Prerequisiti di matematica per il Semestre Filtro: 250 esercizi svolti

Nella famiglia

si controlla prima il coefficiente . Per i valori con l’equazione è lineare o degenere; soltanto per si usa il discriminante . La discussione completa separa quindi: perdita del grado, segno del discriminante e formula delle radici. Per esempio,

Per ogni le radici sono e ; se coincidono e la radice è doppia.

Una disequazione lineare nell’incognita reale si riconduce a

dove indica uno tra . Il primo principio di equivalenza delle disequazioni consente di aggiungere o sottrarre ai due membri la stessa espressione definita senza cambiare il verso. Per il secondo principio, la moltiplicazione o divisione per un numero positivo conserva il verso, mentre quella per un numero negativo lo inverte. Per esempio,

Se , rimane una proposizione numerica: l’insieme delle soluzioni è quando essa è vera per ogni e quando è falsa per ogni . Per con , la tabella 2 riassume la notazione degli intervalli.

Intervallo	Condizione equivalente

Tabella 2: intervalli reali e condizioni equivalenti.

Le parentesi quadre includono un estremo, quelle tonde lo escludono. I simboli non sono numeri e sono sempre accompagnati da parentesi tonde. Le parentesi graffe delimitano un insieme: per esempio, è un insieme finito di due elementi e non coincide con l’intervallo . L’unione contiene i reali esterni ai due estremi; l’intersezione seleziona i valori comuni a più condizioni. La figura 1 mostra come distinguere estremi inclusi ed esclusi mediante punti pieni e vuoti.

Figura 1: tre esempi sulla retta reale. Un punto pieno indica un estremo incluso; un punto vuoto, un estremo escluso.

Per

si distinguono , e . Nei primi due casi si divide rispettivamente senza o con inversione del verso; nell’ultimo la variabile scompare e si decide se la proposizione numerica è vera per ogni oppure falsa per ogni .

Esempio Per :

• se , ;
• se , ;
• se , si ottiene , quindi .

Una disequazione quadratica si riconduce al segno di una funzione. Una funzione associa a ogni valore ammesso di un unico valore ; il suo grafico è formato dai punti . Qui a ogni numero reale viene associato . Sia dunque , definita per ogni da

con e . Il grafico di è una parabola: per è rivolta verso l’alto, per verso il basso. La figura 2 illustra, per e per , i tre casi determinati dal numero di intersezioni della parabola con l’asse ; le ascisse dei punti di intersezione sono le radici dell’equazione associata.

Figura 2: grafici schematici di , con ascissa, ordinata, , e . La riga superiore rappresenta , quella inferiore ; le colonne corrispondono a , e . Per , sono gli zeri distinti; per , è la radice doppia; per non vi sono zeri reali. Sotto ogni pannello è riportato il segno del trinomio: la radice doppia non comporta un cambio di segno. Le scale geometriche dei pannelli sono uguali.

Se e le radici sono ordinate come , allora

I segni dei due fattori, riportati nella tabella 3, spiegano la regola del trinomio.

Tabella 3: segni dei fattori per .

Proposizione 1.3 Sia , con coefficienti reali, e .

• Se e sono le radici, ha il segno di all’esterno delle radici, il segno opposto tra esse e vale zero in .
• Se , posto , : il segno è quello di per , mentre .
• Se , il trinomio non si annulla e conserva il segno di per ogni .

La fattorizzazione e la tabella 3 motivano il primo caso; il quadrato del secondo è positivo fuori dal suo zero. Nell’ultimo caso il grafico non incontra l’asse, come nella figura 2. Gli zeri si includono nella soluzione soltanto con oppure .

Esempio. Per le radici sono e , mentre . Il trinomio è non positivo tra le radici, comprese: .

Esempio. Nei pannelli centrali della figura 2 il grafico tocca l’asse senza attraversarlo. Perciò dà : l’unico zero è escluso dal confronto stretto. Invece dà , perché il quadrato può essere non positivo soltanto quando è nullo. Il pannello superiore destro mostra perché non ha soluzioni: . Infine, per , il pannello inferiore centrale mostra valori negativi tranne nello zero; dunque , incluso dall’uguaglianza.

Si controllano la perdita del grado, il discriminante e l’ordine delle eventuali radici. Quando è disponibile, una fattorizzazione rende più trasparente il segno. Per esempio,

Se , ; se , ; se , e .

In una variabile si risolve ciascuna disequazione e si intersecano gli insiemi delle soluzioni. Per esempio,

quindi . La figura 3 confronta le due soluzioni e la loro intersezione. Per esempio, soddisfa soltanto la prima condizione: appartenere all’unione non basta per risolvere il sistema.

Figura 3: intersezione delle condizioni e ; i punti pieni includono l’estremo, quelli vuoti lo escludono.

Per un numero reale , il valore assoluto è definito da

Il valore assoluto è quindi sempre non negativo: per esempio, . Sulla retta reale, misura la distanza del punto dal punto . Per ogni valgono le proprietà

Prima di risolvere un’equazione o una disequazione con valore assoluto, si determina il dominio comune delle espressioni coinvolte. Tutti i passaggi successivi si intendono per .

Equazioni: separazione secondo il segno dell’argomento

Per risolvere si applica la definizione di valore assoluto: nel caso il modulo si sostituisce con ; nel caso si sostituisce con . Si ottiene

Qui e nel seguito, il simbolo fra due sistemi indica l’unione dei rispettivi insiemi soluzione: si risolve ciascun sistema separatamente e poi si raccolgono le soluzioni ottenute. La condizione è necessaria, perché il primo membro è non negativo. Può essere imposta preliminarmente per restringere la ricerca; nei due sistemi è già garantita dalle condizioni scritte.

Esempio. L’equazione si riscrive come

Il primo sistema è impossibile. Nel secondo, l’equazione dà , che soddisfa la condizione . Pertanto

La verifica nell’equazione iniziale dà .

Disequazioni: metodo generale

La stessa separazione si applica a tutti i versi di disuguaglianza:

Queste equivalenze valgono qualunque sia il segno di . La condizione sul segno di va mantenuta in ciascun sistema: eliminandola si possono introdurre soluzioni non valide. Quando il secondo membro è una costante positiva, i confronti e selezionano dunque i valori interni ai due limiti; i confronti e selezionano quelli esterni.

Esempio. Risolviamo :

Risolvendo le singole disequazioni si ottiene

Pertanto

Confrontiamo ora con :

Si ottiene

Quindi

Il procedimento è lo stesso in entrambi gli esempi: si intersecano le condizioni all’interno di ciascun sistema e si uniscono i risultati dei due sistemi.

Nel piano cartesiano si sceglie un riferimento cartesiano ortonormale, formato dall’origine , da due assi orientati perpendicolari e e dalla stessa unità di misura su entrambi gli assi. Un punto è individuato dalla coppia ordinata costituita dall’ascissa e dall’ordinata . I quadranti, in senso antiorario a partire da quello in alto a destra, hanno segni

I punti sugli assi non appartengono ad alcun quadrante. La figura 4 mostra origine, assi orientati e quadranti. Per costruire si leggono prima le due unità a sinistra sull’asse , poi le tre unità verso l’alto. non appartiene ad alcun quadrante.

Figura 4: costruzione di e di un punto sull’asse; una divisione corrisponde a un’unità su entrambi gli assi.

Per e , le variazioni con segno da a sono

Nel triangolo rettangolo ausiliario, invece, le lunghezze dei cateti sono e . La distanza si ricava da Pitagora; il punto medio del segmento ha coordinate pari alle medie delle coordinate dei due estremi:

La figura 5 usa e : , , . Le medie si calcolano separatamente: e . è una lunghezza non negativa; le variazioni con segno formano invece le componenti dello spostamento .

Figura 5: distanza e punto medio; la griglia ha la stessa unità sui due assi e l’angolo in è retto.

Le simmetrie di sono: rispetto all’asse , ; rispetto all’asse , ; rispetto all’origine, . Per due punti distinti , se il coefficiente angolare della retta che li contiene è

e la formula punto-pendenza è . Sviluppando si ottiene , con ; è l’ordinata del punto in cui la retta incontra l’asse , detta intercetta. Questa forma vale nel caso non verticale già considerato. Se e , la retta è verticale, il coefficiente angolare non è definito e l’equazione è . Se , i dati individuano un solo punto e passano per esso infinite rette: non esiste una retta unica determinata dalla coppia.

Un sistema richiede che tutte le equazioni siano soddisfatte simultaneamente. Le incognite reali e sono comuni alle equazioni e una soluzione è una coppia ordinata , non due scelte indipendenti. Un sistema lineare ha forma

dove sono coefficienti assegnati: il pedice identifica l’equazione, e moltiplicano le incognite e è il termine noto. Se per , ciascuna equazione rappresenta una retta. Con le nozioni cartesiane richiamate nel paragrafo Assi cartesiani, coordinate dei punti e quadranti, le due rette possono incontrarsi in un punto, coincidere o essere parallele distinte; il sistema è rispettivamente determinato, indeterminato o impossibile. Prima di applicare un criterio, si controllano le eventuali righe con : una riga con rende il sistema impossibile; una riga non impone vincoli. Se tutti e quattro i coefficienti sono nulli, si ha soltanto per , altrimenti . Come approfondimento, se almeno uno dei quattro coefficienti è non nullo, un criterio privo di divisioni per coefficienti eventualmente nulli usa . Se , il sistema è determinato. Se , è indeterminato quando anche e , impossibile negli altri casi. L’ipotesi non è superflua: nel sistema , i tre determinanti sono tutti nulli, ma non esiste alcuna soluzione. Per il percorso di base restano prioritari la sostituzione e l’eliminazione descritte di seguito. Quando il sistema è determinato, ciascuno dei metodi seguenti conduce all’unica coppia soluzione; negli altri casi gli stessi passaggi consentono di riconoscere dipendenza o incompatibilità. Nel metodo di sostituzione si isola un’incognita in un’equazione nella quale il suo coefficiente è non nullo e si sostituisce l’espressione nell’altra. Nel confronto si isola la stessa incognita in entrambe le equazioni, sempre senza dividere per coefficienti nulli. Nell’eliminazione si mantiene una delle equazioni e si sostituisce l’altra con la somma tra essa e un multiplo della prima, scegliendo il multiplo in modo da cancellare un’incognita. Questa operazione è reversibile; conservare soltanto la somma delle due equazioni farebbe perdere informazione. La scelta più conveniente dipende dai coefficienti: si preferisce la sostituzione quando un’incognita è già isolata o ha coefficiente , il confronto quando entrambe le isolazioni sono immediate e l’eliminazione quando compaiono coefficienti uguali o facilmente rendibili opposti.

Esempio. Per il sistema

dalla seconda equazione si isola . Sostituendo nella prima si ottiene , quindi e . Da segue . La verifica è e , perciò .

Esempio. Nel sistema

si moltiplica la prima equazione per e la seconda per :

Sommando membro a membro si ricava , dunque . Si conserva una delle equazioni originarie, per esempio , e si trova , quindi . La coppia verifica entrambe le equazioni.

Scambiare le equazioni, moltiplicarne una per un numero non nullo e sommare a un’equazione un multiplo dell’altra non cambia l’insieme delle soluzioni. Un sistema può inoltre essere non lineare, per esempio quando compare o : una sostituzione può ricondurlo a un’equazione in una sola incognita, ma ogni coppia ottenuta deve essere verificata nel sistema completo.

Disequazioni in due variabili

Una disequazione , con e , descrive un semipiano. La retta di confine è inclusa con o ed esclusa con o . Se , rimane il confronto numerico : l’insieme delle soluzioni è tutto quando è vero e l’insieme vuoto quando è falso. Dopo questo controllo dei casi degeneri, la soluzione di un sistema è l’intersezione dei semipiani; un punto di prova fuori dalla retta di confine permette di individuare il lato corretto.

Un angolo orientato descrive la rotazione dalla semiretta iniziale a quella finale: il verso antiorario è positivo, quello orario negativo. In una circonferenza di raggio , un arco ordinario ha lunghezza . Se l’arco è sotteso da un angolo al centro di ampiezza non negativa , misurata in radianti, allora

Un radiante è dunque l’ampiezza dell’angolo al centro che sottende un arco lungo quanto il raggio. La lunghezza dell’arco non va confusa con quella della corda che ne unisce gli estremi. Per una rotazione orientata di misura , che può essere negativa, la lunghezza complessivamente percorsa sul bordo è . La figura 6 distingue l’arco di lunghezza dalla corda che ne unisce gli estremi e affianca la costruzione di un radiante.

Figura 6: (a) L’angolo al centro individua un arco di lunghezza , con espresso in radianti. La corda , tratteggiata, unisce gli estremi dell’arco. (b) Un radiante è l’ampiezza dell’angolo al centro che individua un arco lungo quanto il raggio: . Le due circonferenze sono rappresentate nella stessa scala.

Un giro completo corrisponde a rad e mezzo giro a rad. Indicando con il solo valore numerico della misura in gradi e con il solo valore numerico della misura in radianti, la stessa frazione di mezzo giro dà

Moltiplicando rispettivamente per e per , si ottengono le conversioni

(5)

Per , il valore numerico in radianti è : l’angolo misura . Per , il valore numerico in gradi è : l’angolo misura . La tabella 4 raccoglie le conversioni più utilizzate.

misura in gradi
valore in radianti

Tabella 4: gradi e valori numerici in radianti; la misura della seconda riga si ottiene moltiplicando il valore per .

Esempio. Come si legge ? L’argomento è il valore numerico dell’angolo in radianti: dalla tabella si riconosce . In , invece, l’argomento è il doppio di ; se , si deve leggere , non .

Due angoli che differiscono di , con , sono coterminali: hanno la stessa semiretta finale, ma non rappresentano necessariamente la stessa rotazione accumulata. Per trovare il rappresentante in si aggiungono o sottraggono giri completi finché il valore appartiene all’intervallo; è incluso e è escluso. Per esempio,

Nel moto circolare si sceglie prima il verso positivo. Per un intervallo temporale , la velocità angolare media con segno è

espressa in rad/s. Dalla definizione segue già sullo stesso intervallo, anche se il moto non è uniforme: qui è la media su quell’intervallo. Nel moto uniforme la velocità angolare è costante e lo stesso valore di vale su qualunque intervallo. Lo spostamento angolare accumulato può superare e non va ridotto al rappresentante coterminale quando interessa il numero di giri compiuti. La figura 7 dispone gli angoli notevoli a partire dal semiasse positivo delle ascisse; la freccia interna indica il verso antiorario positivo.

Figura 7: circonferenza goniometrica con gli angoli espressi in radianti, misurati dal semiasse positivo delle ascisse in senso antiorario. e sono misure coterminali, non uguali: differiscono di un giro. Il raggio vale una unità su entrambi gli assi.

La circonferenza goniometrica è la circonferenza di centro , coincidente con l’origine, e raggio . Fissato un angolo orientato misurato dal semiasse positivo delle ascisse, la semiretta finale incontra la circonferenza nel punto

Il coseno è quindi l’ascissa di e il seno la sua ordinata. Seno e coseno sono definiti per ogni e soddisfano

Poiché appartiene alla circonferenza di raggio uno, le sue coordinate soddisfano l’identità

(6)

Per esempio, l’equazione non ha soluzioni reali. La notazione significa , non ; analogamente per il coseno. Dall’identità fondamentale si può ricavare

ma il segno deve essere scelto in base al quadrante o alle ipotesi sull’angolo. In particolare, . La tangente è definita da

quando , cioè per per ogni . A differenza di seno e coseno, la tangente non è limitata all’intervallo . La figura 8 rappresenta il punto e le due proiezioni sugli assi; il raggio segnato fissa la scala comune.

Figura 8: circonferenza goniometrica di centro e raggio : il punto individua le funzioni dell’angolo orientato e le proiezioni sugli assi.

La tangente ha anche un’interpretazione geometrica. Sulla retta tangente alla circonferenza in , l’intersezione con la retta ha ascissa . Quando , la retta ha pendenza , perciò . Si considera tutta la retta , così l’intersezione con esiste anche quando , cioè quando la semiretta finale sta nel semipiano sinistro. Per , è verticale e non incontra la retta ; la tangente non è definita. La figura 9 mostra la retta e il segmento orientato che permette di leggere la tangente.

Figura 9: lettura geometrica di sulla retta , con unità uguali sui due assi. Il valore della funzione è l’ordinata di , non l’angolo .

Sostituire con conserva la retta e l’intersezione : ciò spiega il periodo . Poiché , la tangente è positiva nei quadranti I e III, negativa nei quadranti II e IV. Gli assi si trattano separatamente. Rotazioni complete e riflessioni della circonferenza danno, per e dove la tangente è definita,

Seno e coseno hanno periodo , mentre la tangente ha periodo . Angoli coterminali hanno la stessa semiretta finale e quindi gli stessi valori goniometrici, pur potendo descrivere rotazioni accumulate diverse. Per esempio, e . I segni si leggono dalle coordinate del punto :

I punti sugli assi non appartengono a nessun quadrante e si trattano separatamente. Scelto il rappresentante e un punto interno a un quadrante, sia l’angolo acuto di riferimento. Nel II quadrante , nel III e nel IV . Per descrivere tutte le misure reali coterminali si aggiunge , con . I valori assoluti coincidono con quelli di ; i segni sono quelli della tabella. Le riflessioni e il quarto di giro rendono esplicite le relazioni, per :

Esempio. è nel II quadrante: e . Invece è nel III quadrante: e . Le tangenti valgono rispettivamente e , dividendo i valori corrispondenti.

La tabella 5 riporta i valori notevoli nell’intervallo , estremi compresi.

(7)

Tabella 5: valori delle funzioni goniometriche; la prima riga contiene i valori numerici degli angoli in radianti.

  Le colonne relative a e si ricavano dividendo a metà un triangolo equilatero di lato : si ottengono un’ipotenusa , un cateto e l’altro per Pitagora. Il triangolo rettangolo isoscele con cateti e ipotenusa dà i valori di . I rapporti fra i lati, richiamati nel paragrafo Funzioni goniometriche e triangoli rettangoli, giustificano quindi i valori, non soltanto la loro memorizzazione. Le relazioni fra angoli associati sono casi particolari delle formule di addizione e sottrazione, valide per ogni :

Queste formule permettono di calcolare seno e coseno di una somma o di una differenza a partire dai valori dei singoli angoli. Attenzione: in generale, , e analogamente per il coseno. Le formule di sottrazione si ottengono da quelle di addizione sostituendo con e usando la parità del coseno e la disparità del seno. Per esempio, poiché , si ricava

Dividendo le formule del seno per quelle del coseno si ottengono le corrispondenti formule per la tangente:

Queste espressioni valgono quando e sono definite e il rispettivo denominatore è diverso da zero. Ponendo nelle formule di addizione si ottengono le formule di duplicazione:

Le tre espressioni del coseno sono equivalenti grazie all’identità : si sceglie quella più utile in base ai dati disponibili. Per la tangente si ha inoltre

purché sia definita e .

Lettura dei grafici

Nel grafico di una funzione goniometrica l’ascissa è l’angolo in radianti e l’ordinata è il valore della funzione. Non si devono confondere questi assi con quelli del piano in cui è disegnata la circonferenza goniometrica. La figura 10 mostra il seno e la retta . Nell’intervallo le due intersezioni hanno ascisse e : sono gli stessi angoli individuati dai due punti di ordinata sulla circonferenza.

Figura 10: grafico di . Gli zeri sono ; i massimi si hanno in , i minimi in , con . La ripetizione dopo mostra il periodo.

La figura 11 distingue zeri, massimi e minimi del coseno: un massimo non è uno zero della funzione.

Figura 11: grafico di , con periodo . Gli zeri sono , i massimi sono in e i minimi in , con .

La figura 12 separa i rami della tangente e indica con tratteggi verticali gli argomenti esclusi. In prossimità di ciascun asintoto verticale il valore assoluto delle ordinate tende a .

Figura 12: grafico di , con zeri e periodo . Le rette tratteggiate sono asintoti verticali: i corrispondenti argomenti sono esclusi dal dominio e i rami non sono collegati attraverso di essi. Non vi sono massimi o minimi; il disegno ritaglia le ordinate all’intervallo mostrato.

Si consideri il triangolo rettangolo in , con l’angolo acuto in e l’altro angolo acuto in . Le lunghezze positive sono , e ; è l’ipotenusa, è il cateto opposto ad e il cateto che, insieme all’ipotenusa, delimita . Vale

I nomi “opposto” e “adiacente” dipendono quindi dall’angolo scelto. La figura 13 identifica cateti, ipotenusa e angoli del triangolo; le lunghezze sono rappresentate con un’unica scala.

Figura 13: triangolo rettangolo in : rispetto all’angolo in , è il cateto opposto, quello adiacente e l’ipotenusa; .

I rapporti goniometrici sono

Triangoli rettangoli con lo stesso angolo acuto sono simili, perciò questi rapporti non dipendono dalle dimensioni del triangolo. Se si normalizza l’ipotenusa alla lunghezza , i rapporti diventano le coordinate del punto corrispondente sulla circonferenza goniometrica.

Teorema 1.4 In un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza e ipotenusa di lunghezza , vale

Il teorema 1.4 permette di ricavare il terzo lato quando sono noti gli altri due. Separatamente, l’area del triangolo è

Conosciuti un angolo e un lato, si sceglie il rapporto che contiene il dato e l’incognita, quindi si isola simbolicamente la lunghezza richiesta. Per esempio, se e , allora e . Per ricavare un angolo da un rapporto si usano operativamente le funzioni inverse con i loro intervalli principali:

In un triangolo rettangolo non degenere l’angolo acuto è univocamente determinato dai lati. In un’equazione goniometrica, invece, il valore principale deve essere completato con gli altri rami compatibili con quadranti, periodicità e intervallo assegnato.

Procedura pratica. Si disegna il triangolo e si marca l’angolo retto; si identifica l’ipotenusa; rispetto all’angolo scelto si distinguono cateto opposto e adiacente; si seleziona la relazione che contiene dati e incognita; si isola la grandezza richiesta; infine si controlla che l’ipotenusa sia il lato più lungo e che i risultati siano compatibili con Pitagora.

Equazioni elementari

Per risolvere un’equazione come o in un intervallo assegnato, si controlla prima che , si individua il valore notevole o principale e poi si cercano sulla circonferenza tutti i punti con la stessa ordinata o ascissa, verificando gli estremi dell’intervallo. Una sola funzione inversa non restituisce automaticamente tutti i rami. La calcolatrice deve essere impostata nella modalità corretta: DEG per i gradi e RAD per i radianti, sia nelle funzioni dirette sia nelle inverse; il risultato va accompagnato dall’unità angolare. Si determina prima il dominio, poi si scrivono tutte le famiglie e soltanto alla fine si seleziona l’intervallo assegnato. Nei seguenti enunciati gli argomenti sono valori numerici in radianti e .

• Per , se non esistono soluzioni reali. Se , posto , tutte le soluzioni sono oppure .
• Per , si richiede ancora . Posto , si ha oppure .
• Per , ogni è possibile. Posto , si ottiene . Restano esclusi tutti gli argomenti del dominio originario.

Ai valori estremi alcune famiglie coincidono: una soluzione non va contata due volte. In particolare, dà , dà e dà .

Esempio. Per , il valore principale è , ma la seconda famiglia è . In rimangono e ; è nel dominio ma non è soluzione, mentre è escluso dall’intervallo. Per la famiglia è , da cui nello stesso intervallo.

Se l’argomento è o , si trasforma anche il suo intervallo: da seguono e . Si torna poi alla variabile senza dimenticare i termini periodici; gli esercizi 130 e 133 mostrano i due procedimenti.

Le soluzioni si possono leggere sulla circonferenza goniometrica: al punto individuato dall’angolo corrispondono le coordinate . Quindi equivale a cercare le intersezioni con la retta orizzontale , mentre equivale a cercare le intersezioni con la retta verticale . Se si ottengono due punti distinti; se la retta è tangente e i due punti coincidono; se non ci sono intersezioni. A ogni angolo individuato si aggiungono tutti i multipli interi di .

Figura 14: Equazioni elementari sulla circonferenza goniometrica, illustrate per . (a) La retta orizzontale individua gli angoli e , simmetrici rispetto all’asse verticale. (b) La retta verticale individua gli angoli e , simmetrici rispetto all’asse orizzontale. Le frecce indicano il verso di misura degli angoli; tutte le soluzioni si ottengono aggiungendo , con .

Equazioni lineari in seno e coseno

Per l’equazione , con coefficienti reali assegnati, si pone e . Il punto deve appartenere sia alla circonferenza sia alla retta . Le lettere sono coordinate cartesiane; è l’incognita angolare. Se , la distanza della retta dall’origine è : una distanza minore di dà due punti, una distanza uguale a dà un punto di tangenza, una distanza maggiore di non dà intersezioni. A ciascun punto corrisponde un angolo modulo . Se , l’equazione è vera per ogni soltanto per , altrimenti è impossibile.

Esempio. Per , si intersecano e . Sostituendo si trova , quindi oppure . Nell’intervallo si ottiene . Questo metodo conserva entrambe le condizioni del sistema, senza introdurre candidati dal solo elevamento al quadrato.

La figura 15 individua i due punti del sistema: corrispondono agli angoli e , non ai numeri e presi separatamente.

Figura 15: intersezione della retta con la circonferenza goniometrica; le coordinate sono alla stessa scala.

Duplicazione e sostituzioni quadratiche

La formula necessaria per gli esercizi 145 e 148 è

(8)

L’argomento non è un esponente: non è . Se un’equazione è quadratica in o , la variabile ausiliaria deve appartenere a .

Esempio. Per si pone . L’equazione dà oppure . Il secondo valore è escluso: nessun seno vale . Tornando a , in rimangono e . I valori di non sono ancora le soluzioni angolari.

Approfondimento: formule di addizione

Le formule di addizione, utili per percorsi alternativi ma distinte dal procedimento elementare precedente, sono

Ponendo nella prima si ottiene la duplicazione (8); nella seconda si ricava

dove le ultime due forme usano (6). Per esempio, se è noto , conviene : non occorre conoscere il segno di . Invece, se è noto , l’ultima forma evita di introdurre il seno. La formula di addizione dà anche , possibile lettura alternativa dell’esercizio 148.

Un vettore non nullo è descritto da modulo, direzione e verso. La direzione è quella comune alle rette parallele che possono rappresentarlo; per un vettore applicato si specifica anche il punto di applicazione. Il vettore nullo ha modulo zero e non possiede una direzione o un verso determinati. Una grandezza vettoriale si rappresenta con una freccia: direzione e verso della freccia sono quelli del vettore, mentre la lunghezza ne rappresenta il modulo secondo una scala dichiarata. Una grandezza scalare fisica richiede invece un valore numerico e, se dimensionale, un’unità di misura. Nel piano si usano i versori e . Nello spazio si aggiunge l’asse e si scrive

con , e ; il contesto distingue i versori del piano da quelli dello spazio. Gli assi sono ortonormali: perpendicolari e con la stessa unità. Nel prodotto vettoriale si userà inoltre una terna destrorsa, definita nel paragrafo Prodotto vettoriale, aree e normali. Tornando al piano cartesiano, si scrive , dove e sono componenti scalari con segno. Il modulo è

Applicando il teorema di Pitagora anche alla componente lungo , nello spazio si ha

Per il versore con stessa direzione e stesso verso è

Per il vettore nullo il versore non è definito. Se e sono espressi negli stessi assi e ,

La somma corrisponde geometricamente al metodo punta-coda o al parallelogramma. Per il verso si inverte; per si ottiene il vettore nullo. Due vettori negli stessi assi sono uguali se e solo se coincidono entrambe le componenti; un’uguaglianza vettoriale nel piano equivale quindi a un sistema di due equazioni scalari. Per vettori liberi una traslazione della freccia ne conserva modulo, direzione e verso. Nel metodo punta-coda si pone la coda di sulla punta di ; nel parallelogramma i due vettori hanno invece origine comune. In entrambi i casi la risultante va dall’origine alla stessa estremità. La differenza si costruisce sommando l’opposto: . Una forza applicata a un corpo, invece, non può essere spostata arbitrariamente senza controllare gli effetti sul momento: qui si trasla soltanto la sua rappresentazione per eseguire la somma vettoriale, non il suo punto fisico di applicazione. La figura 16 confronta le due costruzioni della somma e mostra come la differenza impieghi il vettore opposto, non una sottrazione delle lunghezze.

Figura 16: somma e differenza per e . I tre schemi usano la stessa scala e la stessa coppia di vettori.

Se e è l’angolo orientato in senso antiorario dal semiasse positivo,

(9)

Le componenti possono essere negative; i cateti geometrici del triangolo ausiliario hanno lunghezze e . Per entrambe le componenti sono nulle e l’angolo di direzione non è definito. La figura 17 rappresenta la relazione (9): la freccia parte da e termina in , mentre è misurato dal semiasse positivo verso il vettore in senso antiorario.

Figura 17: scomposizione di nel primo quadrante. è l’origine, l’estremo, il modulo e le componenti scalari. Negli altri quadranti una o entrambe le componenti possono essere negative.

Per ricavare la direzione dalle componenti non basta usare meccanicamente : si determina prima il quadrante dai segni, poi si corregge l’angolo di riferimento; se si trattano separatamente gli assi. Per l’angolo di direzione non è definito. In questa dispensa si sceglie di norma oppure l’intervallo equivalente .

Esempio. Per si ha e

Il controllo della norma conferma che il vettore ottenuto è un versore.

Collegamento agli esercizi. Le operazioni componente per componente sono applicate nell’esercizio 75; norma e versore nell’esercizio 76; scomposizione nell’esercizio 77; modulo, quadrante e direzione nell’esercizio 78; somma di spostamenti nell’esercizio 79; uguaglianza vettoriale e sistema sulle componenti nell’esercizio 80. Gli esercizi 201–220 consolidano operazioni e componenti; il prodotto scalare, già utile nell’esercizio 217, è applicato dall’esercizio 221 (paragrafo Prodotto scalare); le proiezioni sono negli esercizi 229–230 (paragrafo Proiezioni ortogonali). Il prodotto vettoriale compare dall’esercizio 236, le aree nell’esercizio 241 e nell’esercizio 242, il volume nell’esercizio 249: i rispettivi richiami sono nei paragrafi Prodotto vettoriale, aree e normali. e Prodotto misto e volume.

In un riferimento ortonormale, il prodotto scalare di due vettori è il numero

(10)

Ogni prodotto accoppia componenti dello stesso asse. Per vettori non nulli, l’angolo compreso soddisfa anche

(11)

Ne segue un criterio geometrico: il prodotto è positivo per , nullo per e negativo per . Agli estremi e vale rispettivamente e : i vettori sono paralleli concordi o discordi. Se un fattore è nullo, il prodotto vale zero, ma l’angolo non è definito; per parlare di perpendicolarità tramite l’angolo si richiedono dunque entrambi i vettori non nulli. Per vettori fisici, l’unità del prodotto è il prodotto delle unità dei fattori. Per esempio, una forza costante in newton e uno spostamento in metri danno un lavoro in ; le componenti della forza e dello spostamento non sono lunghezze confrontabili tra loro.

Esempio. Per e , la formula (10) dà , mentre e . Da (11) segue , quindi nell’intervallo .

Il prodotto scalare è commutativo e distributivo; inoltre . Espandendo con la distributività,

si ottiene l’identità usata nell’esercizio 233:

(12)

Sia e sia il versore che ne fissa il verso. La componente scalare di lungo tale verso è il numero con segno

Per ottenere il vettore proiezione si moltiplica questo numero per il versore:

(13)

Il denominatore al quadrato deriva quindi da due divisioni per : la prima estrae la componente scalare, la seconda normalizza il vettore direzione. Il residuo è perpendicolare a , perché

La figura 18 mostra il piede della perpendicolare condotta da alla retta generata da : è la proiezione e il residuo.

Figura 18: proiezione di sulla retta di direzione . Gli assi hanno la stessa scala; .

Esempio. Per e la componente scalare è , mentre la proiezione è . Il segno negativo indica un verso opposto a ; il modulo della proiezione è invece . Non si deve confondere il numero con il vettore . L’esercizio 230 applica (13) a una direzione non coincidente con un asse.

Nello spazio si fissa una base ortonormale destrorsa: orientando le dita della mano destra dal semiasse positivo verso il semiasse positivo attraverso un quarto di giro, il pollice indica il semiasse positivo . In tale base si definisce

(14)

Il risultato è un vettore, non uno scalare. Per esempio, per e le prime due componenti sono nulle e la terza è : si ottiene , senza introdurre determinanti. Per fattori non nulli, con angolo compreso ,

(15)

Se i fattori non sono paralleli, il prodotto è perpendicolare a entrambi. Il suo verso si ottiene con la mano destra, ruotando dal primo fattore verso il secondo attraverso l’angolo compreso minore di . L’ordine è essenziale:

Se un fattore è nullo o i fattori sono paralleli, il risultato è , senza direzione né verso determinati. Viceversa, per due fattori non nulli, un prodotto vettoriale nullo implica parallelismo; non distingue però lo stesso verso dal verso opposto. Nei disegni sul piano , indica l’uscita dal foglio (verso nella vista scelta), mentre indica l’ingresso (verso ). La figura 19 associa il passaggio antiorario da a alla normale uscente; invertire l’ordine inverte la normale.

Figura 19: orientazione destrorsa, vista dal semiasse positivo verso il piano . I versori e hanno la stessa lunghezza grafica.

Se e rappresentano due lati uscenti dallo stesso vertice, la base del parallelogramma è e l’altezza è . Dalla formula base per altezza e da (15) segue

(16)

La diagonale divide il parallelogramma in due triangoli di uguale area, giustificando il fattore . Se i lati sono paralleli, altezza e area sono nulle: la figura è degenere. La figura 20 evidenzia la base , l’altezza e la diagonale: il modulo del prodotto vettoriale misura l’area; invertirne il verso non modifica tale modulo.

Figura 20: parallelogramma e triangolo con la stessa base e la stessa altezza. La diagonale separa due triangoli congruenti.

Se e non sono paralleli, è normale al piano che generano. I due versori normali sono . La condizione di non parallelismo deve precedere la divisione: due vettori paralleli non individuano quel piano e non forniscono una normale normalizzabile mediante il loro prodotto.

Il prodotto misto si calcola formando prima il vettore e poi il prodotto scalare con . È uno scalare con segno. Se e non sono paralleli, è l’area della base e la sua normale orientata. Allora

La componente è l’altezza con segno; l’altezza geometrica è il suo valore assoluto. Perciò il volume del parallelepipedo è

(17)

Se si trova dalla parte opposta rispetto alla normale, il prodotto misto cambia segno ma il volume resta non negativo. Se i tre vettori sono complanari, l’altezza è zero; se la base stessa è degenere, . In entrambi i casi (17) dà . La figura 21 separa il caso tridimensionale dal caso in cui giace nel piano della base: in quest’ultimo non si forma alcun volume.

Figura 21: schema prospettico del volume e del caso complanare. Le lunghezze apparenti non sono una scala metrica: l’altezza è perpendicolare al piano della base.

Nell’esercizio 249 i vettori sono mutuamente perpendicolari e formano una terna positivamente orientata; il prodotto misto coincide quindi con il prodotto delle tre lunghezze. Scambiare e ne inverte il segno, non il valore assoluto.

Per la potenza è definita per ogni esponente reale . Per un esponente razionale , con e intero positivo, , dove si prende la radice positiva. L’estensione agli esponenti reali conserva le proprietà delle potenze. Se inoltre , la funzione esponenziale è

Le proprietà algebriche, valide per , sono

(18)

La somma non è in generale : la legge riguarda il prodotto. Il grafico passa per e rimane sopra l’asse delle ascisse. Per la funzione è strettamente crescente; per è strettamente decrescente. In entrambi i casi è iniettiva: valori diversi di danno valori diversi di . Ne segue

(19)

nei punti dove gli esponenti sono definiti. La base , esclusa, darebbe invece la funzione costante . L’esponenziale naturale ha base e si indica con . La figura 22 mostra che ogni retta orizzontale di ordinata positiva incontra il grafico una sola volta; la monotonia è crescente.

Figura 22: esponenziale crescente; ascissa reale e ordinata sempre positiva.

La figura 23 mostra che ogni retta orizzontale di ordinata positiva incontra il grafico una sola volta; la monotonia è decrescente.

Figura 23: esponenziale decrescente; ascissa reale e ordinata sempre positiva.

Esempio. Per si riduce tutto alla base usando (18):

L’ultima equivalenza dipende dall’iniettività (19); segue . La verifica è .

Esempio. Per si pone , così . L’equazione dà oppure . Il secondo valore è incompatibile con la positività dell’esponenziale. Da segue , e verifica l’equazione iniziale. Una radice in non è ancora una soluzione in .

Per , e , il logaritmo di in base è l’unico esponente da dare alla base per ottenere :

(20)

La base è , l’argomento è , il risultato è l’esponente . L’unicità deriva dall’iniettività dell’esponenziale; ogni appartiene alla sua immagine. Il logaritmo è dunque la funzione inversa dell’esponenziale,

Per esempio, perché ; valgono , e per ogni reale . Si definiscono il logaritmo naturale e il logaritmo decimale ; in particolare per . Il logaritmo è strettamente crescente per e strettamente decrescente per , quindi iniettivo in entrambi i casi. Passa per ; non è definito in né sui numeri negativi. Perciò equivale a soltanto mantenendo e . La figura 24 rappresenta il logaritmo crescente: gli argomenti sono le ascisse positive, mentre i valori del logaritmo possono essere anche nulli o negativi.

Figura 24: logaritmo crescente in base ; il dominio è il semiasse positivo.

La figura 25 rappresenta il logaritmo decrescente: gli argomenti sono le ascisse positive, mentre i valori del logaritmo possono essere anche nulli o negativi.

Figura 25: logaritmo decrescente in base ; il dominio è il semiasse positivo.

Per e , le proprietà sono

(21)

Per esempio, se e , allora ; applicando (20) si ricava la prima proprietà. Le altre seguono dal quoziente e dalla potenza di potenza. Per un’altra base , , si ha inoltre

poiché dà e . In generale . Per esempio, per , , mentre . Le proprietà si applicano sul dominio originario, senza ampliarlo dopo una trasformazione. Per , . Scrivere invece richiede : la presenza del quadrato nell’argomento non autorizza a ignorare questa differenza.

Esempio. L’equazione ha dominio . La proprietà della potenza dà e poi : fra resta solo . Per , invece, il dominio è ; da rimangono entrambi i valori . Sono i due modelli confrontati negli esercizi 177 e 178.

Per risolvere una disequazione esponenziale o logaritmica si fissano prima le condizioni sulla base e il dominio. In tutti i casi si richiede

Il principio comune è la monotonia: se , le funzioni esponenziale e logaritmica sono strettamente crescenti e conservano il verso della disuguaglianza; se , sono strettamente decrescenti e lo invertono. Le equivalenze seguenti valgono all’interno del dominio: le condizioni di esistenza vanno mantenute fino alla determinazione dell’insieme soluzione.

1. Confronto fra esponenziali con la stessa base Condizioni di esistenza: e devono essere definite e reali. Non è necessario che siano positive.

Disequazione

Tabella 6: confronto monotonia esponenziali.

2. Confronto fra un esponenziale e un numero reale Condizioni di esistenza: deve essere definita e reale; la base soddisfa e . Il numero può essere un qualunque reale. Poiché per ogni del dominio, si distinguono due casi. Se : le disequazioni

non hanno soluzioni; le disequazioni

sono invece verificate per ogni del dominio. Se : si può scrivere e confrontare gli esponenti, tenendo conto della monotonia.

Disequazione

Le soluzioni ottenute vanno sempre intersecate con il dominio di . 3. Confronto fra logaritmi con la stessa base Condizioni di esistenza: e devono essere definite e soddisfare

Nel dominio così individuato valgono le equivalenze:

Disequazione

Il confronto fra gli argomenti non sostituisce le condizioni di esistenza: si risolve insieme a esse. 4. Confronto fra un logaritmo e un numero reale Condizioni di esistenza: deve essere definita e soddisfare ; è un numero reale. Poiché e , il confronto si riconduce al caso precedente. Nella tabella la condizione è già inclusa nei risultati:

Disequazione

Tabella 7: confronto monotonia logaritmi.

Quando si ottiene oppure , la positività dell’argomento è automatica, perché . Quando invece si ottiene un limite superiore per , occorre mantenere esplicitamente il vincolo . In particolare, l’estremo è sempre escluso, anche nelle disequazioni non strette.

<Esempio. Poiché e la base è minore di uno,

Per , il dominio è . La funzione logaritmica è decrescente: il confronto dà . Intersecando si ottiene , cioè .

Esempio. Per il dominio originario è . Soltanto su tale dominio si può scrivere , da cui . Il candidato non soddisfa il dominio iniziale; rimane . Il fatto che anche per non estende il dominio dei due logaritmi separati.

Esempio. Nel sistema misto , , si richiede . La prima equazione dà ; la seconda diventa , quindi . La coppia verifica entrambe le equazioni. Per un sistema di disequazioni si intersecano invece tutti gli insiemi trovati, compresi i domini: per e si ha , , quindi .

Collegamento agli esercizi. Le operazioni componente per componente sono applicate nell’esercizio 75; norma e versore nell’esercizio 76; scomposizione nell’esercizio 77; modulo, quadrante e direzione nell’esercizio 78; somma di spostamenti nell’esercizio 79; uguaglianza vettoriale e sistema sulle componenti nell’esercizio 80. Gli esercizi 201–220 consolidano operazioni e componenti; il prodotto scalare, già utile nell’esercizio 217, è applicato dall’esercizio 221 (paragrafo Prodotto scalare); le proiezioni sono negli esercizi 229–230 (paragrafo Proiezioni ortogonali). Il prodotto vettoriale compare dall’esercizio 236, le aree nell’esercizio 241 e nell’esercizio 242, il volume nell’esercizio 249: i rispettivi richiami sono nei paragrafi Prodotto vettoriale, aree e normali. e Prodotto misto e volume.