Esercizio svolto moto rettilineo uniforme 1

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In questo articolo troverete il primo esercizio sul moto rettilineo uniforme. L’esercizio svolto sul moto rettilineo uniforme 1 è il punto di partenza per comprendere il moto di un corpo lungo una traiettoria rettilinea con velocità costante. L’articolo successivo è disponibile a questo link esercizio svolto sul moto rettilineo uniforme 2, mentre tutti i testi sugli esercizi relativi a questo argomento si trovano qui moto rettilineo uniforme: testi degli esercizi svolti.

Moto rettilineo uniforme: introduzione

Il moto rettilineo uniforme (MRU) è un tipo di moto in cui un corpo si muove lungo una traiettoria rettilinea con velocità costante nel tempo. Questo significa che la velocità non cambia, quindi il modulo, la direzione e il verso rimangono invariati, l’accelerazione è nulla poiché non ci sono variazioni di velocità, e lo spazio percorso è direttamente proporzionale al tempo, rendendo la legge oraria una funzione lineare del tempo.

Un esempio di moto rettilineo uniforme è un’auto che viaggia su un’autostrada a velocità costante senza accelerare o frenare, oppure un treno in movimento su un binario dritto mantenendo sempre la stessa velocità.

Per approfondire la teoria sul moto rettilineo uniforme e sul moto rettilineo uniformemente accelerato, puoi consultare il seguente link: teoria sul moto rettilineo uniforme e sul moto rettilineo uniformemente accelerato.

Se vuoi esercitarti ulteriormente, puoi partire proprio dall’esercizio svolto sul moto rettilineo uniforme 1 e poi passare ai successivi per approfondire gradualmente il concetto.

Moto rettilineo uniforme – Testo e soluzione dell’esercizio

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ .Due ciclisti $A$ e $B$ partono contemporaneamente dal punto $Q$ dirigendosi lungo la medesima strada rettilinea in versi opposti. Il ciclista $A$ pedala alla velocità costante $v_{A}=6\;\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ accompagnato dal suo cane, il ciclista $B$ pedala alla velocità costante $v_{B}=4\;\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ . Dopo $10\;\text{minuti}$ dalla partenza, il cane del ciclista $A$ lascia il suo padrone e correndo a velocità costante $v_{C}=12\;\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , raggiunge il ciclista $B$ e immediatamente ritorna dal suo padrone $A$ . Quanto tempo impiega il cane nel suo viaggio di andata e ritorno?

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Figura 1: esercizio svolto moto rettilineo uniforme 1.

Rappresentazione del moto rettilineo uniforme con due ciclisti e un cane. Il ciclista A si muove in una direzione, mentre il ciclista B procede nella direzione opposta. Il cane parte dal ciclista A, raggiunge il ciclista B e torna indietro, sempre con moto rettilineo uniforme.

Svolgimento.

I due ciclisti $A$ e $B$ e il cane si muovono di moto rettilineo uniforme. Introduciamo un sistema di riferimento fisso $Ox$ con origine coincidente con il punto di partenza $Q$ dei due ciclisti, $O\equiv Q$ , tale che la direzione dell’asse $x$ coincida con la strada rettilinea (figura 1). Tutti e tre i protagonisti possono essere allora rappresentati come dei punti materiali[1] che si muovono nel tempo lungo l’asse $x$ . Supponiamo che il ciclista $A$ e il cane $C$ iniziano ad avviarsi lungo il verso negativo dell’asse $x$ , mentre il ciclista $B$ si diriga nel verso opposto, lungo il verso positivo dell’asse $x$ . Ricordando la legge oraria $x(t)$ che descrive la posizione di un punto materiale che si muove di moto rettilineo uniforme nel tempo, a partire dalla posizione $x(t_0)$ occupata nell’istante di partenza del moto $t=t_0$ , si ha

(1) $\begin{equation*} x(t)=x(t_0)+v(t-t_0) \end{equation*}$

Considerando che i due ciclisti $A$ e $B$ partono dall’origine del sistema di riferimento introdotto, $x(t_0)=0$ , dopo $t_1=10\;\text{minuti}=600\;\text{s}$ la loro posizione sarà

(2) $\begin{align*} &x_A(t_1)=x(t_0)-v_A (t_1-t_0)=-v_A t_1;\\ &x_B(t_1)=x(t_0)+v_B (t_1-t_0)=v_B t_1. \end{align*}$

Il segno meno della velocità $v_A$ tiene conto del fatto che il ciclista $A$ si sta muovendo lungo la direzione negativa dell’asse $x$ [2]. Al tempo $t_1$ il cane $C$ si separa dal padrone e raggiunge il ciclista $B$ . Partendo da (1), considerando che la corsa del cane $C$ verso $B$ parte all’istante di tempo $t_1$ e che la sua posizione iniziale coincide con la posizione del ciclista $A$ al tempo $t_1$ , $x_C(t_1)=x_A(t_1)=-v_A t_1$ , la legge oraria che descrive il tragitto di andata del cane $C$ è

(3) $\begin{equation*} x_C(t)=x_C(t_1)+v_C(t-t_1)=-v_A t_1 + v_C(t-t_1). \end{equation*}$

Sia $t_2$ l’istante di tempo in cui il cane $C$ incontra il ciclista $B$ . Pertanto, al tempo $t_2$ vale la condizione che il cane $C$ e il ciclista $B$ occupano la stessa posizione sull’asse $x$ , cioè

(4) $\begin{equation*} x_C(t_2)=x_B(t_2). \end{equation*}$

Sfruttando (3), da cui si può ottenere $x_C(t_2)$ sostituendo $t=t_2$ , e sapendo che $x_B(t_2)=v_B t_2$ , segue che:

(5) $\begin{equation*} x_C(t_2)=-v_A t_1 + v_C(t_2-t_1)=x_B(t_2)=v_B t_2 \quad\Leftrightarrow\quad v_B t_2=-v_A t_1 + v_C t_2- v_C t_1, \end{equation*}$

da cui

(6) $\begin{equation*} (v_B-v_C)t_2=-(v_A+v_C)t_1 \quad\Leftrightarrow\quad t_2=\frac{-(v_A+v_C)t_1}{(v_B-v_C)}=\frac{(v_A+v_C)t_1}{(v_C-v_B)}=1350\;\text{s}=22.5\;\text{min}. \end{equation*}$

Raggiunto il ciclista $B$ , il cane torna indietro e si ricongiunge con il suo padrone. La legge oraria che descrive il tragitto di ritorno del cane $C$ è

(7) $\begin{equation*} x_C(t)=x_C(t_2)-v_C(t-t_2). \end{equation*}$

Come prima, se $t_3$ è l’istante di tempo in corrispondenza del quale il cane rincontra il suo padrone $A$ , vale la condizione

(8) $\begin{equation*} x_C(t_3)=x_A(t_3), \end{equation*}$

da (7) con $t=t_3$ e dall’ultima condizione, ricordando che il moto di $A$ è uniforme nel tempo, $x_A(t_3)=-v_A t_3$ , si ottiene allora un’espressione per $t_3$ :

(9) $\begin{equation*} x_C(t_3)=x_C(t_2)-v_C(t_3-t_2)=x_A(t_3)=-v_A t_3 \quad \Leftrightarrow \quad-v_A t_3=x_C(t_2)-v_Ct_3+v_Ct_2, \end{equation*}$

o anche

(10) $\begin{equation*} (v_C-v_A)t_3=x_C(t_2)+v_Ct_2 \quad \Leftrightarrow \quad t_3=\frac{x_C(t_2)+v_Ct_2}{(v_C-v_A)}. \end{equation*}$

Per ricavare $x_C(t_2)$ sfruttiamo (4) e ricordiamo che $x_B(t_2)=v_Bt_2$ . Sostituendo, si ottiene

(11) $\begin{equation*} t_3=\frac{x_C(t_2)+v_Ct_2}{(v_C-v_A)}=\frac{x_B(t_2)+v_Ct_2}{(v_C-v_A)}=\frac{v_Bt_2+v_Ct_2}{(v_C-v_A)}=\frac{(v_B+v_C)t_2}{(v_C-v_A)}=3600\;\text{s}=60\;\text{min}. \end{equation*}$

Il tempo che il cane impiega in totale per andare dal ciclista $B$ e tornare dal suo padrone $A$ sarà allora dato dalla differenza tra l’istante di arrivo e l’istante di partenza del suo moto, ovvero sarà pari alla differenza tra $t_3$ e $t_1$ . Con il risultato ottenuto in (11) si arriva quindi alla soluzione del problema:

$\boxcolorato{fisica}{t=t_3-t_1=3000\;\text{s}=50\;\text{min}.}$

1. Viene definito punto materiale in fisica un corpo di cui possono essere trascurate le dimensioni nello studio del moto. ↩

2. La velocità del ciclista $A$ è un vettore, di modulo pari alla velocità media $v_{A}$ e di direzione e verso coincidenti con il verso negativo dell’asse $x$ (vedi figura 1.) ↩

Fonte esercizio svolto moto rettilineo uniforme 1.

G. Dalba e P. Fornasini – Esercizi di Fisica Meccanica e Termodinamica, Springer.

Scarica gli esercizi svolti sul moto rettilineo uniforme

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