Grandezze fisiche e unità di misura: 30 esercizi svolti – Semestre Filtro 2026

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Sommario

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La presente dispensa introduce alcuni concetti fondamentali di fisica necessari per affrontare problemi sulle grandezze fisiche e sulle unità di misura. In particolare, vengono introdotti:

il concetto di grandezza fisica e di misurazione;

il Sistema Internazionale di unità di misura;

i prefissi delle unità di misura e le conversioni tra diverse unità;

la notazione scientifica e gli ordini di grandezza;

la distinzione tra grandezze estensive e intensive.

Dopo una breve trattazione teorica, seguono esercizi volti a consolidare i concetti principali e ad acquisire familiarità con quesiti a risposta multipla e quesiti a completamento, secondo una struttura simile a quella delle prove del semestre filtro.

Al termine sono riportate soluzioni commentate che illustrano i passaggi essenziali per risolvere correttamente gli esercizi proposti.

Autori e revisori

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Autrice: Colomba Brancaccio.

Revisori: Valerio Brunetti, Andrea Barisone, Sergio Messina.

Notazioni

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Nel seguito vengono adottate le seguenti convenzioni:

$X$	indica una grandezza scalare generica;
$x$	indica il valore numerico di $X$ nell’unità scelta;
$u_X$	indica l’unità di misura di $X$ (non un’incertezza); vale $X=x\,u_X$ ;
$\delta x$	indica l’incertezza numerica associata al valore $x$ , con $\delta x\geq 0$ ;
$\delta X$	indica l’incertezza sulla grandezza $X$ , con $\delta X=\delta x\,u_X$ ;
$\Delta X$	indica una variazione finita della grandezza $X$ ;
$\mathbb{Z}$	indica l’insieme dei numeri interi;
$a\cdot 10^n$	indica la notazione scientifica normalizzata, dove $a$ è il coefficiente numerico, con $1\leq \|a\|<10$ , e $n$ è l’esponente intero, con $n\in\mathbb{Z}$ .

Introduzione

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La presente dispensa introduce le grandezze fisiche e le unità di misura, con l’obiettivo di fornire gli strumenti necessari per interpretare una misura, effettuare conversioni tra unità e rappresentare in modo compatto quantità molto grandi o molto piccole. La trattazione inizia dalle nozioni di grandezza fisica, misurazione e risultato di misura: nel modello semplificato adottato, il valore di una grandezza si esprime mediante un numero e un’unità. Vengono poi introdotti il Sistema Internazionale con le sue grandezze e unità di base, i prefissi e le conversioni tra unità, la notazione scientifica e l’ordine di grandezza, e infine la distinzione tra grandezze estensive e intensive.

Prerequisiti: operazioni con frazioni e potenze a esponente intero, proporzioni ed elementari trasformazioni algebriche. Gli esercizi proposti, a risposta multipla o a completamento, sono stati scelti secondo una struttura simile a quella delle prove del semestre filtro, per verificare sia la conoscenza diretta delle definizioni sia la capacità di applicarle, anche in situazioni che richiedono la combinazione di più procedure; le soluzioni commentate ne mostrano i passaggi essenziali.

Richiami di teoria

Grandezze fisiche e misure.

Definizione 1.1 (grandezza fisica). Una grandezza fisica è una proprietà di un fenomeno, di un corpo o di una sostanza, la cui entità può essere espressa mediante un numero e un riferimento. Nel modello semplificato adottato in questa dispensa, la rappresentazione seguente è riferita alle grandezze scalari e, per le grandezze vettoriali, alle loro singole componenti. Il riferimento è l’unità di misura e il valore si esprime come

$X=x\,u_X,$

dove $x$ è il valore numerico e $u_X$ è l’unità di misura scelta.

Definizione 1.2 (misurazione). La misurazione è il processo sperimentale mediante il quale si ottengono uno o più valori che possono essere ragionevolmente attribuiti a una grandezza, impiegando un metodo, strumenti e riferimenti di misura adeguati.

In figura 1 è riassunto il passaggio dalla grandezza da misurare al risultato, usando come esempio la misura della lunghezza di un quaderno con un righello graduato.

Figura 1: schema essenziale di una misurazione: grandezza, strumento, lettura numerica e risultato espresso mediante valore numerico e unità di misura; nel riquadro tratteggiato è riportata l’estensione con l’incertezza.

La massa, la lunghezza e il tempo sono esempi di grandezze fisiche. Per determinarne il valore si utilizzano strumenti di misura, come una bilancia per la massa e un righello per la lunghezza.

Indicando con $m$ la massa corporea, un possibile valore, nel modello semplificato adottato, è

$m=60\,\mathrm{kg}.$

In questa espressione $60$ è il valore numerico e $\mathrm{kg}$ è il simbolo dell’unità di misura, separato dal valore numerico da uno spazio. Le grandezze si scrivono in corsivo matematico (come la massa $m$ ), mentre i simboli delle unità sono in carattere diritto: $\mathrm{m}$ diritto indica il metro, mentre $\mathrm{m}$ unito senza spazio a un’altra unità indica il prefisso milli. I simboli delle unità di misura sono inoltre sensibili all’uso delle maiuscole e delle minuscole e non prendono mai il plurale, né comprendono la punteggiatura della frase (l’eventuale punto finale resta esterno al simbolo): si scrive, ad esempio, $\mathrm{kg}$ e non $\mathrm{Kg}$ , e $\mathrm{M}$ è il simbolo del prefisso mega quando è anteposto a un’unità, come in $\mathrm{MW}$ (megawatt). Il prefisso e l’unità formano inoltre un unico simbolo, senza spazi, come in $\mu\mathrm{m}$ .

Nel seguito i valori delle grandezze sono rappresentati mediante un valore numerico e la relativa unità di misura, secondo il modello semplificato $X=x\,u_X$ introdotto nella definizione 1.1. In ambito sperimentale, tuttavia, un risultato di misura completo non si riduce a un numero e a un’unità: esso è generalmente accompagnato dall’indicazione dell’incertezza associata al valore misurato, nella forma

$X=(x\pm \delta x)\,u_X,$

dove $\delta x$ è l’incertezza numerica associata a $x$ ; l’incertezza sulla grandezza è $\delta X=\delta x\,u_X$ . La trattazione dell’incertezza di misura non rientra negli argomenti affrontati in questa dispensa.

Il Sistema Internazionale.

Il Sistema Internazionale di unità di misura (SI) è il sistema di unità adottato nella maggior parte delle applicazioni scientifiche e tecnologiche, la cui definizione ufficiale e aggiornata è pubblicata dal BIPM [1].

Nel SI si individuano sette grandezze di base, alle quali corrispondono sette unità di base. Le altre unità del SI si esprimono come prodotti di potenze delle unità di base e sono dette unità derivate. Le grandezze di base sono elencate nella tabella 1:

Grandezza di base	Simbolo della grandezza	Dimensione	Unità	Simbolo dell’unità
Lunghezza	$\ell$ (o $x$ )	$L$	metro	$\mathrm{m}$
Massa	$m$	$M$	chilogrammo	$\mathrm{kg}$
Tempo	$t$	$T$	secondo	$\mathrm{s}$
Corrente elettrica	$I$	$I$	ampere	$\mathrm{A}$
Temperatura termodinamica	$T$	$\Theta$	kelvin	$\mathrm{K}$
Quantità di sostanza	$n$	$N$	mole	$\mathrm{mol}$
Intensità luminosa	$I_{\mathrm{v}}$	$J$	candela	$\mathrm{cd}$

Tabella 1: le sette grandezze di base del Sistema Internazionale, i simboli comunemente adottati, le dimensioni e le rispettive unità di misura [1].

Per ricavare l’unità di una grandezza derivata si parte dalla relazione fisica che la definisce, si sostituiscono le unità delle grandezze di base e si semplificano i prodotti di potenze. Per esempio, dalla relazione $F=ma$ segue

$u_F=u_m\,u_a=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2},$

perciò l’unità della forza è il newton e vale $1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ . Lo stesso procedimento consente di ricostruire le unità derivate elencate di seguito, senza ridurle a identità da memorizzare.

Alcune unità derivate possiedono un nome proprio. Tra le unità derivate più utilizzate nel SI [1] figurano:

l’hertz (Hz), unità di misura della frequenza:
$1\,\mathrm{Hz}=1\,\mathrm{s}^{-1};$

il newton (N), unità di misura della forza:
$1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2};$

il joule (J), unità di misura dell’energia:
$1\,\mathrm{J}=1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m};$

il watt (W), unità di misura della potenza:
$1\,\mathrm{W}=1\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}^{-1};$

il pascal (Pa), unità di misura della pressione:
$1\,\mathrm{Pa}=1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-2}.$

Approfondimento: la definizione moderna del Sistema Internazionale.

Nel SI si distinguono sette grandezze di base e le corrispondenti sette unità di base, tradizionalmente indicate anche come grandezze e unità fondamentali; nel seguito si adotta sempre la denominazione «grandezze di base» e «unità di base». Dal 20 maggio 2019 è in vigore la revisione del SI basata sui valori numerici esatti di sette costanti definenti [1]; la revisione ha aggiornato il modo in cui le unità di base sono definite, senza interromperne la continuità storica e senza stabilire una corrispondenza biunivoca fra ciascuna costante e una singola unità di base.

Un esempio è il metro. Dal 1889 al 1960 il metro fu definito mediante il prototipo internazionale in platino-iridio, conservato presso il Bureau International des Poids et Mesures, in Francia. Un riferimento basato su un oggetto materiale presenta però alcuni limiti: il campione può deteriorarsi, deformarsi o essere difficile da riprodurre con precisione. La definizione spettroscopica basata su una radiazione del kripton-86 rimase in vigore dal 1960 al 1983, quando il metro fu definito fissando il valore esatto della velocità della luce nel vuoto: indicando con $c$ la velocità della luce nel vuoto, il suo valore esatto è

$c=299\,792\,458\,\mathrm{m/s},$

che oggi rappresenta una delle sette costanti definenti del SI [1]. Il valore di $c$ collega l’unità di lunghezza a quella di tempo: la definizione del metro si basa sul valore esatto di $c$ e sulla definizione del secondo. Indicando con $\Delta t$ l’intervallo di tempo impiegato dalla luce nel vuoto per percorrere $1\,\mathrm{m}$ , da questa relazione segue che

$\Delta t = \frac{1}{299\,792\,458}\,\mathrm{s}.$

In questo modo la definizione, mostrata schematicamente nella figura 2, non dipende da un particolare oggetto materiale: è universale e può essere realizzata, con metodi e strumentazione appropriati, in laboratori diversi, associando alla realizzazione una specifica incertezza di misura.

Figura 2: rappresentazione schematica del cammino di $1\,\mathrm{m}$ percorso nel vuoto dalla luce nell’intervallo di tempo $\Delta t$ ; il rivelatore ne segnala l’arrivo. La definizione del metro si fonda sul valore esatto di $c$ , e non su un campione materiale. Qui $c$ è la velocità della luce nel vuoto e $\Delta t$ è l’intervallo di tempo impiegato dalla luce per percorrere il cammino indicato.

Prefissi delle unità di misura.

Nella pratica i numeri molto grandi o molto piccoli sono scomodi da maneggiare. Per questo motivo il SI introduce alcuni prefissi, che rappresentano potenze di dieci. L’uso dei prefissi permette di scrivere i valori delle grandezze in modo più compatto. Ad esempio,

$1\,\mathrm{km}=1\,000\,\mathrm{m},$

mentre

$1\,\mathrm{mm}=0{,}001\,\mathrm{m}.$

Il nome del prefisso e quello dell’unità formano un’unica parola, per esempio millimetro. Il simbolo del prefisso si unisce senza spazi al simbolo dell’unità, per esempio $\mathrm{mm}$ ; il prefisso si applica all’unità prima di un eventuale elevamento a potenza. Non sono ammessi prefissi composti: non si applica un secondo prefisso a un simbolo già prefissato. Per esempio, $10^{-9}\,\mathrm{m}$ si scrive $\mathrm{nm}$ (nanometro), non $\mathrm{m\mu m}$ : non si può applicare milli a un’unità già prefissata con micro. Per la massa, in particolare, multipli e sottomultipli si formano a partire dal grammo (per esempio $\mathrm{mg}$ ), e non applicando un ulteriore prefisso al chilogrammo.

La tabella 2 riporta una selezione dei prefissi del Sistema Internazionale più frequentemente utilizzati negli esercizi:¹

	Multipli						Sottomultipli
Prefisso	tera	giga	mega	kilo	etto	deca	deci	centi	milli	micro	nano	pico
Simbolo	$\mathrm{T}$	$\mathrm{G}$	$\mathrm{M}$	$\mathrm{k}$	$\mathrm{h}$	$\mathrm{da}$	$\mathrm{d}$	$\mathrm{c}$	$\mathrm{m}$	$\mu$	$\mathrm{n}$	$\mathrm{p}$
Fattore	$10^{12}$	$10^9$	$10^6$	$10^3$	$10^2$	$10^1$	$10^{-1}$	$10^{-2}$	$10^{-3}$	$10^{-6}$	$10^{-9}$	$10^{-12}$

Tabella 2: selezione dei prefissi del Sistema Internazionale più utilizzati negli esercizi [1].

In $\mathrm{hPa}$ , $\mathrm{h}$ è il prefisso etto e $1\,\mathrm{hPa}=10^2\,\mathrm{Pa}=100\,\mathrm{Pa}$ ; prefisso e unità formano un simbolo indivisibile. In $2\,\mathrm{h}$ , $\mathrm{km/h}$ e $\mathrm{kWh}$ , invece, $\mathrm{h}$ è il simbolo dell’ora, unità non SI ammessa all’uso con il SI. Il simbolo $\mathrm{h}$ resta in carattere diritto.

$\[\]$

La tabella non è esaustiva; il Sistema Internazionale comprende ulteriori prefissi. Per l’elenco completo e aggiornato dei prefissi SI si rimanda a [1].↩

Conversioni tra unità di misura.

Per esprimere il valore di una grandezza in un’altra unità si usano le equivalenze tra l’unità di partenza e quella di arrivo.

L’idea fondamentale consiste nel moltiplicare l’espressione del valore della grandezza per un rapporto uguale a uno, costruito da due espressioni equivalenti della stessa quantità in unità differenti: numeratore e denominatore rappresentano infatti la stessa quantità, così che il rapporto tra loro valga esattamente $1$ . Il fattore va inoltre scelto in modo che l’unità da eliminare compaia sia al numeratore sia al denominatore e possa quindi essere semplificata.

Ad esempio, per convertire una lunghezza da chilometri a metri si utilizza l’equivalenza

$1\,\mathrm{km}=1\,000\,\mathrm{m},$

da cui segue

$5\,\mathrm{km} \left( \frac{1\,000\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{km}} \right) = 5\,000\,\mathrm{m}.$

Lo stesso procedimento può essere applicato anche alle grandezze derivate. Ad esempio,

$72\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \left( \frac{1\,000\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{km}} \right) \left( \frac{1\,\mathrm{h}}{3\,600\,\mathrm{s}} \right) = 72\,\frac{\cancel{\mathrm{km}}}{\cancel{\mathrm{h}}} \left( \frac{1\,000\,\mathrm{m}}{1\,\cancel{\mathrm{km}}} \right) \left( \frac{1\,\cancel{\mathrm{h}}}{3\,600\,\mathrm{s}} \right) = 20\,\mathrm{m/s}.$

Si osserva che il simbolo $\mathrm{km}$ compare sia al numeratore sia al denominatore e viene semplificato, così come l’unità di tempo $\mathrm{h}$ . Sebbene nel SI l’unità di misura del tempo sia il secondo (s), il minuto e l’ora sono unità non SI ammesse all’uso con il SI e sono spesso impiegate nelle applicazioni pratiche; valgono le equivalenze

$\boxed{1\,\mathrm{min}=60\,\mathrm{s},\qquad 1\,\mathrm{h}=3\,600\,\mathrm{s}}$

Tali equivalenze sono esatte.

Quando l’unità è elevata a una potenza, anche il fattore di conversione deve essere elevato alla stessa potenza. Ad esempio,

$1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm},$

$1\,\mathrm{m^2} = (100\,\mathrm{cm})^2 = 10^4\,\mathrm{cm^2},$

e analogamente

$1\,\mathrm{m^3} = 10^6\,\mathrm{cm^3}.$

Per le conversioni di volume è inoltre utile ricordare che

$\boxed{1\,\mathrm{L}=1\,\mathrm{dm^3}=10^{-3}\,\mathrm{m^3}}$

La figura 3 illustra schematicamente come il fattore di conversione lineare per la lunghezza si trasformi nelle conversioni di area e di volume.

Figura 3: dal segmento al cubo: il fattore lineare $100$ tra metro e centimetro diventa $10^4$ per le aree e $10^6$ per i volumi. Il pannello (4), rappresentato in scala diversa da quella dei pannelli precedenti, mostra il cubo di lato $1\,\mathrm{dm}$ il cui volume è $1\,\mathrm{L}$ .

Notazione scientifica.

La notazione scientifica permette di rappresentare in modo compatto numeri molto grandi o molto piccoli ed è ampiamente utilizzata in fisica.

Definizione 1.3 (notazione scientifica). Un numero non nullo è scritto in notazione scientifica normalizzata quando assume la forma

$a\cdot 10^n,\qquad a \text{ coefficiente numerico, con } 1\leq |a|<10,\qquad n \text{ esponente intero, con } n\in\mathbb{Z}.$

Il numero zero si scrive semplicemente $0$ e non ammette una rappresentazione in notazione scientifica normalizzata della forma $a\cdot 10^n$ , poiché la condizione $1\leq |a|<10$ non può essere soddisfatta con $a=0$ .

Per i numeri non nulli espressi in notazione scientifica è utile distinguere quattro casi. In ciascuno di essi, dopo l’operazione si rinormalizza il coefficiente e si controlla che l’ordine di grandezza del risultato sia plausibile.

Prodotti. Si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle potenze di dieci:
$(2\cdot 10^3)(5\cdot 10^4) = (2\cdot 5)\cdot 10^{3+4} = 10\cdot 10^7 = 1\cdot 10^8.$
Il passaggio finale riporta il coefficiente nell’intervallo $1\leq |a|<10$ ; il risultato è quindi normalizzato e ha ordine di grandezza $10^8$ secondo la convenzione della sezione Ordine di grandezza.

Quozienti. Si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti:
$\frac{6\cdot 10^8}{2\cdot 10^3} = \frac{6}{2}\cdot 10^{8-3} = 3\cdot 10^5.$
Il coefficiente $3$ è già normalizzato; poiché $3<\sqrt{10}$ , l’ordine di grandezza del risultato è $10^5$ , coerente con un valore pari ad alcune centinaia di migliaia.

Somme e differenze con esponenti uguali. Si raccoglie la potenza di dieci comune e si opera sui coefficienti:
$6{,}2\cdot 10^4-1{,}2\cdot 10^4 = (6{,}2-1{,}2)\cdot 10^4 = 5\cdot 10^4.$
Il risultato è normalizzato; poiché $5\geq\sqrt{10}$ , il suo ordine di grandezza è $10^5$ .

Somme e differenze con esponenti diversi. Prima di sommare o sottrarre, tutti i termini devono essere riscritti con la stessa potenza di dieci:
$2{,}5\cdot 10^4+3\cdot 10^3 = 2{,}5\cdot 10^4+0{,}3\cdot 10^4 = 2{,}8\cdot 10^4.$
Il coefficiente $2{,}8$ soddisfa la condizione di normalizzazione e, poiché $2{,}8<\sqrt{10}$ , l’ordine di grandezza è $10^4$ .

Al termine di ogni operazione è quindi necessario verificare sia la normalizzazione, ossia $1\leq |a|<10$ , sia la coerenza dell’ordine di grandezza con i dati di partenza.

Ordine di grandezza.

Definizione 1.4 (ordine di grandezza). L’ordine di grandezza di un numero positivo è la potenza di dieci più vicina al numero stesso su scala logaritmica; nel caso di parità, ossia quando le due potenze di dieci più vicine sono equidistanti su scala logaritmica, si sceglie convenzionalmente la potenza maggiore. Se il numero positivo $x$

è scritto nella forma

$x=a\cdot 10^n,\qquad a \text{ coefficiente numerico, con } 1\leq a<10,\qquad n \text{ esponente intero, con } n \in \mathbb{Z},$

allora l’ordine è $10^n$ per $a<\sqrt{10}\approx 3{,}16$ e $10^{n+1}$ per $a\geq\sqrt{10}$ .

Poiché esistono convenzioni didattiche diverse, si precisa che in questa dispensa si adotta la soglia $\sqrt{10}$ , la media geometrica tra $10^n$ e $10^{n+1}$ , cioè il punto equidistante dalle due potenze su scala logaritmica, che rende univoca la scelta dell’ordine di grandezza negli esercizi successivi. Ad esempio, un giorno contiene

$86\,400\,\mathrm{s} = 8{,}64\cdot 10^4\,\mathrm{s},$

per cui il suo ordine di grandezza è

$10^5\,\mathrm{s}.$

I fattori di conversione definiti sono esatti; i dati esplicitamente indicati come approssimati, per esempio mediante «circa», conservano invece tale carattere anche dopo una conversione.

Va inoltre osservato che, quando si considera il valore numerico di una grandezza dimensionale, occorre specificare anche l’unità nella quale tale valore è espresso: cambiando unità, l’ordine di grandezza può cambiare. Ad esempio, $1\,\mathrm{m}$ e $100\,\mathrm{cm}$ rappresentano la stessa lunghezza, ma corrispondono rispettivamente agli ordini di grandezza $10^0\,\mathrm{m}$ e $10^2\,\mathrm{cm}$ .

Grandezze estensive e intensive.

Definizione 1.5 (grandezza estensiva). Una grandezza è detta estensiva quando il suo valore è additivo rispetto a sottosistemi disgiunti che non interagiscono tra loro: se un sistema viene suddiviso in più sottosistemi, il valore della grandezza totale è uguale alla somma dei valori delle singole parti.

Esempi di grandezze estensive sono la massa, il volume e la quantità di sostanza; anche l’energia è estensiva, ma solo nelle condizioni di additività qui considerate, ossia in assenza di contributi d’interazione, di superficie o di legame energetico non trascurabili. Analogamente, il volume risulta additivo quando l’unione di più sottosistemi non comporta contrazioni o espansioni.

Definizione 1.6 (grandezza intensiva). Una grandezza è detta intensiva quando il suo valore non dipende dall’estensione o dalla quantità di materia del sistema. In un sistema omogeneo, il suo valore rimane invariato se il sistema viene scalato o suddiviso in parti senza alterarne lo stato. Una grandezza intensiva non scala con l’estensione del sistema e non è additiva.

Esempi di grandezze intensive sono la temperatura, la pressione, la densità e la concentrazione.

La densità $\rho$ di un campione di massa $m$ e volume $V$ è definita dal rapporto

$\rho=\frac{m}{V},$

dove $m$ rappresenta la massa del campione e $V$ il volume da esso occupato. La densità permette di distinguere chiaramente le due categorie: se un sistema omogeneo, di massa $m$ e volume $V$ , viene suddiviso in due parti uguali, senza contrazioni, espansioni o contributi d’interfaccia, ciascuna parte ha massa $m/2$ e volume $V/2$ , cioè la metà del sistema originario: massa e volume sono dunque grandezze estensive. Indicando con $\rho'$ la densità di ciascuna parte, si ha invece

$\rho'=\frac{m/2}{V/2}=\frac{m}{V}=\rho,$

cioè $\rho'$ coincide con la densità $\rho$ del sistema originario: la densità è dunque una grandezza intensiva.

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