Somma di una serie di potenze – Esercizio 1

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Benvenuti nell’articolo 1 della raccolta Somma di una serie di potenze – Esercizi. Segnaliamo anche il successivo Somma di una serie di potenze – Esercizio 2 per ulteriore materiale.

Buona lettura!

Testo somma di una serie di potenze 1

Esercizio 1. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(1) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^n\dfrac{n+2}{n+1}x^{2n}, \end{equation*}$

per ogni $x\in(-1,1)$ .

Svolgimento 1

Si osserva che per $x=0$ la serie converge a zero. Assumiamo d’ora in poi $x\in (-1,0)\cup (0,1)$ e riscriviamo (1) come segue

$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^n\dfrac{n+2}{n+1}x^{2n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^nx^{2n}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^n\dfrac{1}{n+1}x^{2n}=\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-x^2\right)^n}_{\mathcal{S}_1}+\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{n+1}x^{2n}}_{\mathcal{S}_2}.$

Ricordando che

$\sum_{n=0}^{+\infty}t^n=\dfrac{1}{1-t}$

per ogni $t\in(-1,1)$ , o anche

$\sum_{n=1}^{+\infty}t^n+1=\dfrac{1}{1-t},$

cioè

$\sum_{n=1}^{+\infty}t^n=\dfrac{1}{1-t}-1,$

ponendo $t=-x^2$ , si ha che

$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-x^2\right)^n=\dfrac{1}{1+x^2}-1=-\dfrac{x^2}{1+x^2}=\mathcal{S}_1.$

Ora si ricorda il seguente fatto

$-\ln\left(1-t\right)=x\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{t^n}{n+1}$

per ogni $t\in (-1,1)$ , ponendo $t=-x^2$ , si ottiene

$-\ln\left(1+x^2\right)=-x^2\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\left(-x^2\right)^n}{n+1}=-x^2\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n\left(t\right)^{2n}}{n+1}=-x^2-x^2\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n\left(t\right)^{2n}}{n+1}=-x^2-x^2\mathcal{S}_2,$

da cui, ricordando che $x\neq 0$ , si trova che

$\mathcal{S}_2=\dfrac{-x^2+\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}.$

Si conclude che

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^n\dfrac{n+2}{n+1}x^{2n}&=-\dfrac{x^2}{1+x^2}+\dfrac{-x^2+\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}=-\dfrac{x^2}{1+x^2}-1+\dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}=\\ &=\dfrac{-x^2-1-x^2}{1+x^2}+\dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}=-\dfrac{2x^2+1}{1+x^2}+\dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}, \end{aligned}$

cioè

$\boxcolorato{analisi}{\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^n\dfrac{n+2}{n+1}\,x^{2n}= \begin{cases} -\dfrac{2x^2+1}{1+x^2}+\dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}\quad &\text{se}\,\, x \in (-1,0)\cup(0,1);\\\\ 0 &\text{se}\,\, x=0. \end{cases}}$

Per completezza osserviamo che

$\lim_{x\to 0 }\left( -\dfrac{2x^2+1}{1+x^2}+\dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}\right)=0,$

dove si è usato il limite notevole

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln\left(1-x\right)}{x}=1,$

e pertanto la serie di potenza risulta continua in $x=0$ .

Svolgimento 2.

Si consideri la funzione

$f:(-1,1)\to\mathbb{R},\,\,f(t) \coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\frac{n+2}{n+1}x^{2n} = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\frac{n+2}{n+1}t^n\qquad (t = x^2).$

Consideriamo

$\begin{aligned} g(t) \coloneqq {} & \int\limits_0^t \tau\cdot f(\tau) \mathrm{d}\tau = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\frac{n+2}{n+1}\int\limits_0^t\tau^{n+1}\mathrm{d}\tau = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\frac{t^{n+2}}{n+1} = \\ = {} & t\cdot\sum_{m=2}^{+\infty} (-1)^{m-1}\frac{t^m}{m} = t\cdot\left(\sum_{m=1}^{+\infty} (-1)^{m-1}\frac{t^m}{m} - t\right) = t\cdot\left(\ln(1+t) - t\right), \end{aligned}$

da cui, derivando $g$ , si ottiene

$\frac{\mathrm{d} g(t)}{\mathrm{d} t}=t\cdot f(t) = -t\left(\frac{1+2t}{1+t}\right) + \ln(1+t);$

assumendo per il momento $t\neq0$ è possibile esplicitare $f$ , cioè

$f(t) = \frac{\ln(1+t)}{t} - \frac{1+2t}{1+t}.$

Ricordando che $t=x^2$ si ottiene

$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^n\dfrac{n+2}{n+1}\,x^{2n}= -\dfrac{2x^2+1}{1+x^2}+\dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}.$

In particolare si osservi che se $x=0$ la serie converge a zero, da cui è possibile concludere che

$\boxcolorato{analisi}{ \sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^n\dfrac{n+2}{n+1}\,x^{2n}= \begin{cases} -\dfrac{2x^2+1}{1+x^2}+\dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}\quad &\text{se}\,\, x \in (-1,0)\cup(0,1);\\\\ 0 &\text{se}\,\, x=0; \end{cases}}$

come ottenuto in precedenza.

Fonte.

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