune proprietà dell’operazione di coniugazione:

Lemma 10. Siano $z, w \in \mathbb{C}$ . Allora valgono le seguenti proprietà:

$(a)$ il coniugio è involutivo, ovvero $\overline{(\bar z)} = z$ ;

$(b)$ $\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}$ ;

$(c)$ $\overline{z\cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$ ;

$(d)$ $\overline{z/w}=\bar{z}/\bar{w}$ .

Dimostrazione. Consideriamo $z = x + \imath y$ . È immediato osservare che:

$\bar{z} = x - \imath y \implies \overline{(\bar{z})} = x + \imath y = z,$

dimostrando così la proprietà $(a)$ .

Prendiamo ora $w = u + \imath v$ . Per la somma di $z$ e $w$ , abbiamo:

$z + w = (x + u) + \imath (y + v) \implies \overline{z + w} = (x + u) - \imath (y + v) = \bar{z} + \bar{w},$

e per il prodotto:

$z \cdot w = (xu - yv) + \imath (xv + yu) \implies \overline{z \cdot w} = (xu - yv) - \imath (xv + yu) = \bar{z} \cdot \bar{w},$

da cui seguono le proprietà $(b)$ e $(c)$ .

Infine, per il rapporto, applichiamo la proprietà $(c)$ e la tecnica di razionalizzazione:

$\frac{z}{w} = \frac{z}{w} \cdot \frac{\bar{w}}{\bar{w}} = \frac{1}{u^2 + v^2} \cdot (z \cdot \bar{w}).$

Analogamente, il rapporto tra i coniugati soddisfa:

$\frac{\bar{z}}{\bar{w}} = \frac{\bar{z}}{\bar{w}} \cdot \frac{w}{w} = \frac{1}{u^2 + v^2} \cdot (\bar{z} \cdot w),$

e, utilizzando la proprietà $(c)$ , concludiamo che:

$\overline{\left(z \cdot \bar{w}\right)} = \bar{z} \cdot w.$

Questo completa la dimostrazione delle proprietà del coniugio dei numeri complessi.

Nonostante, come precedentemente accennato, non esista un ordinamento in $\mathbb{C}$ che sia coerente con le usuali regole algebriche, possiamo comunque quantificare la ‘grandezza’ di un numero complesso. Questo si realizza misurando la sua distanza dall’origine nel piano $\mathbb{R}^2$ :

Definizione 11. (Modulo) Sia $z =x+\imath y \in \mathbb{C}$ . Il modulo di $z$ è la quantità reale data da

(4) $\begin{equation*} |z| := \sqrt{ x^2 + y^2 }. \end{equation*}$

Dalla sua definizione, è evidente che il modulo di un numero complesso $z$ , indicato con $|z|$ , impone dei limiti sia sulla parte reale che su quella immaginaria di $z$ . In particolare, si ha che:

$-|z| \le \mathfrak{Re}(z) \le |z|$

e una relazione analoga vale per $\mathfrak{Im}(z)$ . Inoltre, il modulo di un numero complesso soddisfa le seguenti proprietà:

Lemma 12. Siano $z, w \in \mathbb{C}$ due numeri complessi. Allora valgono le seguenti proprietà:

$({\romannumeral 1})$ $z \bar{z}= |z|^2$ ;

$({\romannumeral 2})$ $|z| \ge 0$ e $|z| = 0$ se e solo se $z = 0$ ;

$({\romannumeral 3})$ $|z|=|\bar{z}|=|-z|$ ;

$({\romannumeral 4})$ $|zw| = |z| |w|$ ;

$({\romannumeral 5})$ vale la disuguaglianza triangolare, ovvero

(5) $\begin{equation*} |z+w| \le |z|+|w|; \end{equation*}$

$({\romannumeral 6})$ $| |z|-|w| | \le |z- w|$ ;

$({\romannumeral 7})$ se $z \neq 0$ , allora $|w/z|=|w|/|z|$ .

Dimostrazione. Le proprietà $({\romannumeral 1})$ – $({\romannumeral 4})$ derivano direttamente dalla definizione di modulo (4), quindi consideriamo la disuguaglianza triangolare. Sapendo che

$\bar{z} w + z\bar{w} = 2\mathfrak{Re}(z\bar{w}) \leq 2 |z \bar{w}| = 2 |z||w|,$

possiamo stimare il quadrato del modulo della somma come segue

$|z + w|^2 = |z|^2 + |w|^2 + z \bar{w} + \bar{z}w \leq |z|^2 + |w|^2 + 2 |z||w| = (|z| + |w|)^2,$

ottenendo così la disuguaglianza triangolare.

Per dimostrare la proprietà $({\romannumeral 6})$ , esprimiamo $z$ e $w$ come:

$z = w + (z - w) \quad \text{e} \quad w = z + (w - z),$

e applicando la disuguaglianza triangolare si ottiene:

$|z| = |w + (z - w)| \leq |w| + |z - w| \quad \text{e} \quad |w| = |z + (w - z)| \leq |z| + |z - w|.$

Spostando $|w|$ e $|z|$ a sinistra, si conclude che:

$|z| - |w| \leq |z - w| \quad \text{e} \quad |w| - |z| \leq |z - w| \implies ||z| - |w|| \leq |z - w|.$

Infine, per $z \neq 0$ , possiamo dimostrare che:

$\left| \frac{1}{z} \right|^2 = \frac{1}{z} \frac{1}{\bar{z}} = \frac{1}{z\bar{z}} = \frac{1}{|z|^2} \implies \left| \frac{1}{z} \right| = \frac{1}{|z|},$

da cui segue che:

$\frac{w}{z} = w \cdot \frac{1}{z},$

e applicando la proprietà $({\romannumeral 4})$ , si completa la dimostrazione della proprietà $({\romannumeral 7})$ .

Rappresentazione trigonometrica.

Ogni punto $(x, y)$ in $\mathbb{R}^2$ , escluso l’origine $(0, 0)$ , può essere univocamente descritto attraverso la sua distanza dall’origine, ossia il modulo, e l’angolo $\vartheta$ che esso forma con l’asse delle ascisse. Applicando il teorema di Pitagora, possiamo esprimere le coordinate cartesiane in termini di funzioni trigonometriche:

$\cos \vartheta = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \quad \text{e} \quad \sin \vartheta = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$

Data la corrispondenza biunivoca tra $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R}^2$ precedentemente illustrata, questa stessa caratterizzazione è applicabile ai numeri complessi. Ciò ci porta ad introdurre il concetto di argomento (principale) di un numero complesso:

Definizione 13. Sia $z \neq 0$ un numero complesso. L’argomento principale di $z$ , denotato $\text{Arg }z$ , è l’unica soluzione del sistema di equazioni reali

$\begin{cases} \cos \left(\operatorname{Arg} z\right) = \dfrac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|}\\\\ \sin \left(\operatorname{Arg} z\right) = \dfrac{\mathfrak{Im}(z)}{|z|}, \end{cases} \quad \text{con } \text{Arg }z \in [-\pi,\pi).$

L’argomento di $z$ è, invece, una funzione a più valori¹ (vedi la sezione “Una breve introduzione alle funzioni a più valori” per più dettagli) che è così definita:

$\arg z = \text{Arg }z + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Di conseguenza, applicando il teorema di Pitagora, possiamo esprimere un qualsiasi numero complesso $z \neq 0$ in forma trigonometrica:

(6) $\begin{equation*} z = \rho (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta), \end{equation*}$

dove $\rho = |z|$ è il modulo di $z$ e $\vartheta = \text{Arg }z$ è l’argomento di $z$ . La transizione tra la rappresentazione cartesiana e quella trigonometrica (6) può essere realizzata mediante le seguenti trasformazioni:

$\begin{cases} x= \rho \cos \vartheta \\ y = \rho \sin \vartheta \end{cases} \quad \text{e} \qquad \begin{cases} \rho = \sqrt{x^2+y^2} \\ \cos \vartheta = x / \rho \\ \sin \vartheta = y / \rho \end{cases}$

con la convenzione che $\vartheta \in [-\pi, \pi)$ .

Inoltre, dati due numeri complessi $z, w \in \mathbb{C}$ , il loro prodotto si determina come segue:

(7) $\begin{equation*}\begin{aligned} zw & = |z| (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta) |w| (\cos \alpha + \imath \sin \alpha) \\ & = |z||w| \left[ \left( \cos \vartheta \cos \alpha - \sin \vartheta \sin \alpha \right) + \imath \left( \cos \vartheta \sin \alpha + \sin \vartheta \cos \alpha \right) \right] \\ & = |z||w| \left[ \cos(\vartheta + \alpha)+ \imath \sin(\vartheta + \alpha) \right] \end{aligned} \end{equation*}$

quindi, dal punto di vista grafico, il prodotto di due numeri complessi risulta avere un modulo pari al prodotto dei moduli di $z$ e $w$ , e un argomento uguale alla somma degli argomenti di $z$ e $w$ :

$\arg (zw) = \arg z + \arg w + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Queste e altre proprietà dell’argomento, inclusa la discussione sul suo valore principale, sono approfondite nella sezione “Alcune proprietà dell’argomento”.

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$\text{Figura 1: La rappresentazione polare dei complessi}$

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Proposizione 14. (Formula di De Moivre) Sia $z \in \mathbb{C}$ ed $n \in \mathbb{Z}$ . Allora

(8) $\begin{equation*} z^n = \rho^n ( \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta), \end{equation*}$

dove $\rho = |z|$ e $\vartheta = \text{Arg }z$ .

Dimostrazione. Consideriamo inizialmente il caso $n \ge 2$ e applichiamo il principio di induzione matematica:

Passo Base: Applichiamo la formula (7) con $z=w$ :
$z^2 = |z|^2 (\cos 2\vartheta + \imath \sin 2\vartheta).$

Passo Induttivo: Supponiamo che (8) valga per $z^{n-1}$ e dimostriamola per $z^n$ . Usando nuovamente (7) con $w = z^{n-1}$ , otteniamo:
$\begin{aligned*} z^n &= z^{n-1} z = |z|^{n-1} (\cos(n-1)\vartheta + \imath \sin(n-1)\vartheta) |z| (\cos\vartheta + \imath \sin\vartheta) \\ &= |z|^n (\cos n\vartheta + \imath \sin n\vartheta), \end{aligned*}$

completando così il passo induttivo e la dimostrazione per il principio di induzione.

Per $n < 0$ , la dimostrazione segue dalla catena di uguaglianze:

$\begin{aligned} (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta)^n &= \frac{1}{(\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta)^{-n}}= \\ &= \frac{1}{\cos(-n \vartheta) + \imath \sin(-n \vartheta)} \cdot \frac{\cos(-n \vartheta) - \imath \sin(-n \vartheta)}{\cos(-n \vartheta) - \imath \sin(-n \vartheta)}= \\ &= \frac{\cos(-n \vartheta) - \imath \sin(-n \vartheta)}{\cos^2(-n \vartheta) + \sin^2(-n \vartheta)}= \\ &= \cos(-n \vartheta) - \imath \sin(-n \vartheta). \end{aligned}$

Sfruttando la parità del coseno e la disparità del seno, otteniamo:

$\cos(-n \vartheta) - \imath \sin(-n \vartheta) = \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta,$

concludendo la dimostrazione.

Osservazione 15. In generale, se $z = \rho( \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta)$ e $w \in \mathbb C$ è un numero complesso arbitrario, allora l’insieme di possibili valori è:

$\begin{aligned} z^{w} & =\rho^{w}\left(\cos \vartheta+ \imath \sin \vartheta \right)^{w}= \\ & = \left\{ \rho^{w}\cos(\vartheta w +2\pi k w)+\imath \rho^{w}\sin(\vartheta w+2\pi k w) \: : \: k\in \mathbb {Z} \right\}. \end{aligned}$

D’altra parte, la formula di de Moivre ci da

$\rho^{w}(\cos \vartheta w+ \imath \sin \vartheta w),$

che corrisponde ad un solo valore di questo insieme, ovvero quello ottenuto per $k=0$ . Notiamo che nel caso in cui l’esponente $w$ non sia un intero, $z^w$ è una funzione a più valori. Questo accade, ad esempio, con esponente razionale. Se $w = 1/2$ , la formula generalizzata ci da il valore

$|z|^{1/2} ( \cos \vartheta/2 + \imath \sin \vartheta/2).$

Tuttavia, un numero complesso diverso da zero ha due radici, perciò il termine a destra va inteso come un elemento dell’insieme:

$\cos \vartheta/2 + \imath \sin \vartheta/2 \in \{ \cos \vartheta/2 + \imath \sin \vartheta/2, \cos (\vartheta/2 - \pi) + \imath \sin (\vartheta/2 - \pi) \}.$

La dimostrazione, almeno nel caso razionale, si può ottenere come diretta conseguenza di De Moivre. Infatti, supponiamo $w = p/q$ ed osserviamo che

$z^{p/q} = |z|^{p/q} \left( \cos p \vartheta + \imath \sin p \vartheta \right)^{1/q}$

segue immediatamente applicando (8) a $z^{1/q}$ elevato alla $p$ . A questo punto, se introduciamo il numero complesso

$\tilde z := \cos p \vartheta + \imath \sin p \vartheta,$

la dimostrazione sarà completa una volta trovate le radici $q$ -esime di $\tilde z$ .

Quest’ultimo passo, e la spiegazione della natura multivalore della funzione con esponente non intero (ad esempio, $q$ valori distinti se $w=p/q$ ), è approfondito nella sezione seguente.

$\[\]$

In letteratura si usa spesso anche il termine funzione multivalore. ↩

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