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Calcolo del dominio di una funzione in più variabili

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sul calcolo del dominio di una funzione in più variabili, in cui presentiamo 6 esercizi completamente risolti su questo importante tema dell’Analisi Matematica. L’articolo risulta quindi indicato per studenti dei corsi di Analisi Matematica 2, in quanto propedeutico a tutto lo studio delle funzioni in più variabili e argomenti correlati, come forme differenziali e campi vettoriali. Buona lettura a tutti!

Oltre all’esaustiva lista reperibile alla fine della pagina, segnaliamo le seguenti pagine su argomenti correlati:

 

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

\[f: A\subseteq \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\, f(x,y)=\ln((x-2)(y-3)),\]

dove A è il dominio naturale della funzione. Determinare A.

 

Svolgimento.

Ricordiamo che la funzione logaritmo è definita solamente quando il suo argomento è strettamente maggiore di zero. Dunque, il dominio è dato dall’insieme dei punti (x,y) che soddisfano la seguente disequazione:

(1) \begin{equation*} (x-2)(y-3)>0. \end{equation*}

Studiamo il segno dei singoli fattori della disequazione: avremo che il primo sarà positivo per x>2 e che il secondo sarà positivo per y>3, ossia possiamo schematizzare la situazione nel seguente modo:

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 1: studio del segno.

   

Il dominio della funzione è:

\[\boxcolorato{analisi}{A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,:\, x<2,\,y<3\quad\vee\quad x>2,\,y>3\}.}\]

 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

\[f: A\subseteq \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\, f(x,y)=\arcsin(x^2-y^2),\]

dove A è il dominio naturale della funzione. Determinare A.

 

Svolgimento.

L’argomento dell’arcoseno può assumere valori compresi tra -1 e 1, cioè

(2) \begin{equation*} -1\leq x^2-y^2\leq 1, \end{equation*}

da cui

(3) \begin{equation*} \begin{cases} x^2-y^2\geq-1\\ x^2-y^2\leq1. \end{cases} \end{equation*}

Le due iperboli di equazione x^2-y^2=-1 e x^2-y^2=1 sono iperboli equilatere e hanno asintoti y=x e y=-x. I loro grafici sono noti e facili da disegnare. Per la prima disequazione del sistema si ha

 

Rendered by QuickLaTeX.com

   

Figura 2: grafico prima disuguaglianza.

 

mentre per la seconda si ha

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

   

Figura 3: grafico seconda disuguaglianza.

 

Si osservi che per entrambi i grafici la zona colorata rappresenta l’insieme in cui ciascuna disequazione è verificata. Facendo l’intersezione dei due grafici si ottiene il seguente grafico

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

   

Figura 4: rappresentazione grafica del dominio D.

 

che rappresenta proprio il dominio cercato.

 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

\[f: A\subseteq \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\, f(x,y)=\sqrt{-x^2-y^2+1},\]

dove A è il dominio naturale della funzione. Determinare A.

 

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