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Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson

Metodo dei rettangoli e dei trapezi

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L’integrazione definita presenta notevoli difficoltà di calcolo, rispetto alla derivazione. Ciò è principalmente dovuto alla mancanza di una formula per l’integrale del prodotto e del quoziente di due funzioni, che invece è disponibile per le derivate. Ciò si può tradurre nell’impossibilità di applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale (pagina 21) al fine di ottenere il risultato. È quindi naturale cercare altri metodi per determinare i valori degli integrali definiti, anche in maniera approssimata. Tale branca dell’Analisi Matematica viene detta integrazione numerica e in questo articolo ne descriviamo i principali metodi (formule del trapezio, dei rettangoli e Cavalieri-Simpson), ponendo attenzione al background teorico che giustifica e motiva tali approssimazioni e fornendo esempi pratici di applicazione.

Se desideri conoscere queste tecniche di integrazione numerica, prosegui con la lettura!

Segnaliamo le risorse teoriche sull’integrazione:

 
 

Sommario

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In questo lavoro si intende introdurre il problema dell’integrazione numerica, concentrandosi poi sui dettagli delle formule del rettangolo, del trapezio e di Cavalieri-Simpson.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Gaetano Cantisani.

 
 

Prerequisiti

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Operazioni matriciali, conoscenza degli integrali.

 
 

Introduzione al problema

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Problema 1. Sia data una funzione continua a valori reali

\[f:[a,b]\to \mathbb{R}.\]

Il problema che ci si pone è di studiare un’approssimazione dell’integrale

\[S(f):=\int_a^{b}f(x)\,dx.\]

\[\quad\]

Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale stabilisce che esiste una funzione

\[F:[a,b]\to \mathbb{R}\]

detta primitiva della funzione f, tale per cui valga

\[\int_a^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).\]

Tuttavia tale esistenza teorica non ci preserva dai problemi derivanti da funzioni che non possiedono primitive esprimibili in termini di funzioni elementari. Inoltre, qualora si stabilisse che la primitiva sia costituita da funzioni elementari, la difficoltà del calcolo potrebbe far desiderare la conoscenza di un approccio differente1. Ponendoci in un contesto più generale, la funzione integranda potrebbe presentare punti di discontinuità ovvero essere definita su un intervallo illimitato.

Le tecniche di integrazione approssimata contribuiscono ad ampliare le conoscenze e i metodi di calcolo di integrali.

   

  1. Si pensi ad una primitiva della semplice funzione

    \[\dfrac{x^2}{1+x^4}.\]

    ↩


 
 

Definizioni iniziali

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Si considerano le formule di integrazione approssimata (dette anche formule di quadratura) della forma

\[S_{n+1}(f)=\sum_{i=0}^nw_if(x_i),\]

dove n\in\mathbb{N} è un numero naturale non nullo, i punti

\[\{x_i\} \subseteq[a,b]\]

sono detti nodi della formula e

\[\{w_i\}\subseteq \mathbb{R}\]

sono detti coefficienti, o pesi, della formula, entrambi questi insiemi indicizzati sull’intero i\in\{0,\dots,n\}. Nella trattazione presente si supporranno fissati i nodi; si discuterà nel seguito la scelta di tali punti.

Definizione 1. Si consideri una funzione continua

\[f:[a,b]\to\mathbb{R};\]

considerati l’integrale S(f) e una formula di quadratura S_{n+1}(f), con n un intero non nullo, si dice errore la quantità

\[r_{n+1}(f)=S(f)-S_{n+1}(f).\]

\[\quad\]

Strettamente correlato al concetto di errore, è il concetto di precisione: intuitivamente, maggiore è la precisione di una formula di quadratura, minore è l’errore rispetto all’integrale esatto.

Definizione 2. Si consideri una formula di quadratura e sia r_{n+1}(f) l’errore. Allora si dice che la formula ha grado di precisione k, con k\in\mathbb{N}, se

\[r_{n+1}(1)={\dots}=r_{n+1}(x^k)=0\]

e

\[r_{n+1}(x^{k+1})\neq 0.\]

\[\quad\]

Una formula di quadratura, inoltre, si dirà esatta se l’errore r_{n+1}(f) è nullo. Si osserva immediatamente che data una formula avente grado di precisione k, sarà esatta se applicata ai polinomi di grado al più k: infatti dalla linearità dell’integrale e della sommatoria, segue che, dato

\[p(x)=a_kx^k+{\dots}+a_0\]

un polinomio reale, risulta

\[r_{k+1}\left(p(x)\right) = a_kr_{k+1}(x^k)+{\dots}+ a_0r_{k+1}(1),\]

i cui addendi sono tutti nulli per ipotesi, verificando quanto sostenuto. Si supponga, ora, che siano fissati n nodi distinti. Calcolare una formula di quadratura significa calcolare esplicitamente i pesi w_i: fissato un grado di precisione eguale a k, si ricavano permettendo di ricavare i pesi w_i i quali sono le soluzioni del sistema lineare

\[\begin{cases} \sum_{i=0}^{n}w_i&=\int_a^b1\,dx\\ &\vdots\\ \sum_{i=0}^{n}w_ix_i^k&=\int_a^bx^k\,dx \end{cases}\]

Si osservi che le eguaglianze equivalgono all’ipotesi che la quadratura abbia precisione k: se l’errore è nullo, quadratura ed integrale esatto coincidono. Si può riscrivere il sistema, esplicitando anche la sommatoria

\[\begin{cases} w_0+{\dots}+w_n&=m_0\\ &\vdots\\ w_0x_0^k+{\dots}+w_nx_n^k&=m_k\\ \end{cases}\]

ove tutti gli integrali sono delle costanti:

\[m_i:=\int_a^bx^i\,dx.\]

Con l’ipotesi aggiuntiva che sia k=n, si ottiene una nota forma del sistema lineare, riscritto in forma matriciale:

\[\begin{bmatrix} 1&\dots&1\\ x_0&\dots&x_n\\ \vdots&&\vdots\\ x_0^{n-1}&\dots&x_n^{n-1}\\ x_0^n&\dots&x_n^n\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_0\\ w_1\\ \vdots\\ w_{n-1}\\ w_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} m_0\\ m_1\\ \vdots\\ m_{n-1}\\ m_n \end{bmatrix}.\]

La matrice dei coefficienti è una matrice quadrata detta di Vandermonde, il cui determinante è notoriamente

\[\det(V_{n+1})=\prod_{0\le i< j\le n}(x_i-x_j).\]

Giacché i nodi sono tutti distinti, la matrice di Vamdermonde ha determinante non nullo, dunque (per risultati dell’Algebra lineare, che si suppongono noti al lettore) il sistema ammette un’unica soluzione; tale esistenza ed unicità si traduce nell’esistenza ed unicità di un’unica formula di quadratura di grado di precisione n. Stabilita l’unicità, si procede ad esaminare uno dei possibili modi2 di costruzione esplicita delle formule di quadratura.    

  1. In linea teorica si potrebbe ricavare la formula di quadratura risolvendo il sistema lineare scritto; tuttavia per motivi di instabilità numerica tale approccio non è percorribile. ↩

 
 

Interpolazione e costruzione esplicita della quadratura

Introduzione.

Il problema dell’interpolazione è strettamente connesso al problema più generale dell’approssimazione di funzioni.

Problema 2. Si consideri una funzione

\[f:[a,b]\to\mathbb{R}.\]

Si considerino n punti distinti x_i\in[a,b] e n valori reali y_i=f(x_i). Si considerino, inoltre, n funzioni a valori reali

\[\phi_i:[a,b]\to\mathbb{R}.\]

Si richiede il calcolo di coefficienti a_0,\dots,a_n in modo che la funzione

\[T(x):= \sum_{i=0}^na_i\phi_i(x)\]

soddisfi

\[T(x_i)=y_i.\]

\[\quad\]

Parafrasando il testo del problema, data una funzione f e date delle funzioni \phi_i, si richiede di individuare dei coefficienti in modo che combinazioni lineari di quest’ultime funzioni coincidano con la funzione iniziale nei punti x_i. Tipicamente la prima è una funzione difficile da maneggiare, mentre le seconde sono funzioni più semplici. In questo contesto ci si limita a considerare funzioni \phi_i(x) in forma polinomiale: in tal modo l’interpolazione si dice polinomiale3. Senza scendere nel dettaglio, una scelta naturale come

\[\phi_i(x):=x^i\]

conduce a tradurre le uguaglianze da soddisfare, in un sistema lineare nella forma di Vandermonde, per il quale valgono le considerazioni fatte in precedenza (ci si riferisce all’instabilità numerica della risoluzione). Lo sforzo che si richiede è di una scelta più accurata: è necessaria, allora, una definizione.

Definizione 3. Sia n\in\mathbb{N} un naturale non nullo. Si definisce i-esimo polinomio di Lagrange, con 0\le i\le n, un polinomio della forma

\[L_i(x)= \prod_{\substack{j=0\\j\neq i}}^n \frac{ x-x_j}{ x_i-x_j }.\]

\[\quad\]

Una semplice, ma fondamentale, osservazione è che

\[L_i(x_i)=1\]

mentre, se j\neq i, s’ha

\[L_i(x_j)=0.\]

Posto dunque

\[\phi_i(x)=L_i(x),\]

segue immediatamente che

\[a_i=y_i,\]

per cui il polinomio interpolante T(x) ha la forma

\[T(x)=\sum_{i=0}^ny_iL_i(x).\]

Tanti sono i pregi di una tale espressione esplicita, tra i quali il calcolo efficiente, in termini di quantità di operazioni aritmetiche, di T(\xi), con \xi\in [a,b]; tuttavia altri sono i luoghi per l’approfondimento. Ora è necessario tornare al problema originario della quadratura, per raccordare al vecchio le nuove conoscenze. I coefficienti y_i sono i valori noti f(x_i), per cui il polinomio interpolante la funzione integranda f(x) diventa

\[T(x)= \sum_{i=0}^nf(x_i)L_i(x) .\]

Ponendo

\[S_{n+1}(f)=\int_a^b T(x)\,dx,\]

riscrivibile anche come

\[S_{n+1}(f)= \int_a^b \sum_{i=0}^nf(x_i)L_i(x)\, dx .\]

che conduce alla forma richiesta ad una formula di quadratura: dalla linearità dell’integrale segue che

\[S_{n+1}(f)= \sum_{i=0}^n f(x_i) \int_a^b L_i(x)\, dx .\]

Si verifica esplicitamente che una tale formula di quadratura ha precisione n: si vuol mostrare che r_{n+1}(x^k)=0 per 0\le k\le n e che r_{n+1}(x^{n+1})\neq 0. Tale risultato seguirà da un Teorema più generale, riguardante le funzioni aventi n+1 derivate continue.

Teorema 1. Sia f\in C^{n+1}[a,b] e siano a\le x_0<{\dots}<x_n\le b, nodi. Allora per ogni x\in [a,b] esiste \xi\in(a,b) tale per cui

\[r_{n+1}(x)= \prod_{i=0}^n(x-x_i)\frac{f^{(n+1)}(\xi)} {(n+1)!}.\]

\[\quad\]

La dimostrazione si omette. Segue quale Corollario la proprietà del grado di precisione.

Proposizione 1. Si consideri f\in C^{n+1}[a,b]; sia

\[S_{n+1}(f)=\int_a^b \sum_{i=0}^nf(x_i)L_i(x)\,dx\]

la formula di quadratura dell’integrale

\[\int_a^bf(x)\, dx.\]

Allora tale formula ha grado di precisione almeno n.

\[\quad\]

Dimostrazione. Ciò che si vuole stimare è il resto r_{n+1}(x^k). Dalle definizioni si ha che

\[r_{n+1}(f)= \int_a^bf(x)\, dx- \int_a^b \sum_{i=0}^nf(x_i)L_i(x)\, dx,\]

per linerarità dell’integrale, eguale a

\[r_{n+1}(f)= \int_a^bf(x)- \sum_{i=0}^nf(x_i)L_i(x) \, dx.\]

Giacché

\[\sum_{i=0}^nf(x_i)L_i(x)\]

è un polinomio di interpolazione di f(x), dal Teorema precedente è possibile stabilire che esiste \xi \in(a,b) tale per cui valga

\[r_{n+1}(f)=\int_a^b \prod_{i=0}^n(x-x_i)\frac{f^{(n+1)}(\xi)} {(n+1)!}\, dx.\]

L’ultima espressione equivale, per la solita linearità, a scrivere

\[r_{n+1}(f)=\frac{1}{(n+1)!}\int_a^b \prod_{i=0}^n(x-x_i)f^{(n+1)}(\xi) \, dx.\]

Si conclude osservando che la derivata

\[\left(x^k\right)^{(n+1)}=0\]

per k\le n: equivale a dimostrare quanto voluto.

È saggio evidenziare la caratterizzazione esplicita del resto, che si è utilizzata nella dimostrazione: vale

\[r_{n+1}(f)=\frac{1}{(n+1)!}\int_a^b \prod_{i=0}^n(x-x_i)f^{(n+1)}(\xi) \, dx.\]

Esplicitata un’unica formula di quadr la validità del metodo, si procede all’esplicita costruzione delle formule. I varii metodi differiranno per la scelta del numero di nodi.    

  1. Anche altre scelte sono possibili, ad esempio nel caso dell’interpolazione trigonometrica. ↩

Formula del rettangolo: n=0.

Fissare n=0 equivale a scegliere un solo nodo: la scelta è arbitraria, scegliere il punto medio non ha maggiori controindicazioni di altre scelte. Si tenga mente che anche nelle costruzioni che seguiranno si opereranno scelte dei nodi volte a semplificare i conti. Sia x_0=\dfrac{a+b}{2}, le formule diventano

\[S_{1}(f)= \int_a^b \sum_{i=0}^0f(x_i)L_i(x)\, dx= \int_a^b f(x_0)L_0(x)\, dx,\]

il quale, infine, corrisponde a

\[S_{1}(f)= \int_a^b f(x_0)\, dx.\]

Si osservi che il polinomio di Lagrange utilizzato è il polinomio L_0=1, poiché non esistono due elementi distinti x_j\neq x_i. Il calcolo esplicito dell’integrale conduce, infine, alla formula detta del rettangolo, poiché approssima l’area sottesa alla funzione, con l’area sottesa al quadrato di base b-a e di altezza f(x_0):

\[\quad\]

Formula 1.

\[S_1(f)=(b-a)f(x_0)=(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right).\]

\[\quad\]

Graficamente tale risultato si può interpretare in maniera semplice.

\[\quad\]

\[\quad\]

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: Formula di quadratura del rettangolo.


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