Calore, calorimetria e cambiamenti di stato: 80 esercizi svolti – Semestre Filtro 2026

Home » Calore, calorimetria e cambiamenti di stato: 80 esercizi svolti – Semestre Filtro 2026

Sommario

La dispensa raccoglie 80 quesiti, di cui 60 a risposta multipla, corredati da cinque alternative di risposta, e 20 a risposta aperta, tutti accompagnati dall’indicazione del livello di difficoltà e da uno svolgimento completo.

Il contenuto sviluppa il secondo e il terzo sottopunto dell’unità didattica 5 del syllabus del Semestre Filtro, articolandosi sui seguenti temi:

termologia e calorimetria, ossia scambi di energia sotto forma di calore, capacità termica e calore specifico;
gas ideali, ossia riferimento operativo al loro comportamento, capacità termiche molari a pressione costante e a volume costante ( $C_{p,\mathrm{m}}$ e $C_{V,\mathrm{m}}$ );
passaggi di stato, ossia processi di fusione, evaporazione, condensazione, solidificazione e relativi calori latenti;
trasmissione del calore, ossia meccanismi di conduzione, convezione e irraggiamento, con formule di trasmissione applicate a modelli elementari.

Per garantire una trattazione mirata, il testo non anticipa i concetti avanzati di termodinamica. Pertanto, non si sviluppano formalmente il lavoro termodinamico, la teoria generale delle trasformazioni e il secondo principio.

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Mattia Capeccia, Valerio Brunetti.

Revisori: Luigi De Masi, Sergio Fiorucci.

Notazioni

Leggi...

$m$	massa, espressa in $\mathrm{kg}$ ;
$n$	numero di moli, espresso in $\mathrm{mol}$ ;
$T$	temperatura, espressa in $\mathrm{K}$ ;
$Q$	calore scambiato; nella convenzione adottata è positivo se assorbito dal sistema;
$C$	capacità termica di un corpo, espressa in $\mathrm{J\,K^{-1}}$ ;
$c$	calore specifico massico, espresso in $\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ;
$C_{\mathrm{m}}$	capacità termica molare, espressa in $\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ ;
$\lambda_{\mathrm{fus}}$ , $\lambda_{\mathrm{vap}}$	calore latente specifico di fusione e di vaporizzazione, espressi in $\mathrm{J\,kg^{-1}}$ ;
$\mathcal{P}$	potenza termica trasferita, espressa in $\mathrm{W}$ ;
$k_{\mathrm{th}}$	conducibilità termica, espressa in $\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ ;
$h_{\mathrm{conv}}$	coefficiente medio di scambio convettivo, espresso in $\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$ ;
$\varepsilon$	emissività della superficie;
$\sigma_{\mathrm{SB}}$	costante di Stefan–Boltzmann, espressa in $\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$ .
$R_\mathrm{th}$	resistenza termica, espressa in $\mathrm{K \, W^{-1}}$ ;

Salvo diversa indicazione, si utilizzano

$c_{\mathrm{acqua}}=4\,186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}},\qquad c_{\mathrm{ghiaccio}}=2\,100\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}},$

$\lambda_{\mathrm{fus}}=3{,}34\cdot10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}},\qquad \lambda_{\mathrm{vap}}=2{,}26\cdot10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}},\qquad \sigma_{\mathrm{SB}}=5{,}67\cdot10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.$

Una differenza di temperatura ha lo stesso valore numerico in kelvin e in gradi Celsius; nelle potenze quarte della legge di Stefan–Boltzmann si devono invece usare temperature assolute in kelvin. Inoltre, se non specificato diversamente, tutti i valori di capacità termiche, calori specifici, ecc. sono da considerarsi costanti ai fini degli esercizi.

Legenda delle difficoltà

La difficoltà è indicata mediante cinque stelle, piene o vuote:

$\bigstar\ \largewhitestar\ \largewhitestar\ \largewhitestar\ \largewhitestar$	definizioni, riconoscimenti e applicazioni immediate;
$\bigstar\ \bigstar\ \largewhitestar\ \largewhitestar\ \largewhitestar$	calcoli diretti o ragionamenti a uno o due passaggi;
$\bigstar\ \bigstar\ \bigstar\ \largewhitestar\ \largewhitestar$	bilanci o modelli più articolati;
$\bigstar\ \bigstar\ \bigstar\ \bigstar\ \largewhitestar$	esercizi integrati con più fasi fisiche;
$\bigstar\ \bigstar\ \bigstar\ \bigstar\ \bigstar$	problemi complessi.

Introduzione

Leggi...

Il Semestre Filtro rappresenta per molti studenti il primo vero banco di prova con una fisica trattata in modo quantitativo e ragionato, spesso dopo un percorso di studi in cui gli argomenti di termodinamica erano stati affrontati solo in modo descrittivo. Non stupisce quindi che concetti apparentemente semplici, la differenza tra calore e temperatura, il significato fisico di una capacità termica, il motivo per cui la temperatura resta costante durante un passaggio di stato, siano spesso fonte di errori concettuali più che di calcolo.

Questa dispensa nasce con l’obiettivo di offrire uno strumento di esercitazione mirato su questi nodi concettuali, pensato per essere usato non come sostituto dello studio teorico, ma come sua naturale prosecuzione: una volta acquisite le definizioni e le leggi fondamentali, il passo successivo è verificarne la comprensione mettendole alla prova su casi concreti, cercando di anticipare il tipo di ragionamento richiesto in sede d’esame. Per questo motivo i quesiti non sono stati raccolti in ordine casuale, ma organizzati seguendo la struttura del syllabus, in modo da poter essere usati anche come traccia di ripasso parallela al programma. La compresenza di domande a risposta multipla e a risposta aperta risponde a due esigenze diverse: le prime abituano alla logica con cui vengono formulati i quesiti d’esame, spesso costruiti attorno a errori concettuali tipici nascosti tra le alternative; le seconde richiedono invece di impostare autonomamente il procedimento, abitudine indispensabile per affrontare con sicurezza problemi non standard. L’indicazione del livello di difficoltà, infine, permette di costruire un percorso di studio progressivo, calibrato sulle proprie lacune piuttosto che affrontato in blocco. Un’ultima annotazione riguarda i confini volutamente posti al contenuto: come indicato nell’abstract, la trattazione si ferma agli aspetti fenomenologici e operativi della termodinamica, senza addentrarsi nel formalismo del lavoro termodinamico o del secondo principio. Questa scelta non è un limite, ma una precisa strategia didattica: consolidare prima le basi fisiche del calore e della sua trasmissione rende molto più naturale, in un secondo momento, l’introduzione del formalismo termodinamico vero e proprio.

Richiami di teoria

Calore, capacità termica e calore specifico

Definizione 1.1 (calore). Il calore $Q$ è l’energia trasferita tra due corpi, o tra un sistema e l’ambiente, a causa di una differenza di temperatura. Non rappresenta una proprietà contenuta all’interno di un corpo, ma definisce una forma di energia in transito. Nel Sistema Internazionale si misura in joule ( $\mathrm{J}$ ).

Definizione 1.2 (capacità termica). La capacità termica $C$ di un corpo è la quantità di calore $Q$ necessaria per variare la sua temperatura di $\ 1 \, K$ . La capacità termica è una proprietà estensiva e si misura in $\mathrm{J\,K^{-1}}$ .

Se la capacità termica si considera costante nell’intervallo di temperatura considerato, il calore scambiato è dato da:

(1.1) $\begin{equation*} Q = C \Delta T , \end{equation*}$

dove $\Delta T = T_f - T_0$ è la variazione di temperatura.

Definizione 1.3 (calore specifico). Il calore specifico $c$ è la capacità termica riferita all’unità di massa di una sostanza, ovvero la quantità di calore necessaria per variare di un kelvin la temperatura di un chilogrammo di sostanza. Il calore specifico è una proprietà intensiva e si misura in $\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ .

Per una massa $m$ , nell’ipotesi di $c$ costante, vale:

(1.2) $\begin{equation*} Q = m c \Delta T . \end{equation*}$

Definizione 1.4 (capacità termica molare). La capacità termica molare $C_{\mathrm{m}}$ è la capacità termica riferita a una mole di sostanza, ovvero la quantità di calore necessaria per variare di un kelvin la temperatura di una mole di sostanza. La capacità termica molare si misura in $\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ .

Per un numero $n$ di moli, se $C_{\mathrm{m}}$ è considerata costante, vale:

(1.3) $\begin{equation*} Q = n C_{\mathrm{m}} \Delta T \, . \end{equation*}$

Le tre grandezze, per lo stesso materiale alle stesse condizioni termodinamiche, sono legate dalla relazione fondamentale:

(1.4) $\begin{equation*} C = mc = nC_\mathrm{m} \, , \end{equation*}$

che mostra come la capacità termica $C$ dipenda dalla quantità totale di materia (grandezza estensiva), mentre il calore specifico $c$ e la capacità termica molare $C_\mathrm{m}$ siano proprietà caratteristiche della specifica sostanza (grandezze intensive).

Definizione 1.5 (capacità termica dei gas). Per un gas, la capacità termica non dipende solo dalla sostanza, ma anche dalle condizioni in cui avviene il riscaldamento:

Capacità termica molare a volume costante ( $C_{V,\mathrm{m}}$ ): è la quantità di calore necessaria per aumentare di un kelvin la temperatura di una mole di gas mantenendo il volume costante.
Capacità termica molare a pressione costante ( $C_{p,\mathrm{m}}$ ): è la quantità di calore necessaria per aumentare di un kelvin la temperatura di una mole di gas mantenendo la pressione costante.

Per un gas ideale, le due capacità termiche molari sono legate dalla relazione di Mayer:

$C_{p,\mathrm{m}} - C_{V,\mathrm{m}} = R ,$

dove $R \approx 8{,}314\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ è la costante universale dei gas ideali. Di conseguenza vale la disuguaglianza:

(1.5) $\begin{equation*} C_{p,\mathrm{m}} > C_{V,\mathrm{m}} . \end{equation*}$

Si definisce inoltre il loro rapporto (indice adiabatico):

$\gamma_\mathrm{ad} = \frac{C_{p,\mathrm{m}}}{C_{V,\mathrm{m}}} > 1 .$

Calorimetria

Consideriamo un calorimetro ideale, costituito da un recipiente termicamente isolato dall’ambiente e caratterizzato da una capacità termica trascurabile. All’interno del calorimetro sono presenti $N$

corpi che possono scambiarsi calore tra loro. Il sistema termodinamico considerato è quindi l’insieme di tutti i corpi contenuti nel calorimetro, mentre l’ambiente esterno è escluso dal sistema.

Poiché il calorimetro è idealmente isolato, non vi è alcuno scambio di calore con l’esterno. Il calore ceduto da alcuni corpi viene quindi interamente assorbito dagli altri, fino al raggiungimento dell’equilibrio termico. Per il principio di conservazione dell’energia, il bilancio energetico del sistema può essere scritto come

(1.6) $\begin{equation*} \sum_{i=1}^{N} Q_i = 0 , \end{equation*}$

dove $Q_i$ rappresenta il calore scambiato dal corpo $i$ .

La situazione è schematizzata in figura 1, dove sono mostrati i corpi inizialmente a temperature diverse e il successivo raggiungimento di una temperatura di equilibrio comune.

I corpi a temperatura maggiore cedono calore ( $Q<0$ ), mentre quelli a temperatura minore lo assorbono ( $Q>0$ ), fino al raggiungimento della temperatura di equilibrio. Se la capacità termica del calorimetro non è trascurabile, deve essere incluso anche il contributo del recipiente:

$Q_{\mathrm{cal}} = C_{\mathrm{cal}}\Delta T = C_{\mathrm{cal}}(T_{\mathrm{eq}} - T_1) ,$

dove $C_{\mathrm{cal}}$ è la capacità termica complessiva del recipiente (comprensiva degli accessori come termometro e agitatore), $T_1$ è la temperatura iniziale del liquido e del calorimetro, e $T_{\mathrm{eq}}$ è la temperatura finale di equilibrio.

Prendendo adesso in esame la situazione mostrata in figura 1, si introduce un fluido di massa $m_1$ e calore specifico $c_1$ alla temperatura iniziale $T_1$ , e un corpo di massa $m_2$ e calore specifico $c_2$ alla temperatura iniziale $T_2 > T_1$ . L’equazione di bilancio termico (1.6) assume la forma esplicita:

$m_1 c_1 (T_{\mathrm{eq}} - T_1) + C_{\mathrm{cal}}(T_{\mathrm{eq}} - T_1) + m_2 c_2 (T_{\mathrm{eq}} - T_2) = 0 .$

Da questa relazione si ricava la temperatura di equilibrio del sistema:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{m_1 c_1 T_1 + C_{\mathrm{cal}} T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + C_{\mathrm{cal}} + m_2 c_2} .$

Il ragionamento seguito per il caso di due corpi si estende naturalmente a un numero arbitrario di corpi. Consideriamo quindi $N$ corpi, ciascuno di massa $m_i$ , calore specifico $c_i$ e temperatura iniziale $T_i$ , posti a contatto termico all’interno del calorimetro. Includendo anche il contributo del calorimetro (assimilabile a un corpo aggiuntivo di capacità termica $C_{\mathrm{cal}}$ e temperatura iniziale $T_1$ , coincidente con quella del liquido in esso contenuto), il bilancio energetico (1.6) si scrive in forma esplicita come

(1.7) $\begin{equation*} \sum_{i=1}^{N} m_i c_i \left(T_{\mathrm{eq}} - T_i\right) + C_{\mathrm{cal}}\left(T_{\mathrm{eq}} - T_1\right) = 0 . \end{equation*}$

Osserviamo che ogni termine della sommatoria è positivo per i corpi che assorbono calore ( $T_{\mathrm{eq}} > T_i$ ) e negativo per quelli che lo cedono ( $T_{\mathrm{eq}} < T_i$ ), in accordo con la convenzione di segno introdotta in precedenza.

Risolvendo l’equazione (1.7) rispetto a $T_{\mathrm{eq}}$ , si ottiene la temperatura di equilibrio generale del sistema:

(1.8) $\begin{equation*} T_{\mathrm{eq}} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N} m_i c_i T_i \;+\; C_{\mathrm{cal}} T_1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N} m_i c_i \;+\; C_{\mathrm{cal}}} . \end{equation*}$

La (1.8) mostra come la temperatura di equilibrio sia una media pesata delle temperature iniziali dei singoli corpi, dove il peso di ciascun contributo è dato dalla rispettiva capacità termica $m_i c_i$ (o $C_{\mathrm{cal}}$ per il calorimetro). È immediato verificare che, ponendo $N=2$ e riconoscendo $m_1 c_1$ e $m_2 c_2$ come le capacità termiche del fluido e del corpo immerso, si riottiene l’espressione particolare ricavata in precedenza.

Nel caso, infine, in cui la capacità termica del calorimetro sia trascurabile ( $C_{\mathrm{cal}} \approx 0$ ), le espressioni (1.7) e (1.8) si riducono rispettivamente a

$\sum_{i=1}^{N} m_i c_i \left(T_{\mathrm{eq}} - T_i\right) = 0 , \qquad\qquad T_{\mathrm{eq}} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N} m_i c_i T_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N} m_i c_i} .$

Figura 1: rappresentazione schematica di un calorimetro delle miscele isolato termicamente. Un corpo caldo (in rosso) a temperatura $T_2$ trasferisce calore al liquido (celeste) e al recipiente interno, inizialmente alla temperatura $T_1$ , fino al raggiungimento della temperatura di equilibrio $T_{\mathrm{eq}}$ .

Cambiamenti di stato

Per una sostanza pura, durante un cambiamento di fase alla pressione considerata, la temperatura rimane costante finché coesistono le due fasi. Il calore scambiato in questa trasformazione non determina una variazione di temperatura, ma viene impiegato nel cambiamento di stato.

Definizione 1.6 (calore latente). Il calore latente specifico $\lambda_\mathrm{lat}$ indica la quantità di calore scambiata per unità di massa affinché una sostanza compia un cambiamento di fase a temperatura costante (temperatura di transizione).

In particolare, si definiscono il calore latente specifico di fusione $\lambda_{\mathrm{fus}}$ e il calore latente specifico di vaporizzazione $\lambda_{\mathrm{vap}}$ .

Il calore totale $Q$ scambiato durante il passaggio di stato è dato da:

(1.9) $\begin{equation*} Q = \pm m\lambda_\mathrm{lat} , \end{equation*}$

dove il segno positivo ( $+$ ) si applica quando il sistema assorbe calore dall’ambiente (come nella fusione o nell’ebollizione/vaporizzazione, con $Q = +m \lambda_{\mathrm{fus}}$ o $Q = +m \lambda_{\mathrm{vap}}$ ), mentre il segno negativo ( $-$ ) si applica quando il calore viene ceduto (come nella solidificazione o nella condensazione, con $Q = -m \lambda_{\mathrm{fus}}$ o $Q = -m \lambda_{\mathrm{vap}}$ ).

Figura 2: curva di riscaldamento dell’acqua (qualitativa e non in scala) a pressione atmosferica ( $1\,\text{atm}$ ). Durante i passaggi di stato (fusione del ghiaccio a $0\,^\circ\text{C}$ ed ebollizione a $100\,^\circ\text{C}$ ) la temperatura rimane costante finché l’intera massa non ha completato la transizione di fase.

Trasmissione del calore

La trasmissione del calore è il fenomeno di trasporto dell’energia termica determinato da una differenza di temperatura. Avviene attraverso tre meccanismi fondamentali: conduzione, convezione e irraggiamento.

I tre meccanismi di scambio termico

Conduzione

La conduzione è il trasferimento di energia all’interno di un corpo o tra corpi in contatto diretto, senza spostamento macroscopico di materia. Per una parete piana omogenea di spessore $\ell$ e area di superficie trasversale $A$ , in regime stazionario, la potenza termica trasferita per conduzione è regolata dalla legge di Fourier:

(1.10) $\begin{equation*} \mathcal{P}_{\mathrm{cond}} = \frac{k_{\mathrm{th}} A \Delta T}{\ell} = \frac{k_{\mathrm{th}} A (T_1 - T_2)}{\ell} , \end{equation*}$

dove:

$\mathcal{P}_{\mathrm{cond}}$ è la potenza termica condotta, espressa in $\mathrm{W}$ ;
$k_{\mathrm{th}}$ è la conducibilità termica del materiale, espressa in $\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ ;
$A$ è l’area della superficie ortogonale al flusso di calore, in $\mathrm{m^2}$ ;
$\ell$ è lo spessore della parete compreso tra le due superfici, in $\mathrm{m}$ ;
$\Delta T = T_1 - T_2$ è la differenza di temperatura tra le due facce della parete, con $T_1 > T_2$ , espressa in $\mathrm{K}$ (o $\mathrm{^\circ C}$ ).

Convezione

La convezione è il meccanismo di scambio termico tra una superficie solida e un fluido in movimento a contatto con essa. È descritta dalla legge di raffreddamento di Newton:

(1.11) $\begin{equation*} \mathcal{P}_{\mathrm{conv}} = h_{\mathrm{conv}} A (T_{\mathrm{s}} - T_{\mathrm{fluido}}) , \end{equation*}$

dove:

$\mathcal{P}_{\mathrm{conv}}$ è la potenza termica scambiata per convezione, in $\mathrm{W}$ ;
$h_{\mathrm{conv}}$ è il coefficiente di scambio termico convettivo (o coefficiente pellicolare). Dipende dalla geometria, dal tipo di moto e dalle proprietà del fluido. Si esprime in $\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$ ;
$A$ è l’area della superficie di contatto solido-fluido, in $\mathrm{m^2}$ ;
$T_{\mathrm{s}}$ è la temperatura della superficie solida e $T_{\mathrm{fluido}}$ è la temperatura del fluido indisturbato (lontano dalla parete).

Irraggiamento

L’irraggiamento è l’emissione di energia sotto forma di onde elettromagnetiche. A differenza di conduzione e convezione, la propagazione dell’irraggiamento non richiede la presenza di un mezzo materiale e avviene anche nel vuoto. Assumendo un modello di superficie grigia che scambia con un ambiente esteso e isotermo con fattore di vista unitario, la potenza radiativa netta scambiata tra la superficie grigia a temperatura $T_{\mathrm{s}}$ e l’ambiente circostante a temperatura $T_{\mathrm{amb}}$ è data dalla legge di Stefan–Boltzmann:

(1.12) $\begin{equation*} \mathcal{P}_{\mathrm{irr}} = \varepsilon \sigma_{\mathrm{SB}} A \left(T_{\mathrm{s}}^4 - T_{\mathrm{amb}}^4\right) , \end{equation*}$

dove:

$\varepsilon$ è l’emissività della superficie ( $0 \le \varepsilon \le 1$ , adimensionale);
$\sigma_{\mathrm{SB}} \approx 5{,}67 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$ è la costante universale di Stefan–Boltzmann;
$A$ è l’area della superficie, in $\mathrm{m^2}$ ;
$T_{\mathrm{s}}$ e $T_{\mathrm{amb}}$ sono le temperature assolute (espresse rigorosamente in kelvin, $\mathrm{K}$ ) della superficie e dell’ambiente circostante.

Classificazione della convezione e dipendenza dalla velocità del fluido

Lo scambio convettivo viene classificato in base alla natura della forza che genera il moto del fluido:

Convezione naturale (o libera): il movimento del fluido è causato unicamente da differenze di densità interne indotte dai gradienti di temperatura (forze di galleggiamento o di Archimede). Un esempio è il moto dell’aria attorno a un radiatore domestico spento che si sta raffreddando.
Convezione forzata: il fluido viene messo in movimento da una forza esterna meccanica, come una pompa, un ventilatore o un agitatore.

Figura 3: differenza tra convezione naturale (a), dove il moto del fluido deriva da spinte galleggianti termiche ( $\Delta \rho$ ), e convezione forzata (b), dove il flusso è imposto a velocità $v$ .

Dipendenza del coefficiente convettivo $h_{\mathrm{conv}}$ dalla velocità del fluido

A differenza della conducibilità $k_{\mathrm{th}}$ , il coefficiente convettivo $h_{\mathrm{conv}}$ non è una proprietà termodinamica del solo fluido, ma dipende dalla geometria del sistema, dal regime di moto (laminare o turbolento) e dalle proprietà fluidodinamiche.

In convezione forzata, il coefficiente $h_{\mathrm{conv}}$ aumenta significativamente all’aumentare della velocità $v$ del fluido a contatto con la parete.

Resistenze termiche ed equazione per pareti multistrato

Per semplificare lo studio dei sistemi stazionari si applica l’analogia elettrica, definendo la resistenza termica $R_{\mathrm{th}}$ come il rapporto tra il potenziale termico (differenza di temperatura $\Delta T$ ) e la corrente termica (potenza trasmessa $\mathcal{P}$ ):

$\mathcal{P} = \frac{\Delta T}{R_{\mathrm{th}}} .$

Si definiscono quindi:

Resistenza termica conduttiva (per una parete piana di spessore $\ell$ e superficie $A$ ):
$R_{\mathrm{cond}} = \frac{\ell}{k_{\mathrm{th}} A} \quad \left[\mathrm{K\,W^{-1}}\right] .$
Resistenza termica convettiva:
$R_{\mathrm{conv}} = \frac{1}{h_{\mathrm{conv}} A} \quad \left[\mathrm{K\,W^{-1}}\right] .$

Pareti multistrato in serie

Nel caso di una parete composta da $N$ strati di materiale diverso disposti in serie (con spessori $\ell_{i}$ e conducibilità $k_{\mathrm{th},i}$ ) e con fluidi a temperatura $T_{\mathrm{fluido},1}$ e $T_{\mathrm{fluido},2}$ sulle facce esterne con coefficienti $h_{\mathrm{conv},1}$ e $h_{\mathrm{conv},2}$ , le resistenze termiche si sommano. Assumendo una conduzione monodimensionale e stazionaria, contatti perfetti e assenza di produzione di calore all’interno degli strati, la potenza termica totale scambiata è:

(1.13) $\begin{equation*} \mathcal{P} = \frac{T_{\mathrm{fluido},1} - T_{\mathrm{fluido},2}}{R_{\mathrm{tot}}} = \frac{T_{\mathrm{fluido},1} - T_{\mathrm{fluido},2}}{\displaystyle \frac{1}{h_{\mathrm{conv},1} A} + \sum_{i=1}^{N} \frac{\ell_{i}}{k_{\mathrm{th},i} A} + \frac{1}{h_{\mathrm{conv},2} A}} \, . \end{equation*}$

Figura 4: schema concettuale di una parete multistrato soggetta a convezione esterna e relativo circuito elettrico equivalente.

Testi degli esercizi

Calore, capacità termica e calore specifico

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In termodinamica, il calore è definito come:

A) l’energia interna complessivamente posseduta da un corpo;
B) una misura diretta della temperatura assoluta;
C) l’energia trasferita tra sistema e ambiente a causa di una differenza di temperatura;
D) la somma delle energie cinetiche di tutte le molecole;
E) una proprietà che dipende soltanto dalla massa del sistema.

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{C}.}}$

Il calore non è una proprietà che un corpo possiede né coincide con la sua energia interna $U$ ; rappresenta invece l’energia in transito trasferita tra due corpi (o tra un sistema e l’ambiente) a causa di una differenza di temperatura ( $\Delta T \neq 0$ ). Tale trasferimento avviene dal corpo a temperatura maggiore verso quello a temperatura minore, fino al raggiungimento dell’equilibrio termico.

$\square$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due corpi, inizialmente a temperature diverse, vengono posti a contatto termico in un sistema isolato dall’esterno. Il trasferimento spontaneo di calore avviene:

A) dal corpo più freddo a quello più caldo, fino a raddoppiare la differenza di temperatura;
B) dal corpo più caldo a quello più freddo, fino al raggiungimento dell’equilibrio termico;
C) contemporaneamente in entrambe le direzioni, mantenendo flussi netti sempre uguali;
D) soltanto a condizione che i due corpi abbiano la stessa massa;
E) soltanto a condizione che i due corpi siano costituiti dallo stesso materiale.

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{B}.}}$

Il calore fluisce spontaneamente dal corpo a temperatura maggiore verso quello a temperatura minore. Tale trasferimento di energia prosegue in modo continuo fino a quando i due corpi non raggiungono la medesima temperatura di equilibrio.

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Nel Sistema Internazionale il calore si misura in $\makebox[2cm]{\dotfill}$ .

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è \textcolor{red}{joule}.}}$

Trattandosi di energia in transito, nel Sistema Internazionale il calore si misura in joule ( $\mathrm{J}$ ).

La caloria, pur non appartenendo al SI, è ancora usata in alcuni contesti; essa è definita come la quantità di calore necessaria per alzare la temperatura di $1\text{ g}$ di acqua distillata da $14{,}5\,^{\circ}\mathrm{C}$ a $15{,}5\,^{\circ}\mathrm{C}$ alla pressione atmosferica standard. La relazione di conversione con il SI è data dall’equivalente meccanico del calore: $1\text{ cal} \approx 4{,}186\text{ J}$ .

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Adottando la convenzione di questa dispensa, per cui il calore assorbito da un sistema è considerato positivo, la condizione $Q > 0$ indica che:

A) il sistema riceve energia sotto forma di calore;
B) il sistema cede energia all’ambiente esterno;
C) la temperatura del sistema deve rimanere costante;
D) il sistema compie necessariamente lavoro sull’ambiente;
E) il sistema e l’ambiente si trovano in equilibrio termico.

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{A}.}}$

Con la convenzione adottata, un valore positivo di $Q$ ( $Q > 0$ ) indica che l’energia viene trasferita dall’ambiente verso il sistema, ossia che il sistema sta assorbendo calore. Al contrario, un valore negativo segnalerebbe un passaggio di calore dal sistema verso l’esterno.

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . La capacità termica $C$ di un corpo, quando resta costante nell’intervallo di temperatura considerato, è espressa dalla relazione:

A) $C = Q\Delta T$ ;
B) $C = \frac{m}{Q}$ ;
C) $C = \frac{\Delta T}{Q^2}$ ;
D) $C = \frac{Q}{m}$ ;
E) $C = \frac{Q}{\Delta T}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la E.

La capacità termica $C$ esprime il rapporto tra la quantità di calore $Q$ assorbita (o ceduta) da un corpo e la corrispondente variazione di temperatura $\Delta T$ subita dal corpo stesso. Dalla formula fondamentale del calore scambiato (1.1) $Q = C\Delta T$ , isolando la capacità termica si ottiene direttamente la relazione inversa $\boxcolorato{semestrefiltro}{C = \frac{Q}{\Delta T}}$ . Questa grandezza misura quindi quanta energia sotto forma di calore è necessaria per far variare di un kelvin (o di un grado Celsius) la temperatura dell’intero corpo.

Esercizio 6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Il calore specifico massico $c$ è legato alla capacità termica $C$ di un corpo di massa $m$ da:

A) $c=mC$ , con unità $\mathrm{J\,kg\,K^{-1}}$ ;
B) $c=\frac{C}{m}$ , con unità $\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ;
C) $c=Cm^2$ , con unità $\mathrm{W\,K^{-1}}$ ;
D) $c=\frac{m}{C}$ , con unità $\mathrm{kg\,J^{-1}}$ ;
E) $c=\frac{Qm}{\Delta T}$ , con unità $\mathrm{J\,K^{-1}}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la B.

Il calore specifico massico $c$ rappresenta la capacità termica riferita all’unità di massa. Poiché la capacità termica di un corpo di massa $m$ è data dalla relazione (1.4) $C = mc$ , dividendo entrambi i membri per la massa si ricava la formula inversa $\boxcolorato{semestrefiltro}{c = \frac{C}{m}}$ . Dalle definizioni operative delle grandezze coinvolte, dove la capacità termica $C$ si misura in joule al kelvin ( $\mathrm{J\,K^{-1}}$ ) e la massa in chilogrammi ( $\mathrm{kg}$ ), l’unità di misura nel Sistema Internazionale risulta essere il joule al chilogrammo per kelvin ( $\boxcolorato{semestrefiltro}{\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}}$ ).

Esercizio 7 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due campioni di uguale massa assorbono lo stesso calore: quello che subisce la variazione di temperatura maggiore ha calore specifico $\makebox[2cm]{\dotfill}$ .

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è \textcolor{red}{minore}.}}$

Dalla legge fondamentale della calorimetria (1.2) $Q = mc\Delta T$ , isolando la variazione di temperatura si ottiene l’espressione $\Delta T = \frac{Q}{mc}$ . Poiché i due campioni hanno la stessa massa $m$ e assorbono la medesima quantità di calore $Q$ , la variazione di temperatura $\Delta T$ risulta inversamente proporzionale al calore specifico $c$ . Di conseguenza, il campione che registra il salto termico maggiore è quello che possiede il calore specifico minore.

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Quanta energia occorre per riscaldare $0{,}500\,\mathrm{kg}$ di acqua da $20{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}$ a $40{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}$ ? Si assuma $c_{\mathrm{acqua}}=4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ .

A) $4{,}19\,\mathrm{kJ}$ ;
B) $20{,}9\,\mathrm{kJ}$ ;
C) $83{,}7\,\mathrm{kJ}$ ;
D) $41{,}9\,\mathrm{kJ}$ ;
E) $167\,\mathrm{kJ}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la D.

Per calcolare la quantità di calore $Q$ necessaria occorre applicare la legge fondamentale della calorimetria (1.2) $Q = mc\Delta T$ . La variazione di temperatura subita dall’acqua è $\Delta T = 40{,}0\,^{\circ}\mathrm{C} - 20{,}0\,^{\circ}\mathrm{C} = 20{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}$ , pari a $20{,}0\,\mathrm{K}$ . Sostituendo i dati del problema nell’equazione si ottiene:

$Q = (0{,}500\,\mathrm{kg}) \cdot (4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) \cdot (20{,}0\,\mathrm{K}) = 41\,860\,\mathrm{J} = 41{,}86\,\mathrm{kJ} \, .$

Arrotondando a tre cifre significative, la quantità di energia richiesta corrisponde a $\boxcolorato{semestrefiltro}{41{,}9\,\mathrm{kJ}}$ .

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una massa d’acqua assorbe $16{,}744\,\mathrm{kJ}$ e la sua temperatura aumenta di $10\,\mathrm{K}$ . Assumendo $c_{\mathrm{acqua}}=4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ , la massa vale:

A) $0{,}10\,\mathrm{kg}$ ;
B) $0{,}40\,\mathrm{kg}$ ;
C) $1{,}60\,\mathrm{kg}$ ;
D) $4{,}00\,\mathrm{kg}$ ;
E) $40{,}0\,\mathrm{kg}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la B.

Dalla legge fondamentale della calorimetria (1.2) $Q = mc\Delta T$ , isolando la massa $m$ si ottiene la formula inversa:

$m = \frac{Q}{c\Delta T} \, .$

Convertendo prima l’energia assorbita in joule, ossia $Q = 16{,}744\,\mathrm{kJ} = 16\,744\,\mathrm{J}$ , e sostituendo i dati forniti dal problema, si calcola:

$m = \frac{16\,744\,\mathrm{J}}{(4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) \cdot (10\,\mathrm{K})} = \boxcolorato{semestrefiltro}{0{,}40\,\mathrm{kg}} \, .$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . A $0{,}30\,\mathrm{kg}$ di acqua vengono forniti $12{,}558\,\mathrm{kJ}$ . Trascurando le dispersioni, l’aumento di temperatura è $\makebox[2cm]{\dotfill}$ $\mathrm{K}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è 10.

Dalla legge fondamentale della calorimetria (1.2) $Q = mc\Delta T$ , isolando la variazione di temperatura $\Delta T$ si ricava la formula inversa:

$\Delta T = \frac{Q}{mc} \, .$

Convertendo il calore fornito in joule, ossia $Q = 12{,}558\,\mathrm{kJ} = 12\,558\,\mathrm{J}$ , e considerando il calore specifico dell’acqua $c_{\mathrm{acqua}} = 4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ , si ottiene:

$\Delta T = \frac{12\,558\,\mathrm{J}}{(0{,}30\,\mathrm{kg}) \cdot (4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})} = \boxcolorato{semestrefiltro}{10\,\mathrm{K}} \, .$

Esercizio 11 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un blocco di alluminio di massa $2{,}0\,\mathrm{kg}$ ha calore specifico $900\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ . La sua capacità termica è:

A) $1{,}8\cdot10^3\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ ;
B) $450\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ ;
C) $900\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ ;
D) $1{,}8\cdot10^3\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ;
E) $2{,}22\cdot10^{-3}\,\mathrm{K\,J^{-1}}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la A.

La capacità termica $C$ di un oggetto dipende sia dal materiale di cui è composto sia dalla sua massa, ed è legata al calore specifico $c$ dalla relazione (1.4) $C = mc$ . Sostituendo i dati del problema, si ottiene:

$C = (2{,}0\,\mathrm{kg}) \cdot (900\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) = 1 \, 800\,\mathrm{J\,K^{-1} }= \boxcolorato{semestrefiltro}{1{,}8 \cdot 10^3\,\mathrm{J\,K^{-1}}} \, .$

Esercizio 12 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un chilogrammo di acqua e un chilogrammo di alluminio assorbono la stessa quantità di calore. Sapendo che $c_{\mathrm{acqua}}>c_{\mathrm{Al}}$ , quale campione presenta la maggiore variazione di temperatura?

A) l’acqua, perché possiede calore specifico maggiore;
B) entrambi, perché le masse sono uguali;
C) non è possibile stabilirlo senza conoscere il volume;
D) l’alluminio;
E) nessuno dei due, perché il calore non modifica la temperatura.

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{D}.}}$

Dalla legge fondamentale della calorimetria (1.2) $Q = mc\Delta T$ , isolando l’aumento di temperatura si ottiene l’espressione $\Delta T = \frac{Q}{mc}$ . Essendo la massa $m$ e la quantità di calore assorbita $Q$ identiche per entrambi i campioni, la variazione di temperatura $\Delta T$ risulta inversamente proporzionale al calore specifico $c$ del materiale. Poiché il calore specifico dell’alluminio è minore di quello dell’acqua ( $c_{\mathrm{Al}} < c_{\mathrm{acqua}}$ ), l’alluminio subirà l’aumento di temperatura maggiore.

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una massa di $0{,}25\,\mathrm{kg}$ di acqua si raffredda da $60{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}$ a $20{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Con la convenzione $Q>0$ per il calore assorbito dal sistema, il calore scambiato dall’acqua è:

A) $+11\,\mathrm{kJ}$ ;
B) $+42\,\mathrm{kJ}$ ;
C) $-42\,\mathrm{kJ}$ ;
D) $-167\,\mathrm{kJ}$ ;
E) $0$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la C.

Dalla legge fondamentale della calorimetria (1.2) $Q = mc\Delta T$ , la variazione di temperatura subita dall’acqua è data da

$\Delta T = T_{\mathrm{eq}} - T_0 = 20{,}0\,^{\circ}\mathrm{C} - 60{,}0\,^{\circ}\mathrm{C} = -40{,}0\,^{\circ}\mathrm{C} \, ,$

che corrisponde ad una differenza di temperatura di $-40{,}0\,\mathrm{K}$ . Sostituendo i dati nell’equazione con $c_{\mathrm{acqua}} = 4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ , si calcola:

$Q = (0{,}25\,\mathrm{kg}) \cdot (4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) \cdot (-40{,}0\,\mathrm{K}) = -41\,860\,\mathrm{J} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{-42\,\mathrm{kJ}} \, .$

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un recipiente di alluminio ( $c_\mathrm{{Al}} = 900 \,\mathrm{J} \,\mathrm{kg}^{-1} \,\mathrm{K}^{-1}$ ) di massa $0{,}10\,\mathrm{kg}$ contiene $0{,}20\,\mathrm{kg}$ di acqua. Se entrambi aumentano la temperatura di $10\,\mathrm{K}$ , il calore totale assorbito è circa $\makebox[2cm]{\dotfill}$ $\mathrm{kJ}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è 9,3.

Indichiamo con il pedice $1$ l’acqua e con il pedice $2$ il recipiente in alluminio.

Il calore totale assorbito dal sistema è dato dalla somma dell’energia assorbita dall’acqua e di quella assorbita dal recipiente in alluminio: $Q_{1} + Q_{2}$ . Applicando la legge della calorimetria (1.2) a entrambe le componenti e raccogliendo il salto termico comune $\Delta T = 10\,\mathrm{K}$ , si ricava la relazione:

$Q_{\mathrm{tot}} = (m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2})\Delta T \, .$

Sostituendo i valori numerici forniti si ottiene:

$\begin{aligned} Q_{\mathrm{tot}} &= \big[(0{,}20\,\mathrm{kg}) \cdot (4\,186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) + (0{,}10\,\mathrm{kg}) \cdot (900\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})\big] \cdot (10\,\mathrm{K}) \\ &= (837{,}2 + 90) \cdot 10 \, \mathrm{J}= 927{,}2 \cdot 10 \, \mathrm{J} = 9 \, 272\,\mathrm{J}\approx \boxcolorato{semestrefiltro}{9{,}3\,\mathrm{kJ}} \, . \end{aligned}$

Esercizio 15 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Usando la conversione $1\,\mathrm{cal}=4{,}186\,\mathrm{J}$ , a quanti joule corrispondono $500\,\mathrm{cal}$ ?

A) $119\,\mathrm{J}$ ;
B) $500\,\mathrm{J}$ ;
C) $837\,\mathrm{J}$ ;
D) $4{,}19\cdot10^3\,\mathrm{J}$ ;
E) $2{,}09\cdot10^3\,\mathrm{J}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la E.

Per convertire un valore espresso in calorie ( $\mathrm{cal}$ ) nell’equivalente valore in joule ( $\mathrm{J}$ ), occorre moltiplicare la quantità data per il fattore di conversione dell’equivalente meccanico della caloria, ossia $1\,\mathrm{cal} = 4{,}186\,\mathrm{J}$ . Eseguendo il calcolo si ottiene:

$Q = (500\,\mathrm{cal}) \cdot \left(4{,}186\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{cal}}\right) = 2 \, 093\,\mathrm{J} \, .$

Esprimendo il risultato in notazione scientifica e arrotondando a tre cifre significative, si ottiene $\boxcolorato{semestrefiltro}{2{,}09 \cdot 10^3\,\mathrm{J}}$ (pari a $2{,}09\,\mathrm{kJ}$ ).

Esercizio 16 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Per un certo gas ideale, le capacità termiche molari a pressione costante e a volume costante soddisfano la relazione:

A) $C_{p,\mathrm{m}}>C_{V,\mathrm{m}}$ ;
B) $C_{p,\mathrm{m}}=0$ ;
C) $C_{p,\mathrm{m}}<C_{V,\mathrm{m}}$ ;
D) $C_{p,\mathrm{m}}=C_{V,\mathrm{m}}$ per qualunque gas;
E) $C_{V,\mathrm{m}}<0$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la A.

Per un gas ideale, la capacità termica molare a pressione costante è sempre maggiore di quella a volume costante (1.5) ( $\boxcolorato{semestrefiltro}{C_{p,\mathrm{m}} > C_{V,\mathrm{m}}}$ ).

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . $2{,}00$ moli di gas ideale vengono riscaldate di $30{,}0\,\mathrm{K}$ a volume costante. Sapendo che $C_{V,\mathrm{m}}=12{,}5\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ , il calore assorbito è:

A) $188\,\mathrm{J}$ ;
B) $375\,\mathrm{J}$ ;
C) $1{,}50\,\mathrm{kJ}$ ;
D) $750\,\mathrm{J}$ ;
E) $7{,}50\,\mathrm{kJ}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la D.

Trattandosi di un riscaldamento a volume costante di un gas ideale espresso in moli, il calore assorbito si calcola mediante l’equazione (1.3), considerando la capacità termica molare a volume costante $C_{V,\mathrm{m}}$ . Sostituendo i dati forniti dal problema nella relazione $Q = nC_{V,\mathrm{m}}\Delta T$ , si ottiene:

$Q = (2{,}00\,\mathrm{mol}) \cdot (12{,}5\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}) \cdot (30{,}0\,\mathrm{K}) = \boxcolorato{semestrefiltro}{750\,\mathrm{J}} \, .$

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una quantità di $1{,}5\,\mathrm{mol}$ di gas ideale viene riscaldata di $40\,\mathrm{K}$ a pressione costante. Con $C_{p,\mathrm{m}}=20{,}8\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ , assorbe circa $\makebox[2cm]{\dotfill}$ $\mathrm{kJ}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è 1,2.

Per una trasformazione a pressione costante, la quantità di calore scambiata da una sostanza espressa in moli è descritta dalla relazione (1.3), utilizzando la capacità termica molare a pressione costante $C_{p,\mathrm{m}}$ . Sostituendo i valori forniti nell’equazione $Q = nC_{p,\mathrm{m}}\Delta T$ , si calcola:

$Q = (1{,}5\,\mathrm{mol}) \cdot (20{,}8\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}) \cdot (40\,\mathrm{K}) = 1 \, 248\,\mathrm{J} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{1{,}2\,\mathrm{kJ}} \, .$

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Per un gas ideale monoatomico si assumano $C_{V,\mathrm{m}}=12{,}5\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ e $C_{p,\mathrm{m}}=20{,}8\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ . A parità di numero di moli e di variazione di temperatura, il rapporto $\frac{Q_p}{Q_V}$ , ovvero il rapporto tra il calore scambiato a pressione costante e quello a volume costante, è circa:

A) $0{,}60$ ;
B) $1{,}00$ ;
C) $1{,}66$ ;
D) $2{,}50$ ;
E) $33{,}3$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la C.

Applicando la relazione (1.3) sia per la trasformazione a pressione costante sia per quella a volume costante, i calori scambiati si esprimono rispettivamente come $Q_p = nC_{p,\mathrm{m}}\Delta T$ e $Q_V = nC_{V,\mathrm{m}}\Delta T$ . Semplificando il numero di moli $n$ e la variazione di temperatura $\Delta T$ (uguali in entrambi i casi), il rapporto tra le quantità di calore equivale direttamente al rapporto tra le rispettive capacità termiche molari, in accordo con la disuguaglianza (1.5):

$\frac{Q_p}{Q_V} = \frac{C_{p,\mathrm{m}}}{C_{V,\mathrm{m}}} = \frac{20{,}8\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}}{12{,}5\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{1{,}66} \, .$

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . $2{,}00$ moli di gas assorbono $2 \, 496\,\mathrm{J}$ durante un riscaldamento di $50{,}0\,\mathrm{K}$ . La capacità termica molare (assunta costante) relativa al processo vale:

A) $6{,}24\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ ;
B) $12{,}5\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ ;
C) $20{,}8\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ ;
D) $50{,}0\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ ;
E) $25{,}0\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la E.

Dalla relazione generale per la capacità termica molare (1.3), espressa come $Q = nC_{\mathrm{m}}\Delta T$ , si ricava la formula inversa per calcolare la capacità termica molare del processo:

$C_{\mathrm{m}} = \frac{Q}{n\Delta T} \, .$

Sostituendo i valori numerici forniti nel testo si ottiene:

$C_{\mathrm{m}} = \frac{2 \, 496\,\mathrm{J}}{(2{,}00\,\mathrm{mol}) \cdot (50{,}0\,\mathrm{K})} = 24{,}96\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{25{,}0\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}} \, .$

Calorimetria ed equilibrio termico

Esercizio 21 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due corpi in contatto termico hanno raggiunto l’equilibrio. Ciò implica che:

A) possiedono la stessa energia interna;
B) hanno la stessa temperatura;
C) hanno la stessa massa;
D) sono costituiti dallo stesso materiale;
E) non possiedono più energia microscopica.

Svolgimento

La risposta corretta è la B.

Se due corpi a contatto raggiungono l’equilibrio termico, il flusso netto di calore scambiato tra di loro è nullo. Come descritto nei richiami teorici sullo scambio termico, il calore fluisce fra corpi a temperature diverse fino al raggiungimento della stessa temperatura. All’equilibrio $\boxcolorato{semestrefiltro}{T_1=T_2}$ e il flusso netto di calore è nullo.

Esercizio 22 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In un calorimetro ideale, isolato dall’ambiente, la relazione che definisce il bilancio energetico è:

A) $Q_i>0$ per ogni corpo;
B) $Q_i<0$ per ogni corpo;
C) $\sum_i |Q_i|=0$ ;
D) $Q_{\mathrm{ced}}=0$ ;
E) $\sum_i Q_i=0$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la E.

In un calorimetro ideale, il sistema è termicamente isolato dall’ambiente esterno, il che significa che non si verificano dispersioni né ingressi di calore dall’esterno. Di conseguenza, la somma algebrica di tutte le quantità di calore scambiate dai singoli corpi che costituiscono il sistema deve essere nulla, come espresso dall’equazione del bilancio energetico (1.6):

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\sum^N_{i=1} Q_i = 0} \, .$

Esercizio 23 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si mescolano masse uguali della stessa sostanza, una a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ e una a $60\,^{\circ}\mathrm{C}$ , in un recipiente ideale. La temperatura finale in caso di calore specifico costante ed in assenza di cambiamenti di stato è:

A) $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
B) $30\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
C) $40\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
D) $50\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
E) $60\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la C.

Siano $m_1 = m_2 = m$ le masse dei due corpi, costituiti dalla stessa sostanza (calore specifico $c_1 = c_2 = c$ ), inizialmente alle temperature $T_1 = 20\,^{\circ}\mathrm{C}$ e $T_2 = 60\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Applicando la formula generale della temperatura di equilibrio (1.8) al caso di $N=2$ corpi con capacità termica del calorimetro trascurabile, si ha:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2} \, .$

Poiché le masse sono uguali e si tratta della stessa sostanza, la massa $m$ e il calore specifico $c$ si semplificano, e la temperatura finale $T_{\mathrm{eq}}$ corrisponde quindi alla semplice media aritmetica delle due temperature iniziali:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{T_1 + T_2}{2} = \frac{20\,^{\circ}\mathrm{C} + 60\,^{\circ}\mathrm{C}}{2} = \boxcolorato{semestrefiltro}{40\,^{\circ}\mathrm{C}} \, .$

Esercizio 24 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si mescolano $0{,}20\,\mathrm{kg}$ di acqua a $80\,^{\circ}\mathrm{C}$ con altri $0{,}30\,\mathrm{kg}$ di acqua a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Trascurando la capacità termica del recipiente e le dispersioni, la temperatura di equilibrio $T_{\mathrm{eq}}$ è $\makebox[2cm]{\dotfill}$ $\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è 44.

Siano $m_1 = 0{,}20\,\mathrm{kg}$ e $m_2 = 0{,}30\,\mathrm{kg}$ le masse di due quantità d’acqua (calore specifico $c_{\mathrm{acqua}}=c_1=c_2$ , uguale per entrambe), inizialmente alle temperature $T_1 = 80\,^{\circ}\mathrm{C}$ e $T_2 = 20\,^{\circ}\mathrm{C}$ , poste a contatto termico in un sistema isolato in cui le dispersioni e la capacità termica del recipiente sono trascurabili.

Applicando la formula generale della temperatura di equilibrio (1.8) al caso di $N=2$ corpi, e semplificando il calore specifico dell’acqua $c_{\mathrm{acqua}}$ , identico per entrambe le masse, si ottiene la temperatura di equilibrio $T_{\mathrm{eq}}$ come media pesata delle temperature rispetto alle masse:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2} \, .$

Sostituendo i valori numerici del problema si ottiene:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{(0{,}20\,\mathrm{kg} \cdot 80\,^{\circ}\mathrm{C}) + (0{,}30\,\mathrm{kg} \cdot 20\,^{\circ}\mathrm{C})}{0{,}20\,\mathrm{kg} + 0{,}30\,\mathrm{kg}} = \frac{22}{0{,}50}\, ^{\circ}\mathrm{C} = \boxcolorato{semestrefiltro}{44\,^{\circ}\mathrm{C}} \, .$

Esercizio 25 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un blocco di alluminio di massa $0{,}10\,\mathrm{kg}$ , inizialmente a $100\,^{\circ}\mathrm{C}$ , viene immerso in $0{,}20\,\mathrm{kg}$ di acqua a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Si assumano $c_{\mathrm{Al}}=900\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ , $c_{\mathrm{acqua}}=4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ e isolamento ideale. La temperatura finale, assumendo la capacità termica del recipiente come trascurabile, è circa $\makebox[2cm]{\dotfill}$ $^\circ \mathrm{C}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è 28.

Indichiamo con il pedice $1$ il blocco di alluminio e con il pedice $2$ l’acqua. Sia $m_{1} = 0{,}10\,\mathrm{kg}$ un blocco di alluminio (calore specifico $c_{1} = 900\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ) inizialmente alla temperatura $T_{1} = 100\,^{\circ}\mathrm{C}$ , immerso in una massa d’acqua $m_{2} = 0{,}20\,\mathrm{kg}$ (calore specifico $c_{2} = 4 \, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ) inizialmente a temperatura ambiente $T_{2} = 20\,^{\circ}\mathrm{C}$ , all’interno di un sistema termicamente isolato. Applicando la formula generale della temperatura di equilibrio (1.8) al caso di $N=2$ corpi, si ha:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{m_{1} c_{1} T_{1} + m_{2} c_{2} T_{2}}{m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2}} \, .$

Sostituendo i valori numerici forniti dal problema si ottiene:

$\begin{aligned} T_{\mathrm{eq}} & = \frac{(0{,}10\,\mathrm{kg})(900\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})(100\,^{\circ}\mathrm{C}) + (0{,}20\,\mathrm{kg})(4 \, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})(20\,^{\circ}\mathrm{C})}{(0{,}10\,\mathrm{kg})(900\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) + (0{,}20\,\mathrm{kg})(4 \, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})} \\ & = \frac{9 \, 000 + 16 \, 744}{90 + 837{,}2}\,^{\circ}\mathrm{C} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{28\,^{\circ}\mathrm{C}} \, . \end{aligned}$

Esercizio 26 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un campione metallico di massa $0{,}20\,\mathrm{kg}$ , inizialmente a $100\,^{\circ}\mathrm{C}$ , viene immerso in $0{,}30\,\mathrm{kg}$ di acqua a $20{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}$ . La temperatura finale è $25{,}35\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Trascurando le dispersioni e la capacità termica del recipiente, il calore specifico del metallo, arrotondato a una sola cifra significativa, è circa:

A) $2\cdot10^2\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ;
B) $5\cdot10^2\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ;
C) $9\cdot10^2\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ;
D) $2\cdot10^3\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ;
E) $4\cdot10^3\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la B.

Indichiamo con il pedice $1$ il campione metallico e con il pedice $2$ l’acqua. In un sistema termicamente isolato, il calore ceduto dal campione metallico deve eguagliare il calore assorbito dall’acqua. Partendo dalla relazione (1.7) e isolando il calore specifico del metallo $c_{1}$ si ottiene:

$c_{1} = \frac{m_2 c_2 (T_{\mathrm{eq}} - T_2)}{m_{1} (T_{1} - T_{\mathrm{eq}})} \, .$

Sostituendo i dati del problema ( $m_{1} = 0{,}20\,\mathrm{kg}$ , $T_{1} = 100\,^{\circ}\mathrm{C}$ , $m_2 = 0{,}30\,\mathrm{kg}$ , $T_{2} = 20{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}$ , $T_{\mathrm{eq}} = 25{,}35\,^{\circ}\mathrm{C}$ e $c_2 = 4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ) si ottiene:

$\begin{aligned} c_{1} & = \frac{(0{,}30\,\mathrm{kg}) \cdot (4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) \cdot (25{,}35\,^{\circ}\mathrm{C} - 20{,}0\,^{\circ}\mathrm{C})}{(0{,}20\,\mathrm{kg}) \cdot (100\,^{\circ}\mathrm{C} - 25{,}35\,^{\circ}\mathrm{C})}\\ & = \frac{0{,}30 \cdot 4\, 186 \cdot 5{,}35}{0{,}20 \cdot 74{,}65}\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{5\cdot10^2\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}} \, . \end{aligned}$

Conservando le cifre di guardia nei passaggi intermedi, si ottiene $c_1=450{,}002\ldots\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ . Il quesito richiede una sola cifra significativa: arrotondando direttamente questo valore, e non il valore già arrotondato $4{,}5\cdot10^2$ , si ottiene l’opzione B. Il dato $20{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}$ rimane invariato; l’approssimazione a una sola cifra è una richiesta del quesito, non una limitazione imposta dai dati.

Esercizio 27 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un blocco di alluminio ( $c_\mathrm{{Al}} = 900 \,\mathrm{J} \,\mathrm{kg}^{-1} \,\mathrm{K}^{-1}$ ) di massa $0{,}10\,\mathrm{kg}$ a $80\,^{\circ}\mathrm{C}$ viene posto in un calorimetro che contiene $0{,}20\,\mathrm{kg}$ di acqua a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Il calorimetro, inizialmente a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ , ha capacità termica $100\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ . La temperatura finale è circa:

A) $21\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
B) $23\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
C) $30\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
D) $40\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
E) $25\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la E.

Indichiamo con il pedice $1$ il blocco di alluminio e con il pedice $2$ l’acqua. Poniamo $T_2$ uguale alla temperatura iniziale comune dell’acqua e del calorimetro. Applicando la formula generale della temperatura di equilibrio (1.8), che include il contributo $C_{\mathrm{cal}}$ , si ha:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{m_{1} c_{1} T_{1} + \left(m_{2} c_{2} + C_{\mathrm{cal}}\right) T_2}{m_{1}c_{1} + m_{2} c_{2} + C_{\mathrm{cal}}} \, .$

Sostituendo i valori numerici del problema si ottiene:

$\begin{aligned} T_{\mathrm{eq}} &= \frac{(0{,}10\,\mathrm{kg})(900\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})(80\,^{\circ}\mathrm{C}) + \big[(0{,}20\,\mathrm{kg})(4 \, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) + 100\,\mathrm{J\,K^{-1}}\big](20\,^{\circ}\mathrm{C})}{(0{,}10\,\mathrm{kg})(900\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) + (0{,}20\,\mathrm{kg})(4 \, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) + 100\,\mathrm{J\,K^{-1}}} \\ &\approx \boxcolorato{semestrefiltro}{25\,^{\circ}\mathrm{C}} \, . \end{aligned}$

Esercizio 28 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una massa incognita di acqua a $80\,^{\circ}\mathrm{C}$ viene mescolata con $0{,}30\,\mathrm{kg}$ di acqua a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Se $T_{\mathrm{eq}}=50\,^{\circ}\mathrm{C}$ , la massa calda è $\makebox[2cm]{\dotfill}$ $\mathrm{kg}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è 0,30.

Indichiamo con il pedice $1$ l’acqua fredda e con il pedice $2$ l’acqua calda. Poiché entrambe le masse sono acqua e il calore specifico è assunto costante rispetto alla temperatura, vale $c_1=c_2=c_{\mathrm{acqua}}$ . Applicando la formula generale della temperatura di equilibrio (1.8) al caso di $N=2$ corpi e semplificando il calore specifico comune, si ottiene:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{m_2T_2+m_1T_1}{m_2+m_1} \, .$

È nota la temperatura di equilibrio ed è incognita la massa $m_2$ . Moltiplicando per $m_2+m_1$ e raccogliendo i termini che contengono $m_2$ , si ricava

$m_2(T_2-T_{\mathrm{eq}})=m_1(T_{\mathrm{eq}}-T_1),$

da cui, essendo $T_2>T_{\mathrm{eq}}$ ,

$m_2=m_1\frac{T_{\mathrm{eq}}-T_1}{T_2-T_{\mathrm{eq}}} \, .$

Sostituendo i dati numerici, si ottiene:

$m_2=(0{,}30\,\mathrm{kg})\frac{50\,^{\circ}\mathrm{C}-20\,^{\circ}\mathrm{C}}{80\,^{\circ}\mathrm{C}-50\,^{\circ}\mathrm{C}}=\boxcolorato{semestrefiltro}{0{,}30\,\mathrm{kg}} \, .$

Le due differenze di temperatura hanno lo stesso modulo, $30\,\mathrm{K}$ ; pertanto le due masse sono uguali.

Esercizio 29 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In un calorimetro isolato di capacità termica $200\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ , inizialmente a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ , si versano $0{,}20\,\mathrm{kg}$ di acqua a $70\,^{\circ}\mathrm{C}$ e $0{,}30\,\mathrm{kg}$ di acqua a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ . La temperatura finale è circa:

A) $30\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
B) $35\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
C) $44\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
D) $38\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
E) $50\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la D.

Indichiamo con il pedice $1$ l’acqua calda e con il pedice $2$ l’acqua fredda. La temperatura iniziale $T_2$ dell’acqua fredda coincide con quella del calorimetro. Applicando la formula generale della temperatura di equilibrio (1.8), che include il contributo $C_{\mathrm{cal}}$ , si ha:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{m_{1} c_{1} T_{1} + \left(m_{2} c_{2} + C_{\mathrm{cal}}\right) T_2}{m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2} + C_{\mathrm{cal}}} \, .$

Sostituendo i valori numerici del problema si ottiene:

$\begin{aligned} T_{\mathrm{eq}} &= \frac{(0{,}20\,\mathrm{kg})(4 \, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})(70\,^{\circ}\mathrm{C}) + \big[(0{,}30\,\mathrm{kg})(4 \, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) + 200\,\mathrm{J\,K^{-1}}\big](20\,^{\circ}\mathrm{C})}{(0{,}20\,\mathrm{kg})(4 \, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) + (0{,}30\,\mathrm{kg})(4 \, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) + 200\,\mathrm{J\,K^{-1}}} \\ & = \frac{58 \, 604 + 29 \, 116}{837{,}2 + 1 \, 255{,}8 + 200}\,^{\circ}\mathrm{C} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{38\,^{\circ}\mathrm{C}} \, . \end{aligned}$

Esercizio 30 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due blocchi di uguale massa e dello stesso materiale, a $10\,^{\circ}\mathrm{C}$ e $50\,^{\circ}\mathrm{C}$ , vengono messi a contatto in un sistema isolato. Assumendo il calore specifico del materiale come costante, la temperatura finale è:

A) $10\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
B) $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
C) $30\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
D) $40\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
E) $50\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la C.

Siano $m_1 = m_2 = m$ le masse di due corpi costituiti dallo stesso materiale (calore specifico $c_1 = c_2 = c$ ), inizialmente alle temperature $T_1 = 10\,^{\circ}\mathrm{C}$ e $T_2 = 50\,^{\circ}\mathrm{C}$ , posti a contatto termico in un sistema isolato.

Applicando la formula generale della temperatura di equilibrio (1.8) al caso di $N=2$ corpi, si ha:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{mcT_1+mcT_2}{mc+mc} \, .$

Poiché le masse sono uguali e si tratta dello stesso materiale, la massa $m$ e il calore specifico $c$ si semplificano, e la temperatura finale $T_{\mathrm{eq}}$ coincide quindi con la semplice media aritmetica delle temperature iniziali:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{T_1 + T_2}{2} = \frac{10\,^{\circ}\mathrm{C} + 50\,^{\circ}\mathrm{C}}{2} = \boxcolorato{semestrefiltro}{30\,^{\circ}\mathrm{C}} \, .$

Esercizio 31 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In un calorimetro ideale un corpo caldo cede $3 \, 000\,\mathrm{J}$ . Quale calore assorbe complessivamente la parte fredda del sistema?

A) $+3 \, 000\,\mathrm{J}$ ;
B) $-3 \, 000\,\mathrm{J}$ ;
C) $+1 \, 500\,\mathrm{J}$ ;
D) $0$ ;
E) dipende necessariamente dalle masse.

Svolgimento

La risposta corretta è la A.

In un calorimetro ideale (sistema privo di dispersioni con l’ambiente esterno), il bilancio energetico globale espresso dall’equazione (1.6) impone che la somma di tutti i calori scambiati sia pari a zero:

$\sum_i Q_i = 0 \implies Q_{\mathrm{ced}} + Q_{\mathrm{ass}} = 0 \, .$

Poiché il corpo caldo cede energia termica, la convenzione dei segni stabilisce per esso una quantità di calore negativa. Di conseguenza, per la parte fredda del sistema si ha:

$-3 \, 000\,\mathrm{J} + Q_{\mathrm{ass}} = 0 \implies Q_{\mathrm{ass}} = \boxcolorato{semestrefiltro}{+3 \, 000\,\mathrm{J}} \, .$

L’energia assorbita dalla componente fredda è pertanto pari in modulo all’energia ceduta da quella calda, ma con segno positivo a indicare l’ingresso di calore.

Esercizio 32 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due corpi con capacità termiche positive, inizialmente a $15\,^{\circ}\mathrm{C}$ e $65\,^{\circ}\mathrm{C}$ , raggiungono l’equilibrio in un sistema isolato senza cambiamenti di stato. Quale tra i seguenti valori non può essere la temperatura finale?

A) $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
B) $35\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
C) $50\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
D) $70\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
E) $60\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la D.

Indichiamo con il pedice $1$ i dati del corpo più freddo e con il pedice $2$ quelli del corpo più caldo. Dalla formula (1.8), con le capacità termiche $C_i=m_ic_i>0$ , segue

$\begin{aligned} T_{\mathrm{eq}} &=\frac{C_1T_1+C_2T_2}{C_1+C_2}\\ &=\frac{C_1}{C_1+C_2}T_1+\frac{C_2}{C_1+C_2}T_2\\ &<\frac{C_1}{C_1+C_2}T_2+\frac{C_2}{C_1+C_2}T_2\\ &=T_2. \end{aligned}$

La disuguaglianza segue dall’aver sostituito $T_1$ con $T_2>T_1$ , poiché le capacità termiche sono positive. Analogamente, sostituendo $T_2$ con il valore minore $T_1$ , si ottiene $T_{\mathrm{eq}}>T_1$ . In altre parole, la temperatura di equilibrio deve essere strettamente compresa tra le temperature iniziali dei due corpi:

$15\,^{\circ}\mathrm{C}<T_{\mathrm{eq}}<65\,^{\circ}\mathrm{C} \, .$

L’unica opzione che non rispetta tale requisito è la D, che propone $\boxcolorato{semestrefiltro}{70\,^{\circ}\mathrm{C}}$ .

Esercizio 33 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una vasca contiene $50\,\mathrm{kg}$ di acqua a $40\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Si aggiungono $10\,\mathrm{kg}$ di acqua a $10\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Trascurando le dispersioni, la temperatura finale è:

A) $30\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
B) $35\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
C) $37\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
D) $25\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
E) $39\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la B.

Siano $m_1 = 50\,\mathrm{kg}$ e $m_2 = 10\,\mathrm{kg}$ due masse d’acqua (calore specifico $c_{\mathrm{acqua}}$ , uguale per entrambe), inizialmente alle temperature $T_1 = 40\,^{\circ}\mathrm{C}$ e $T_2 = 10\,^{\circ}\mathrm{C}$ , poste a contatto termico in un sistema isolato.

Applicando la formula generale della temperatura di equilibrio (1.8) al caso di $N=2$ corpi, e semplificando il calore specifico $c_{\mathrm{acqua}}$ , uguale per entrambe le masse, si ottiene la temperatura di equilibrio $T_{\mathrm{eq}}$ come media pesata delle temperature iniziali:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2} \, .$

Sostituendo i valori numerici del problema si ottiene:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{(50\,\mathrm{kg}) \cdot (40\,^{\circ}\mathrm{C}) + (10\,\mathrm{kg}) \cdot (10\,^{\circ}\mathrm{C})}{50\,\mathrm{kg} + 10\,\mathrm{kg}} = \boxcolorato{semestrefiltro}{35\,^{\circ}\mathrm{C}} \, .$

Esercizio 34 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un campione di massa $0{,}10\,\mathrm{kg}$ , inizialmente a $100\,^{\circ}\mathrm{C}$ , viene immerso in $0{,}20\,\mathrm{kg}$ di acqua a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ . La temperatura finale è $25\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Trascurando la capacità termica del calorimetro e assumendo un sistema isolato, il calore specifico del campione è circa $\makebox[2cm]{\dotfill}$ $\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è $6\cdot 10^2$ .

Siano $m_1 = 0{,}10\,\mathrm{kg}$ il campione di calore specifico incognito $c_1$ , inizialmente alla temperatura $T_1 = 100\,^{\circ}\mathrm{C}$ , e $m_2 = 0{,}20\,\mathrm{kg}$ una massa d’acqua (calore specifico $c_2 = 4 \, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ), inizialmente alla temperatura $T_2 = 20\,^{\circ}\mathrm{C}$ , poste a contatto termico in un sistema isolato. La temperatura di equilibrio misurata è $T_{\mathrm{eq}} = 25\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Applicando la formula generale della temperatura di equilibrio (1.8) al caso di $N=2$ corpi, si ottiene:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2} \, .$

A differenza del caso in cui l’incognita è $T_{\mathrm{eq}}$ , qui è nota la temperatura di equilibrio ed è incognito il calore specifico $c_1$ : isolandolo si ottiene

$c_1 = \frac{m_2 c_2 (T_{\mathrm{eq}} - T_2)}{m_1(T_1 - T_{\mathrm{eq}})} \, .$

Sostituendo i valori numerici del problema e arrotondando a una cifra significativa, coerentemente con la differenza $25-20=5$ al numeratore, si ottiene:

$c_1 = \frac{(0{,}20\,\mathrm{kg}) \cdot (4 \, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) \cdot (25\,^{\circ}\mathrm{C} - 20\,^{\circ}\mathrm{C})}{(0{,}10\,\mathrm{kg}) \cdot (100\,^{\circ}\mathrm{C} - 25\,^{\circ}\mathrm{C})} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{6 \cdot 10^2\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}} \, .$

Esercizio 35 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un blocco metallico di massa $0{,}15\,\mathrm{kg}$ e calore specifico $400\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ viene immerso in $0{,}25\,\mathrm{kg}$ di acqua a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ . La temperatura finale è $24\,^{\circ}\mathrm{C}$ e il sistema è assunto isolato. Qual era approssimativamente la temperatura iniziale del metallo?

A) $40\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
B) $64\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
C) $90\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
D) $124\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
E) $210\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la C.

Indichiamo con il pedice $1$ il blocco metallico e con il pedice $2$ l’acqua. Applicando la formula generale della temperatura di equilibrio (1.8) al caso di $N=2$ corpi si ottiene:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{m_{1} c_{1} T_1 + m_{2} c_{2} T_2}{m_{1}c_{1} + m_{2} c_{2}} \, .$

È nota la temperatura di equilibrio ed è incognita la temperatura iniziale del metallo $T_1$ : isolandola si ottiene

$T_1 = T_{\mathrm{eq}} + \frac{m_{2} c_{2} (T_{\mathrm{eq}} - T_2)}{m_{1} c_{1}} \, .$

Sostituendo i valori numerici del problema si ottiene:

$\begin{aligned} T_1 &= 24\,^{\circ}\mathrm{C} + \frac{(0{,}25\,\mathrm{kg}) \cdot (4 \, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) \cdot (24\,^{\circ}\mathrm{C} - 20\,^{\circ}\mathrm{C})}{(0{,}15\,\mathrm{kg}) \cdot (400\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})} \\ &= 24\,^{\circ}\mathrm{C} + \frac{0{,}25 \cdot 4 \, 186 \cdot 4}{0{,}15 \cdot 400}\,^{\circ}\mathrm{C} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{90\,^{\circ}\mathrm{C}} \, . \end{aligned}$

Esercizio 36 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si mescolano $0{,}10\,\mathrm{kg}$ di acqua a $80\,^{\circ}\mathrm{C}$ e $0{,}20\,\mathrm{kg}$ di acqua a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ in un calorimetro inizialmente a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Trascurando gli scambi termici con l’ambiente, la temperatura finale è di $38\,^{\circ}\mathrm{C}$ . La capacità termica del calorimetro è circa:

A) $70\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ ;
B) $140\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ ;
C) $280\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ ;
D) $418\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ ;
E) $836\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la B.

Indichiamo con il pedice $1$ l’acqua calda e con il pedice $2$ l’acqua fredda. Siano $m_{1} = 0{,}10\,\mathrm{kg}$ e $m_{2} = 0{,}20\,\mathrm{kg}$ due masse d’acqua (calore specifico $c_{1} = c_{2} = 4 \, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ), inizialmente alle temperature $T_{1} = 80\,^{\circ}\mathrm{C}$ e $T_2 = 20\,^{\circ}\mathrm{C}$ rispettivamente, quest’ultima coincidente con la temperatura iniziale del calorimetro di capacità termica incognita $C_{\mathrm{cal}}$ . La temperatura di equilibrio misurata è $T_{\mathrm{eq}} = 38\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Applicando la formula generale della temperatura di equilibrio (1.8), che include il contributo $C_{\mathrm{cal}}$ si ottiene:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{m_{1} c_{1} T_{1} + \left(m_{2} c_{2} + C_{\mathrm{cal}}\right) T_2}{m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2} + C_{\mathrm{cal}}} .$

È nota la temperatura di equilibrio ed è incognita la capacità termica del calorimetro $C_{\mathrm{cal}}$ : isolandola si ottiene

$C_{\mathrm{cal}} = \frac{m_{1} c_{1} (T_{1} - T_{\mathrm{eq}})}{T_{\mathrm{eq}} - T_2} - m_{2} c_{2} \, .$

Sostituendo i valori numerici del problema si ottiene:

$\begin{aligned} C_{\mathrm{cal}} &= \frac{(0{,}10\,\mathrm{kg}) \cdot (4 \, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) \cdot (80\,^{\circ}\mathrm{C} - 38\,^{\circ}\mathrm{C})}{38\,^{\circ}\mathrm{C} - 20\,^{\circ}\mathrm{C}} - (0{,}20\,\mathrm{kg}) \cdot (4 \, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})\\ &= \frac{418{,}6 \cdot 42}{18}\,\mathrm{J\,K^{-1}} - 837{,}2\,\mathrm{J\,K^{-1}} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{140\,\mathrm{J\,K^{-1}}} \, . \end{aligned}$

Esercizio 37 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Tre masse di acqua, rispettivamente $0{,}10\,\mathrm{kg}$ a $80\,^{\circ}\mathrm{C}$ , $0{,}20\,\mathrm{kg}$ a $50\,^{\circ}\mathrm{C}$ e $0{,}30\,\mathrm{kg}$ a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ , vengono mescolate in un recipiente ideale. La temperatura finale è di $\makebox[2cm]{\dotfill}$ $\mathrm{^\circ C}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è 40.

Siano $m_1 = 0{,}10\,\mathrm{kg}$ , $m_2 = 0{,}20\,\mathrm{kg}$ e $m_3 = 0{,}30\,\mathrm{kg}$ tre masse d’acqua (calore specifico $c_{\mathrm{acqua}}$ , uguale per tutte e tre), inizialmente alle temperature $T_1 = 80\,^{\circ}\mathrm{C}$ , $T_2 = 50\,^{\circ}\mathrm{C}$ e $T_3 = 20\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Applicando la formula generale della temperatura di equilibrio (1.8) al caso di $N=3$ corpi, e semplificando il calore specifico $c_{\mathrm{acqua}}$ , uguale per tutte le masse, si ottiene la temperatura di equilibrio $T_{\mathrm{eq}}$ come media pesata delle tre temperature iniziali:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2 + m_3 T_3}{m_1 + m_2 + m_3} \, .$

Sostituendo i valori numerici del problema si ottiene:

$\begin{aligned} T_{\mathrm{eq}} &= \frac{(0{,}10\,\mathrm{kg}) \cdot (80\,^{\circ}\mathrm{C}) + (0{,}20\,\mathrm{kg}) \cdot (50\,^{\circ}\mathrm{C}) + (0{,}30\,\mathrm{kg}) \cdot (20\,^{\circ}\mathrm{C})}{0{,}10\,\mathrm{kg} + 0{,}20\,\mathrm{kg} + 0{,}30\,\mathrm{kg}} \\ &= \frac{8 + 10 + 6}{0{,}60}\,^{\circ}\mathrm{C} = \boxcolorato{semestrefiltro}{40\,^{\circ}\mathrm{C}} \, . \end{aligned}$

Esercizio 38 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In un esperimento non ideale (in cui si trascura la sola capacità termica del calorimetro, ma non gli scambi con l’ambiente esterno), un metallo caldo perde $10\,\mathrm{kJ}$ , mentre l’acqua nel calorimetro assorbe $8\,\mathrm{kJ}$ . Se non vi sono altri corpi nel calorimetro, l’ambiente ha:

A) assorbito $2\,\mathrm{kJ}$ ;
B) ceduto $2\,\mathrm{kJ}$ ;
C) assorbito $18\,\mathrm{kJ}$ ;
D) ceduto $18\,\mathrm{kJ}$ ;
E) scambiato necessariamente zero calore.

Svolgimento

La risposta corretta è la A.

In un esperimento reale (non ideale), il bilancio energetico globale espresso dall’equazione generale della conservazione dell’energia (1.6) deve includere anche le dispersioni termiche verso l’ambiente circostante:

$\sum_i Q_i = 0 \implies Q_{\mathrm{metallo}} + Q_{\mathrm{acqua}} + Q_{\mathrm{ambiente}} = 0 \, .$

Secondo la convenzione dei segni, il calore ceduto dal metallo caldo è negativo ( $Q_{\mathrm{metallo}} = -10\,\mathrm{kJ}$ ), mentre il calore assorbito dall’acqua è positivo ( $Q_{\mathrm{acqua}} = +8\,\mathrm{kJ}$ ). Sostituendo questi valori nel bilancio si ottiene:

$-10\,\mathrm{kJ} + 8\,\mathrm{kJ} + Q_{\mathrm{ambiente}} = 0 \iff Q_{\mathrm{ambiente}} = \boxcolorato{semestrefiltro}{+2\,\mathrm{kJ}} \, .$

Essendo il valore di $Q_{\mathrm{ambiente}}$ positivo, l’ambiente ha subito un ingresso netto di energia, ovvero ha assorbito $2\,\mathrm{kJ}$ di calore dispersi dal sistema.

Esercizio 39 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un riscaldatore di potenza $500\,\mathrm{W}$ funziona per $3{,}0\,\mathrm{min}$ e trasferisce tutta l’energia erogata a $2{,}0\,\mathrm{kg}$ di acqua. L’aumento di temperatura dell’acqua è circa:

A) $1{,}1\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
B) $5{,}4\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
C) $21{,}5\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
D) $43\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
E) $11\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la E.

L’energia termica $Q$ fornita dal riscaldatore di potenza $\mathcal{P}$ in un intervallo di tempo $\Delta t$ è data dal prodotto:

$Q = \mathcal{P} \Delta t \, .$

Convertendo il tempo in secondi ( $\Delta t = 3{,}0\,\mathrm{min} = 180\,\mathrm{s}$ ) e considerando $\mathcal{P} = 500\,\mathrm{W}$ si ottiene:

$Q = (500\,\mathrm{W}) \cdot (180\,\mathrm{s}) = 9{,}0 \cdot 10^4\,\mathrm{J} \, .$

Ipotizzando che tutta l’energia sia trasferita all’acqua si sfrutta la relazione (1.2):

$Q = m_{\mathrm{acqua}} c_{\mathrm{acqua}} \Delta T \, .$

Isolando l’aumento di temperatura $\Delta T$ e ponendo $c_{\mathrm{acqua}} = 4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ed $m_{\mathrm{acqua}} = 2{,}0\,\mathrm{kg}$ :

$\Delta T = \frac{Q}{m_{\mathrm{acqua}} c_{\mathrm{acqua}}} = \frac{9{,}0 \cdot 10^4\,\mathrm{J}}{(2{,}0\,\mathrm{kg}) \cdot (4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{11\,\mathrm{K}} \, .$

Una differenza di temperatura ha lo stesso valore numerico in kelvin e in gradi Celsius; l’aumento corrisponde quindi a circa $11\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Esercizio 40 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un blocco di rame di massa $0{,}20\,\mathrm{kg}$ a $150\,^{\circ}\mathrm{C}$ viene immerso in $0{,}50\,\mathrm{kg}$ di acqua a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ , contenuta in un calorimetro di alluminio di massa $0{,}10\,\mathrm{kg}$ , anch’esso inizialmente a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Si usino $c_{\mathrm{Cu}}=385 \, \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ , $c_{\mathrm{Al}}=900 \, \mathrm{J\, kg^{-1}\,K^{-1}}$ e $c_{\mathrm{acqua}}=4\, 186 \, \mathrm{J \, kg^{-1} \,K^{-1}}$ . Assumendo un sistema isolato, la temperatura finale è circa:

A) $21\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
B) $31\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
C) $24\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
D) $49\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
E) $75\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la C.

Indichiamo con il pedice $1$ il campione di rame, con il pedice $2$ l’acqua e con il pedice $3$ il calorimetro di alluminio. Applicando la formula generale della temperatura di equilibrio (1.8) al caso di tre corpi, dove acqua e recipiente in alluminio condividono la stessa temperatura iniziale, $T_2=T_3$ , e si raggruppano quindi in un unico termine, si ottiene:

$T_{\mathrm{eq}} = \frac{m_{1} c_{1} T_{1} + \left(m_{2} c_{2} + m_{3} c_{3}\right) T_2}{m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2} + m_{3} c_{3}} \, .$

Sostituendo i valori numerici si ottiene:

$T_{\mathrm{eq}}\approx \boxcolorato{semestrefiltro}{24\,^{\circ}\mathrm{C}} \, .$

Cambiamenti di stato e calore latente

Esercizio 41 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . La fusione è il passaggio di stato:

A) da liquido a gas;
B) da gas a liquido;
C) da solido a liquido;
D) da liquido a solido;
E) da solido a gas esclusivamente.

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{C}.}}$

La fusione è il passaggio dallo stato solido allo stato liquido. Può essere indotta da un apporto di calore oppure da un’opportuna variazione di pressione.

Esercizio 42 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . La condensazione è il passaggio dallo stato aeriforme allo stato $\makebox[2cm]{\dotfill}$ .

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è \textcolor{red}{liquido}.}}$

La condensazione è il passaggio di stato dalla fase gassosa (o di vapore) alla fase liquida.

Esercizio 43 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Durante la fusione di una sostanza pura alla pressione fissata, mentre coesistono fase solida e liquida, il calore fornito serve principalmente a:

A) aumentare in modo continuo la temperatura del solido;
B) diminuire la massa totale;
C) ridurre la capacità termica a zero;
D) modificare lo stato fisico mentre la temperatura resta costante;
E) trasformare direttamente il solido in gas, senza passare per lo stato liquido.

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{D}.}}$

Durante un passaggio di stato per una sostanza pura a pressione costante, la temperatura del sistema rimane rigorosamente costante finché la transizione di fase non è stata completata.

Come indicato nel paragrafo sui cambiamenti di stato, l’energia fornita dall’esterno sotto forma di calore viene assorbita come calore latente di fusione e viene descritta dall’equazione (1.9):

$Q = m\lambda_\mathrm{lat} \, .$

Di conseguenza, il calore somministrato serve a modificare lo stato fisico del sistema da solido a liquido mantenendo inalterata la temperatura di fusione.

Esercizio 44 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Quanto calore occorre per fondere $0{,}250\,\mathrm{kg}$ di ghiaccio già alla temperatura di fusione? Si assuma $\lambda_{\mathrm{fus}}=3{,}340\cdot10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ .

A) $33{,}4\,\mathrm{kJ}$ ;
B) $83{,}5\,\mathrm{kJ}$ ;
C) $167\,\mathrm{kJ}$ ;
D) $334\,\mathrm{kJ}$ ;
E) $835\,\mathrm{kJ}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la B.

Poiché il ghiaccio si trova già alla temperatura di fusione ( $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ ) l’energia necessaria per completare il passaggio dallo stato solido allo stato liquido è unicamente il calore latente di fusione, espresso dall’equazione (1.9):

$Q = m \lambda_{\mathrm{fus}} \, .$

Sostituendo i dati numerici forniti dal problema ( $m = 0{,}250\,\mathrm{kg}$ e $\lambda_{\mathrm{fus}} = 3{,}340 \cdot 10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ ) si ottiene:

$Q = (0{,}250\,\mathrm{kg}) \cdot (3{,}340 \cdot 10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}}) = 0{,}835 \cdot 10^5\,\mathrm{J} = \boxcolorato{semestrefiltro}{83{,}5\,\mathrm{kJ}} \, .$

Esercizio 45 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In condizioni di pressione atmosferica, per vaporizzare completamente $0{,}10\,\mathrm{kg}$ di acqua già alla temperatura di ebollizione sono necessari, con $\lambda_{\mathrm{vap}}=2{,}26\cdot10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ :

A) $2{,}3\cdot10^4\,\mathrm{J}$ ;
B) $4{,}5\cdot10^4\,\mathrm{J}$ ;
C) $1{,}1\cdot10^5\,\mathrm{J}$ ;
D) $2{,}3\cdot10^6\,\mathrm{J}$ ;
E) $2{,}3\cdot10^5\,\mathrm{J}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la E.

Essendo l’acqua già alla temperatura di ebollizione ( $100\,^{\circ}\mathrm{C}$ alla pressione atmosferica standard), il calore necessario per effettuare il passaggio di stato dalla fase liquida a quella gassosa è esclusivamente il calore latente di vaporizzazione, espresso dall’equazione (1.9):

$Q = m \lambda_{\mathrm{vap}} \, .$

Sostituendo i valori forniti dal testo ( $m = 0{,}10\,\mathrm{kg}$ e $\lambda_{\mathrm{vap}} = 2{,}26 \cdot 10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ ) si ottiene:

$Q = (0{,}10\,\mathrm{kg}) \cdot (2{,}26 \cdot 10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}}) = 2{,}26 \cdot 10^5\,\mathrm{J} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{2{,}3\cdot10^5\,\mathrm{J}} \, .$

Esercizio 46 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una quantità di calore pari a $452\,\mathrm{kJ}$ viene utilizzata esclusivamente per vaporizzare acqua alla temperatura di ebollizione. Con $\lambda_{\mathrm{vap}}=2{,}26\cdot10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ , la massa evaporata è di $\makebox[2cm]{\dotfill}$ $\mathrm{kg}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è 0,200.

Essendo l’acqua già alla temperatura di ebollizione, l’intera energia fornita sotto forma di calore viene impiegata per effettuare la transizione di fase dalla fase liquida a quella gassosa, senza alcuna variazione di temperatura. La relazione tra il calore somministrato $Q$ e la massa $m$ che cambia stato è regolata dalla formula del calore latente di vaporizzazione descritta dall’equazione (1.9):

$Q = m \lambda_{\mathrm{vap}}\, .$

Esplicitando la massa $m$ mediante formula inversa si ottiene:

$m = \frac{Q}{\lambda_{\mathrm{vap}}}\, .$

Convertendo il calore fornito in joule ( $Q = 452\,\mathrm{kJ} = 452 \cdot 10^3\,\mathrm{J}$ ) e sostituendo il valore del calore latente ( $\lambda_{\mathrm{vap}} = 2{,}26 \cdot 10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ ) si ottiene:

$m = \frac{452 \cdot 10^3\,\mathrm{J}}{2{,}26 \cdot 10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}}} = \frac{452}{2260} \,\mathrm{kg}= \boxcolorato{semestrefiltro}{0{,}200\,\mathrm{kg}} \, .$

Esercizio 47 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Confrontare l’energia necessaria per fondere $1{,}00\,\mathrm{kg}$ di ghiaccio a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ con quella necessaria per riscaldare $1{,}00\,\mathrm{kg}$ di acqua da $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ a $80{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Si usino $\lambda_{\mathrm{fus}}=3{,}34\cdot10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ e $c_\mathrm{acqua}=4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ .

A) la fusione richiede circa dieci volte più energia;
B) il riscaldamento richiede circa dieci volte più energia;
C) la fusione richiede esattamente metà energia;
D) le due energie sono approssimativamente uguali;
E) non si possono confrontare perché hanno unità diverse.

Svolgimento

La risposta corretta è la D.

Per determinare quale relazione intercorra tra le due quantità di energia, è necessario calcolare separatamente il calore $Q_{\mathrm{fus}}$ necessario al passaggio di stato e il calore $Q$ per il riscaldamento dell’acqua.

Calore necessario per la fusione del ghiaccio ( $Q_{\mathrm{fus}}$ ): poiché il ghiaccio si trova già alla temperatura di fusione ( $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ ), si applica l’equazione del calore latente (1.9):
$Q_{\mathrm{fus}} = m \lambda_{\mathrm{fus}} = (1{,}00\,\mathrm{kg}) \cdot (3{,}34 \cdot 10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}}) = 334\,000\,\mathrm{J} \, .$
Calore necessario per riscaldare l’acqua ( $Q$ ): per innalzare la temperatura dell’acqua liquida da $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ a $80{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}$ ( $\Delta T = 80{,}0\,\mathrm{K}$ ), si applica l’equazione (1.2):
$Q = m c_\mathrm{acqua} \Delta T = (1{,}00\,\mathrm{kg}) \cdot (4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) \cdot (80{,}0\,\mathrm{K}) \approx 3{,}35\cdot10^5\,\mathrm{J} \, .$

Confrontando i due risultati

$\boxcolorato{semestrefiltro}{Q_{\mathrm{fus}} \approx Q} \, ,$

si vede che le due quantità d’energia si equivalgono quasi perfettamente (usando i valori non arrotondati, la differenza relativa è circa lo $0{,}26\%$ ).

Esercizio 48 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Quanto calore occorre per trasformare $0{,}20\,\mathrm{kg}$ di ghiaccio a $-10\,^{\circ}\mathrm{C}$ in acqua liquida a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ ? Si assumano $c_{\mathrm{ghiaccio}}=2 \, 100\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ e $\lambda_{\mathrm{fus}}=3{,}34\cdot10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ .

A) $71\,\mathrm{kJ}$ ;
B) $4{,}2\,\mathrm{kJ}$ ;
C) $67\,\mathrm{kJ}$ ;
D) $75\,\mathrm{kJ}$ ;
E) $142\,\mathrm{kJ}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la A.

Il processo avviene in due fasi distinte.

Riscaldamento del ghiaccio da $-10\,^{\circ}\mathrm{C}$ a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ ( $\Delta T = 10\,\mathrm{K}$ ): si calcola il calore $Q_1$ mediante l’equazione (1.2):
$Q_1 = m c_{\mathrm{ghiaccio}} \Delta T = (0{,}20\,\mathrm{kg}) (2 \, 100\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) (10\,\mathrm{K}) = 4 \, 200\,\mathrm{J} = 4{,}2\,\mathrm{kJ} \, .$
Fusione completa del ghiaccio a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ : si calcola il calore latente $Q_2$ mediante l’equazione (1.9):
$Q_2 = m \lambda_{\mathrm{fus}} = (0{,}20\,\mathrm{kg}) \cdot (3{,}34 \cdot 10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}}) = 66 \, 800\,\mathrm{J} = 66{,}8\,\mathrm{kJ} \, .$

Il calore totale $Q_{\mathrm{tot}}$ necessario è espresso dalla somma dei due contributi:

$Q_{\mathrm{tot}} = Q_1 + Q_2 = 4{,}2\,\mathrm{kJ} + 66{,}8\,\mathrm{kJ} = \boxcolorato{semestrefiltro}{71\,\mathrm{kJ}} \, .$

Esercizio 49 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . A una massa molto grande di ghiaccio a $0{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}$ vengono forniti $50\,\mathrm{kJ}$ . Quanta massa fonde, assumendo $\lambda_{\mathrm{fus}}=3{,}34\cdot10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ ?

A) $0{,}02\,\mathrm{kg}$ ;
B) $0{,}05\,\mathrm{kg}$ ;
C) $0{,}10\,\mathrm{kg}$ ;
D) $0{,}33\,\mathrm{kg}$ ;
E) $0{,}15\,\mathrm{kg}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la E.

Poiché il ghiaccio si trova già alla temperatura di fusione ( $0{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}$ ), l’intera quantità di energia fornita sotto forma di calore viene impiegata per effettuare la transizione di fase dallo stato solido a quello liquido, senza provocare alcun aumento di temperatura.

La relazione tra il calore somministrato $Q$ e la massa $m$ che subisce il passaggio di stato è regolata dalla legge del calore latente di fusione (1.9):

$Q = m \lambda_{\mathrm{fus}} \, .$

Esplicitando la massa fusa $m$ mediante formula inversa si scrive:

$m = \frac{Q}{\lambda_{\mathrm{fus}}} \, .$

Convertendo l’energia espressa in kilojoule nel Sistema Internazionale ( $Q = 50\,\mathrm{kJ} = 50 \cdot 10^3\,\mathrm{J}$ ) e sostituendo il valore del calore latente ( $\lambda_{\mathrm{fus}} = 3{,}34 \cdot 10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ ) si ottiene:

$m = \frac{50 \cdot 10^3\,\mathrm{J}}{3{,}34 \cdot 10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}}} = \frac{50}{334} \,\mathrm{kg} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{0{,}15\,\mathrm{kg}} \, .$

Esercizio 50 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Quando $0{,}30\,\mathrm{kg}$ di acqua a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ solidificano completamente alla stessa temperatura, il calore ceduto in valore assoluto è:

A) $33\,\mathrm{kJ}$ ;
B) $1{,}0\cdot10^5\,\mathrm{J}$ ;
C) $23\cdot10^4\,\mathrm{J}$ ;
D) $33\cdot10^4\,\mathrm{J}$ ;
E) $1{,}0\,\mathrm{MJ}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la B.

Durante il processo di solidificazione dell’acqua a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ , la sostanza cede all’ambiente circostante una quantità di calore pari a quella assorbita durante la fusione della medesima massa. La relazione che descrive il calore scambiato in un passaggio di stato è regolata dalla formula del calore latente (1.9):

$|Q| = m \lambda_{\mathrm{fus}} \, .$

Sostituendo la massa d’acqua $m = 0{,}30\,\mathrm{kg}$ e il valore del calore latente di fusione/solidificazione dell’acqua $\lambda_{\mathrm{fus}} = 3{,}34 \cdot 10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ si ottiene:

$|Q| = (0{,}30\,\mathrm{kg}) \cdot (3{,}34 \cdot 10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}}) = 1{,}002 \cdot 10^5\,\mathrm{J} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{1{,}0\cdot10^5\,\mathrm{J}} \, .$

Esercizio 51 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una massa di $0{,}020\,\mathrm{kg}$ di vapore d’acqua a $100\,^{\circ}\mathrm{C}$ condensa e l’acqua ottenuta si raffredda fino a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Il calore complessivamente ceduto vale circa $\makebox[2cm]{\dotfill}$ $\mathrm{kJ}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è 52.

Il processo di condensazione e raffreddamento avviene in due fasi successive, durante le quali il sistema cede calore all’ambiente circostante. Con la convenzione della dispensa, i calori scambiati $Q_1$ e $Q_2$ sono negativi; per calcolare l’energia ceduta ne consideriamo i moduli.

Condensazione del vapore a $100\,^{\circ}\mathrm{C}$ : la quantità di calore ceduta durante la transizione di fase da vapore a liquido è data dalla formula del calore latente di vaporizzazione/condensazione (1.9):
$|Q_1| = m \lambda_{\mathrm{vap}} = (0{,}020\,\mathrm{kg}) \cdot (2{,}26 \cdot 10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}}) \approx 45\,\mathrm{kJ} \, .$
Raffreddamento dell’acqua liquida da $100\,^{\circ}\mathrm{C}$ a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ ( $\Delta T = -80\,^{\circ}\mathrm{C}$ ): la quantità di calore ceduta sotto forma di calore sensibile è espressa dalla formula (1.2):
$|Q_2| = m c_{\mathrm{acqua}} |\Delta T| = (0{,}020\,\mathrm{kg}) \cdot (4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) \cdot (80\,\mathrm{K}) = 6 \, 697{,}6\,\mathrm{J} \approx 6{,}7\,\mathrm{kJ} \, .$

L’energia complessivamente ceduta è la somma dei moduli dei due contributi:

$|Q_{\mathrm{tot}}| = |Q_1| + |Q_2| = m\lambda_{\mathrm{vap}} + mc_{\mathrm{acqua}}|\Delta T| \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{52\,\mathrm{kJ}} \, .$

Esercizio 52 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si introducono $0{,}10\,\mathrm{kg}$ di ghiaccio a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ in $0{,}50\,\mathrm{kg}$ di acqua a $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ , in un recipiente isolato. Assumendo trascurabile la capacità termica del recipiente, la temperatura finale è circa:

A) $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
B) $2\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
C) $3\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
D) $8\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
E) $10\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la C.

Indichiamo con il pedice $1$ il ghiaccio, e successivamente l’acqua prodotta dalla sua fusione, e con il pedice $2$ l’acqua inizialmente liquida. Sia $m_1=0{,}10\,\mathrm{kg}$ la massa di ghiaccio a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ , posta in un recipiente isolato insieme a una massa d’acqua $m_2=0{,}50\,\mathrm{kg}$ inizialmente a $T_2=20\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Calore necessario per fondere completamente il ghiaccio a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Esso si esprime tramite la relazione (1.9):
$Q_{\mathrm{fusione}}=m_1\lambda_{\mathrm{fus}}=(0{,}10\,\mathrm{kg})(3{,}34\cdot10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}})\approx33\,\mathrm{kJ} \, .$
Calore cedibile dall’acqua calda per raffreddarsi fino a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Esso si esprime, in valore assoluto, tramite la relazione (1.2):
$Q_{\mathrm{cedibile}}=m_2c_2(T_2-0\,^{\circ}\mathrm{C})=(0{,}50\,\mathrm{kg})(4\,186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})(20\,\mathrm{K})\approx42\,\mathrm{kJ} \, .$
Poiché $Q_{\mathrm{cedibile}}>Q_{\mathrm{fusione}}$ , tutto il ghiaccio fonde. Ai fini del bilancio energetico, possiamo considerare una sequenza equivalente: l’acqua inizialmente calda cede $Q_{\mathrm{fusione}}$ e si porta alla temperatura intermedia $T_{\mathrm{int}}>0\,^{\circ}\mathrm{C}$ , mentre l’acqua prodotta dalla fusione è a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ ; successivamente le due masse raggiungono l’equilibrio.
Temperatura intermedia $T_{\mathrm{int}}$ dell’acqua inizialmente calda nella sequenza di calcolo. Invertendo l’equazione (1.2) si ottiene:
$\begin{aligned} T_{\mathrm{int}}&=T_2-\frac{Q_{\mathrm{fusione}}}{m_2c_2}\\ &=20\,^{\circ}\mathrm{C}-\frac{33\,400\,\mathrm{J}}{(0{,}50\,\mathrm{kg})(4\,186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})}\\ &\approx4\,^{\circ}\mathrm{C} \, . \end{aligned}$
Il risultato è riportato alle unità; le cifre di guardia dei valori intermedi vengono conservate nel calcolo successivo.
Calcolo della temperatura finale $T_{\mathrm{eq}}$ . Applichiamo la formula (1.8) alle due masse d’acqua, quella prodotta dalla fusione a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ e quella inizialmente calda a $T_{\mathrm{int}}$ , ottenendo:
$\begin{aligned} T_{\mathrm{eq}}&=\frac{m_1\cdot0\,^{\circ}\mathrm{C}+m_2T_{\mathrm{int}}}{m_1+m_2}\\ &=\frac{m_2T_{\mathrm{int}}}{m_1+m_2}\\ &\approx\boxcolorato{semestrefiltro}{3\,^{\circ}\mathrm{C}} \, . \end{aligned}$
Il valore finale è arrotondato a una cifra significativa, senza sostituire nel calcolo il valore intermedio già arrotondato a $4\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Esercizio 53 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si pongono $0{,}20\,\mathrm{kg}$ di ghiaccio a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ in $0{,}30\,\mathrm{kg}$ di acqua a $40\,^{\circ}\mathrm{C}$ , in un sistema isolato. Quale situazione finale si ottiene?

A) la temperatura finale è $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ e restano circa $0{,}05\,\mathrm{kg}$ di ghiaccio;
B) tutto il ghiaccio fonde e la temperatura finale è $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
C) tutta l’acqua solidifica;
D) la temperatura finale è $40\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
E) la temperatura finale è $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ e restano circa $0{,}15\,\mathrm{kg}$ di ghiaccio.

Svolgimento

La risposta corretta è la A.

Indichiamo con il pedice $1$ l’acqua inizialmente calda e con il pedice $2$ il ghiaccio. Definendo $T_1=40\,^\circ \mathrm{C}$ verifichiamo preliminarmente se l’energia fornita dal raffreddamento dell’acqua calda fino a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ è sufficiente a fondere l’intera massa di ghiaccio a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Calore massimo ceduto dall’acqua calda per portarsi a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ (1.2).
$Q_{\mathrm{cedibile}} = m_{1} c_{1} (T_1 - 0\,^{\circ}\mathrm{C}) = (0{,}30\,\mathrm{kg}) \cdot (4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}) \cdot (40\,\mathrm{K}) = 50 \, 232\,\mathrm{J} \approx 50\,\mathrm{kJ} \, .$
Calore necessario per fondere completamente tutto il ghiaccio a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ (1.9).
$Q_{\mathrm{fusione, tot}} = m_{2} \lambda_{\mathrm{fus}}= (0{,}20\,\mathrm{kg}) \cdot (3{,}34 \cdot 10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}}) = 66 \, 800\,\mathrm{J} \approx 67\,\mathrm{kJ} \, .$
Poiché $Q_{\mathrm{cedibile}} < Q_{\mathrm{fusione,tot}}$ , l’acqua non dispone di energia sufficiente per fondere tutto il ghiaccio. Di conseguenza, il sistema raggiungerà un equilibrio termico con coesistenza di fase solida e liquida alla temperatura costante di $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ .
Massa di ghiaccio effettivamente fusa ( $m_{\mathrm{fusa}}$ ):
$m_{\mathrm{fusa}} = \frac{Q_{\mathrm{cedibile}}}{\lambda_{\mathrm{fus}}} = \frac{50\,\mathrm{kJ}}{3{,}34 \cdot 10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}}} \approx 0{,}15\,\mathrm{kg} \, .$
Massa di ghiaccio rimanente ( $m_{\mathrm{residua}}$ ):
$m_{\mathrm{residua}} = m_{2} - m_{\mathrm{fusa}} = 0{,}20\,\mathrm{kg} - 0{,}15\,\mathrm{kg} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{0{,}05\,\mathrm{kg}} \, .$

Esercizio 54 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Una massa di $0{,}050\,\mathrm{kg}$ di ghiaccio a $-10\,^{\circ}\mathrm{C}$ viene introdotta in $0{,}20\,\mathrm{kg}$ di acqua a $30\,^{\circ}\mathrm{C}$ , in un recipiente ideale. Assumendo la capacità termica del recipiente trascurabile, la temperatura finale è circa:

A) $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ , con ghiaccio residuo;
B) $2\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
C) $10\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
D) $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
E) $7\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la E.

Indichiamo con il pedice $1$ il ghiaccio, e successivamente l’acqua prodotta dalla sua fusione, e con il pedice $2$ l’acqua inizialmente liquida. In particolare, $c_1=c_{\mathrm{ghiaccio}}$ , $c_2=c_{\mathrm{acqua}}$ e $T_2$ è la temperatura iniziale dell’acqua.

Calore necessario per portare il ghiaccio da $-10\,^{\circ}\mathrm{C}$ a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ e fonderlo completamente. Per calcolarlo, si usano le relazioni (1.2) e (1.9):
$\begin{aligned} Q_{\mathrm{risc}}&=m_1c_1\Delta T_1=(0{,}050\,\mathrm{kg})(2\,100\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})(10\,\mathrm{K})\approx1{,}0\,\mathrm{kJ},\\ Q_{\mathrm{fus}}&=m_1\lambda_{\mathrm{fus}}=(0{,}050\,\mathrm{kg})(3{,}34\cdot10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}})\approx17\,\mathrm{kJ},\\ Q_{\mathrm{tot}}&=Q_{\mathrm{risc}}+Q_{\mathrm{fus}}\approx18\,\mathrm{kJ} \, . \end{aligned}$
Calore massimo cedibile dall’acqua calda per raffreddarsi da $30\,^{\circ}\mathrm{C}$ a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Indichiamo con $Q_{\mathrm{ced}}<0$ il calore ceduto; il suo modulo, dalla (1.2), è
$\begin{aligned} |Q_{\mathrm{ced}}|&=m_2c_2(T_2-0\,^{\circ}\mathrm{C})\\ &=(0{,}20\,\mathrm{kg})(4\,186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})(30\,\mathrm{K})\\ &\approx25\,\mathrm{kJ} \, . \end{aligned}$
Poiché $|Q_{\mathrm{ced}}|>Q_{\mathrm{tot}}$ , tutto il ghiaccio fonde. In una sequenza equivalente ai fini del bilancio, l’acqua inizialmente calda cede $Q_{\mathrm{tot}}$ e si porta a una temperatura intermedia $T_{\mathrm{int}}>0\,^{\circ}\mathrm{C}$ , mentre l’acqua prodotta dalla fusione è a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Le due masse vengono poi portate alla temperatura comune.
Temperatura intermedia $T_{\mathrm{int}}$ dell’acqua inizialmente calda. Invertendo la (1.2) e sostituendo i valori non arrotondati si ottiene:
$\begin{aligned} T_{\mathrm{int}}&=T_2-\frac{Q_{\mathrm{tot}}}{m_2c_2}\\ &=T_2-\frac{m_1c_1\Delta T_1+m_1\lambda_{\mathrm{fus}}}{m_2c_2}\\ &\approx9\,^{\circ}\mathrm{C} \, . \end{aligned}$
La temperatura è riportata alle unità, senza usare questo arrotondamento nel passaggio successivo.
Calcolo della temperatura finale $T_{\mathrm{eq}}$ . Applichiamo la formula (1.8) alle due masse d’acqua, quella prodotta dalla fusione a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ e quella inizialmente calda a $T_{\mathrm{int}}$ , ottenendo:
$\begin{aligned} T_{\mathrm{eq}}&=\frac{m_1\cdot0\,^{\circ}\mathrm{C}+m_2T_{\mathrm{int}}}{m_1+m_2}\\ &=\frac{m_2T_{\mathrm{int}}}{m_1+m_2}\\ &\approx\boxcolorato{semestrefiltro}{7\,^{\circ}\mathrm{C}} \, . \end{aligned}$

$\square$

Esercizio 55 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . L’evaporazione completa di $1{,}0\cdot10^2\,\mathrm{g}$ di sudore, assimilato all’acqua ai fini del calore latente e con il valore $\lambda_{\mathrm{vap}}$ indicato nelle notazioni, sottrae al corpo una quantità di calore pari a circa:

A) $23\,\mathrm{kJ}$ ;
B) $2{,}3\cdot 10^2\,\mathrm{kJ}$ ;
C) $4{,}2\cdot 10^2\,\mathrm{kJ}$ ;
D) $23\cdot 10^2\,\mathrm{J}$ ;
E) $23\cdot 10^5\,\mathrm{J}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la B.

L’evaporazione del sudore è il principale meccanismo di termoregolazione attraverso cui il corpo umano dissipa il calore in eccesso. Assimilando il sudore ad acqua liquida, la quantità di calore $Q$ sottratta all’organismo durante la transizione dalla fase liquida alla fase di vapore è fornita dalla legge del calore latente di vaporizzazione (1.9):

$Q = m \lambda_{\mathrm{vap}} \, .$

Convertendo la massa in chilogrammi ( $m = 1{,}0\cdot10^2\,\mathrm{g} = 0{,}10\,\mathrm{kg}$ ), approssimando il valore del calore latente di vaporizzazione dell’acqua a $\lambda_{\mathrm{vap}} = 2{,}26 \cdot 10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ e assumendo che tutto il calore latente sia sottratto dal corpo si ha:

$Q = (0{,}10\,\mathrm{kg}) \cdot (2{,}26 \cdot 10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}}) = 2{,}26 \cdot 10^5\,\mathrm{J} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{2{,}3\cdot10^2\,\mathrm{kJ}} \, .$

L’elevato valore di $\lambda_{\mathrm{vap}}$ evidenzia l’estrema efficienza fisiologica dell’evaporazione del sudore: una quantità relativamente contenuta di liquido sottratta al corpo permette di dissipare un quantitativo d’energia termica notevole.

$\square$

Esercizio 56 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . La condensazione di $5{,}0\,\mathrm{g}$ di vapore d’acqua alla temperatura di condensazione ( $100 \, ^\circ\mathrm{C}$ ) libera $\makebox[2cm]{\dotfill}$ $\mathrm{kJ}$ , considerando soltanto il calore latente (si faccia uso del valore convenzionale $\lambda_{\mathrm{vap}}=2{,}26\cdot10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ ).

Svolgimento

La risposta corretta è 11.

Trattandosi di una transizione di fase che avviene interamente alla temperatura di condensazione, l’energia liberata dipende esclusivamente dal calore latente di vaporizzazione/condensazione dell’acqua ( $\lambda_{\mathrm{vap}} = 2{,}26 \cdot 10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ ). La quantità di calore rilasciata in valore assoluto è data dalla relazione (1.9):

$|Q| = m \lambda_{\mathrm{vap}} \, .$

Convertendo la massa di vapore d’acqua nel Sistema Internazionale ( $m = 5{,}0\,\mathrm{g} = 5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg}$ ) si ottiene:

$|Q| = (5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg}) \cdot (2{,}26 \cdot 10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}}) = 11{,}3 \cdot 10^3\,\mathrm{J} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{11\,\mathrm{kJ}} \, .$

$\square$

Esercizio 57 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In una curva di riscaldamento (con il calore somministrato in ascissa e la temperatura corrispondente in ordinata) di una sostanza pura, un tratto orizzontale a pressione costante indica generalmente:

A) che il calore specifico è infinito in ogni stato;
B) che non viene fornita energia;
C) un cambiamento di stato a temperatura costante;
D) un raffreddamento a volume costante;
E) che la massa è nulla.

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{C}.}}$

In un grafico o curva di riscaldamento (temperatura della sostanza in ordinata, calore fornito in ascissa) per una sostanza pura a pressione costante, i tratti orizzontali prendono il nome di pianerottoli di sosta termica.

Figura 5: curva qualitativa di riscaldamento di una sostanza pura a pressione costante: i due pianerottoli corrispondono alle soste termiche durante la fusione e l’ebollizione.

In corrispondenza di tali tratti, l’energia termica somministrata dall’esterno sotto forma di calore non aumenta l’energia cinetica media delle particelle (pertanto la temperatura rimane inalterata, $\Delta T = 0$ ), ma viene impiegata esclusivamente come calore latente per completare il passaggio da una fase all’altra (ad esempio fusione o ebollizione).

$\square$

Esercizio 58 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un riscaldatore ideale da $1{,}0\,\mathrm{kW}$ porta $0{,}50\,\mathrm{kg}$ di acqua da $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ a $100\,^{\circ}\mathrm{C}$ e successivamente ne vaporizza $0{,}10\,\mathrm{kg}$ . Il tempo complessivo è circa:

A) $1{,}7\,\mathrm{min}$ ;
B) $3{,}3\,\mathrm{min}$ ;
C) $5{,}0\,\mathrm{min}$ ;
D) $9{,}8\,\mathrm{min}$ ;
E) $6{,}6\,\mathrm{min}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la E.

Il processo complessivo si compone di due fasi energetiche distinte alimentate dalla potenza costante del riscaldatore:

Riscaldamento dell’acqua liquida da $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ a $100\,^{\circ}\mathrm{C}$ ( $\Delta T=80\,\mathrm{K}$ ): si calcola il calore $Q_1$ necessario per l’intera massa $m=0{,}50\,\mathrm{kg}$ mediante la (1.2):
$Q_1=mc_{\mathrm{acqua}}\Delta T=(0{,}50\,\mathrm{kg})(4\,186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})(80\,\mathrm{K})\approx1{,}7\cdot10^5\,\mathrm{J} \, .$
Vaporizzazione parziale dell’acqua ( $m_{\mathrm{vap}}=0{,}10\,\mathrm{kg}$ ) a $100\,^{\circ}\mathrm{C}$ : si calcola il calore $Q_2$ necessario usando la (1.9):
$Q_2=m_{\mathrm{vap}}\lambda_{\mathrm{vap}}=(0{,}10\,\mathrm{kg})(2{,}26\cdot10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}})\approx2{,}3\cdot10^5\,\mathrm{J} \, .$
Energia totale richiesta e tempo. Sommando i valori prima dell’arrotondamento, si ottiene
$Q_{\mathrm{tot}}=Q_1+Q_2\approx3{,}9\cdot10^5\,\mathrm{J} \, .$
La potenza del riscaldatore è $\mathcal{P}=1{,}0\,\mathrm{kW}=1{,}0\cdot10^3\,\mathrm{W}=1{,}0\cdot10^3\,\mathrm{J\,s^{-1}}$ . Conservando le cifre di guardia dell’energia nel calcolo del tempo:
$t=\frac{Q_{\mathrm{tot}}}{\mathcal{P}}\approx3{,}9\cdot10^2\,\mathrm{s}\approx\boxcolorato{semestrefiltro}{6{,}6\,\mathrm{min}} \, .$

$\square$

Esercizio 59 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In un contenitore isolato sono presenti $0{,}10\,\mathrm{kg}$ di ghiaccio e $0{,}10\,\mathrm{kg}$ di acqua, entrambi a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ e a pressione ambiente. In assenza di altri scambi energetici, quale affermazione è corretta?

A) il sistema può restare in equilibrio a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ senza variazione netta delle masse delle due fasi;
B) tutto il ghiaccio fonde spontaneamente e la temperatura sale;
C) tutta l’acqua solidifica spontaneamente e la temperatura scende;
D) la temperatura diventa necessariamente $50\,^{\circ}\mathrm{C}$ ;
E) il sistema cede sempre calore all’esterno.

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{A}.}}$

Poiché ghiaccio e acqua si trovano entrambi a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ , ossia alla temperatura di transizione di fase, non esiste alcuna differenza di temperatura tra le due fasi ( $\Delta T = 0$ ) e quindi nessun flusso di calore sensibile tra loro.

$\square$

Esercizio 60 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . In un recipiente isolato, $0{,}10\,\mathrm{kg}$ di vapore d’acqua a $100\,^{\circ}\mathrm{C}$ vengono messi a contatto con $0{,}50\,\mathrm{kg}$ di ghiaccio a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Si assumano $\lambda_{\mathrm{vap}}=2{,}26\cdot10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ , $\lambda_{\mathrm{fus}}=3{,}34\cdot10^5\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$ e $c_\mathrm{acqua}=4\, 186\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ . La situazione finale a pressione atmosferica, assumendo trascurabile la capacità termica del recipiente, prevede una temperatura di circa $\makebox[2cm]{\dotfill}$ $^\circ \mathrm{C}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è 40.

Indichiamo con il pedice $1$ il ghiaccio, e successivamente l’acqua prodotta dalla sua fusione, e con il pedice $2$ il vapore, e successivamente l’acqua prodotta dalla sua condensazione. Poniamo inoltre $T_1=0\,^{\circ}\mathrm{C}$ , $T_2=100\,^{\circ}\mathrm{C}$ e $c=c_{\mathrm{acqua}}$ . Assumiamo, ai fini del calcolo, che tutto il ghiaccio fonda e tutto il vapore condensi e che la temperatura finale sia strettamente compresa tra $T_1$ e $T_2$ . Verificheremo a posteriori questa ipotesi.

Il calore assorbito dalla massa $m_1$ serve a fondere il ghiaccio e a riscaldare l’acqua ottenuta da $T_1$ a $T_{\mathrm{eq}}$ . Il calore ceduto dalla massa $m_2$ comprende invece la condensazione del vapore e il raffreddamento dell’acqua ottenuta da $T_2$ a $T_{\mathrm{eq}}$ . Uguagliando il calore assorbito al modulo di quello ceduto, dalla (1.6) si ha

$m_1\lambda_{\mathrm{fus}}+m_1c(T_{\mathrm{eq}}-T_1) =m_2\lambda_{\mathrm{vap}}+m_2c(T_2-T_{\mathrm{eq}}) \, .$

Raccogliendo i termini contenenti $T_{\mathrm{eq}}$ si ottiene

$(m_1+m_2)cT_{\mathrm{eq}}=m_1cT_1-m_1\lambda_{\mathrm{fus}}+m_2\lambda_{\mathrm{vap}}+m_2cT_2 \, .$

Dividendo per $(m_1+m_2)c$ e sostituendo i dati si ha

$T_{\mathrm{eq}}=\frac{m_1cT_1-m_1\lambda_{\mathrm{fus}}+m_2\lambda_{\mathrm{vap}}+m_2cT_2}{(m_1+m_2)c}\approx\boxcolorato{semestrefiltro}{40\,^{\circ}\mathrm{C}} \, .$

Il valore ottenuto soddisfa $T_1<T_{\mathrm{eq}}<T_2$ ed è quindi coerente con l’ipotesi di uno stato finale interamente liquido. Infatti, il calore latente liberato dalla condensazione completa del vapore non basta a fondere tutto il ghiaccio e a portare l’acqua ottenuta fino a $T_2$ ; non può quindi permanere vapore nello stato finale. D’altra parte, il calore liberato dalla condensazione completa del vapore e dal successivo raffreddamento dell’acqua fino a $T_1$ supera quello necessario a fondere tutto il ghiaccio; non può quindi permanere ghiaccio.

$\square$

Conduzione, convezione e irraggiamento

Esercizio 61 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . La conduzione termica è un trasferimento di energia che avviene principalmente:

A) soltanto nel vuoto;
B) attraverso interazioni microscopiche, senza trasporto macroscopico netto di materia;
C) mediante il moto globale obbligatorio di un liquido;
D) esclusivamente tramite onde elettromagnetiche;
E) soltanto durante un cambiamento di stato.

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{B}.}}$

La conduzione termica è una delle modalità fondamentali di trasmissione del calore, caratteristica principale dei corpi solidi. Nei fluidi e nei gas il suo contributo alla trasmissione del calore può essere inferiore o trascurabile rispetto alla convezione.

Il trasferimento di energia avviene a livello atomico e molecolare. Le particelle dotate di maggiore energia cinetica (situate nelle zone a temperatura più alta) la trasmettono a quelle adiacenti meno energetiche attraverso urti diretti, interazioni interatomiche e vibrazioni del reticolo cristallino. A differenza della convezione, nella conduzione termica non vi è moto macroscopico netto del mezzo.

Affinché la conduzione abbia luogo è indispensabile la presenza di un mezzo materiale; di conseguenza essa non può avvenire nel vuoto.

$\square$

Esercizio 62 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Per una parete piana omogenea, in regime stazionario, la potenza termica condotta può essere modellata da $\makebox[2cm]{\dotfill}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è $\mathcal{P}_{\mathrm{cond}} = \frac{k_{\mathrm{th}} A \Delta T}{\ell}$ .

La potenza termica condotta (quantità di calore trasmessa nell’unità di tempo $\mathcal{P} = \frac{Q}{\Delta t}$ ) attraverso uno strato di materiale omogeneo in regime stazionario è descritta dalla legge di Fourier unidimensionale

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\mathcal{P}_{\mathrm{cond}} = \frac{k_{\mathrm{th}} A \Delta T}{\ell}} \, ,$

dove:

$k_{\mathrm{th}}$ è la conducibilità termica del materiale (espressa in $\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ );
$A$ è l’area della superficie trasversale attraversata dal flusso di calore ( $\mathrm{m^2}$ );
$\Delta T = T_1 - T_2$ è la differenza di temperatura tra le due facce della parete ( $\mathrm{K}$ o $^{\circ}\mathrm{C}$ );
$\ell$ è lo spessore della parete ( $\mathrm{m}$ ).

$\square$

Esercizio 63 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . A parità di materiale, area e differenza di temperatura, se lo spessore di una parete viene raddoppiato, la potenza termica condotta:

A) quadruplica;
B) raddoppia;
C) si dimezza;
D) resta invariata;
E) diventa nulla per qualunque spessore.

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{C}.}}$

La potenza termica condotta attraverso una parete piana in regime stazionario è regolata dalla legge di Fourier (1.10):

$\mathcal{P}_{\mathrm{cond}} = \frac{k_{\mathrm{th}} A \Delta T}{\ell} \, .$

Analizzando la relazione matematica e le condizioni imposte dal problema si conclude che essendo $\mathcal{P}_{\mathrm{cond}}$ inversamente proporzionale a $\ell$ , spessore della parete, se il valore di $\ell$ raddoppia, allora $\mathcal{P}_{\mathrm{cond}}$ si dimezza.

$\square$

Esercizio 64 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una parete ha conducibilità $k_{\mathrm{th}}=0{,}80\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ , area $A=2{,}0\,\mathrm{m^2}$ , spessore $\ell=0{,}10\,\mathrm{m}$ e differenza di temperatura tra le facce pari a $15\,\mathrm{K}$ . La potenza condotta è:

A) $240\,\mathrm{W}$ ;
B) $24\,\mathrm{W}$ ;
C) $12\,\mathrm{W}$ ;
D) $120\,\mathrm{W}$ ;
E) $2{,}4\,\mathrm{kJ}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la A.

Per calcolare la potenza termica condotta attraverso la parete in regime stazionario, si applica la legge di Fourier (1.10):

$\mathcal{P}_{\mathrm{cond}} = \frac{k_{\mathrm{th}} A \Delta T}{\ell}\, .$

Sostituendo i dati forniti dal problema si ottiene:

$\mathcal{P}_{\mathrm{cond}} = \frac{(0{,}80\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}) \cdot (2{,}0\,\mathrm{m^2}) \cdot (15\,\mathrm{K})}{0{,}10\,\mathrm{m}} = \boxcolorato{semestrefiltro}{240\,\mathrm{W}} \, .$

$\square$

Esercizio 65 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Uno strato isolante ha $k_{\mathrm{th}}=0{,}040\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ , area $10\,\mathrm{m^2}$ , spessore $0{,}10\,\mathrm{m}$ e differenza di temperatura $20\,\mathrm{K}$ . La potenza termica dispersa per conduzione è $\makebox[2cm]{\dotfill}$ $\mathrm{W}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è 80.

Per determinare la potenza termica dispersa per conduzione attraverso lo strato isolante, si utilizza la legge di Fourier per una parete piana in regime stazionario (1.10):

$\mathcal{P}_{\mathrm{cond}} = \frac{k_{\mathrm{th}} A \Delta T}{\ell} \, .$

Sostituendo i valori numerici del problema si ottiene:

$\mathcal{P}_{\mathrm{cond}} = \frac{(0{,}040\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}) \cdot (10\,\mathrm{m^2}) \cdot (20\,\mathrm{K})}{0{,}10\,\mathrm{m}} = \boxcolorato{semestrefiltro}{80 \, \mathrm{W}} \, .$

$\square$

Esercizio 66 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Attraverso una lastra piana e omogenea di spessore $0{,}050\,\mathrm{m}$ e area $0{,}50\,\mathrm{m^2}$ passa una potenza termica di $100\,\mathrm{W}$ quando la differenza di temperatura è $20\,\mathrm{K}$ . La conducibilità termica, assumendo un flusso unidimensionale e stazionario, vale:

A) $0{,}10\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ ;
B) $0{,}50\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ ;
C) $2{,}0\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ ;
D) $5{,}0\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ ;
E) $20\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la B.

Per ricavare la conducibilità termica $k_{\mathrm{th}}$ , utilizziamo l’equazione (1.10) per la conduzione termica piana in regime stazionario:

$\mathcal{P}_{\mathrm{cond}} = \frac{k_{\mathrm{th}}A\Delta T}{\ell} \, .$

Esplicitando il termine $k_{\mathrm{th}}$ dall’equazione (1.10), si ottiene la formula inversa:

$k_{\mathrm{th}} = \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{cond}} \ell}{A \Delta T} \, .$

Sostituendo nell’equazione precedente i valori forniti dal problema ( $\mathcal{P}_{\mathrm{cond}} = 100\,\mathrm{W}$ , $\ell = 0{,}050\,\mathrm{m}$ , $A = 0{,}50\,\mathrm{m^2}$ e $\Delta T = 20\,\mathrm{K}$ ) si ottiene:

$k_{\mathrm{th}} = \frac{(100\,\mathrm{W}) \cdot (0{,}050\,\mathrm{m})}{(0{,}50\,\mathrm{m^2}) \cdot (20\,\mathrm{K})} = \boxcolorato{semestrefiltro}{0{,}50\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}} \, .$

$\square$

Esercizio 67 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due strati piani in serie e in perfetto contatto (trascurando resistenze di contatto) sono attraversati dalla stessa potenza termica trasmessa in regime stazionario. Hanno area $1{,}0\,\mathrm{m^2}$ ; il primo ha $\ell_1=0{,}020\,\mathrm{m}$ , $k_{\mathrm{th,1}}=0{,}20\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ , il secondo $\ell_2=0{,}040\,\mathrm{m}$ , $k_{\mathrm{th,2}}=0{,}040\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ . Se la differenza di temperatura complessiva è $20\,\mathrm{K}$ , la potenza condotta è circa:

A) $2{,}0\,\mathrm{W}$ ;
B) $10\,\mathrm{W}$ ;
C) $20\,\mathrm{W}$ ;
D) $200\,\mathrm{W}$ ;
E) $18\,\mathrm{W}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la E.

Applichiamo la formula per la parete multistrato (1.13) ai due strati in serie. Si trascurano i termini convettivi, poiché la differenza di temperatura assegnata è riferita alle facce esterne della parete; inoltre, come indicato nel testo, le resistenze di contatto sono trascurabili. Indicando con $\Delta T$ la differenza di temperatura complessiva, si ottiene direttamente

$\begin{aligned} \mathcal{P}_{\mathrm{cond}}&=\frac{\Delta T}{\displaystyle\frac{\ell_1}{k_{\mathrm{th},1}A}+\frac{\ell_2}{k_{\mathrm{th},2}A}}\\ &=\frac{20\,\mathrm{K}}{\displaystyle\frac{0{,}020\,\mathrm{m}}{(0{,}20\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}})(1{,}0\,\mathrm{m^2})}+\frac{0{,}040\,\mathrm{m}}{(0{,}040\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}})(1{,}0\,\mathrm{m^2})}}\\ &\approx\boxcolorato{semestrefiltro}{18\,\mathrm{W}} \, . \end{aligned}$

$\square$

Esercizio 68 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un tratto di tessuto biologico omogeneo, trascurando perfusione e generazione interna e in regime stazionario, viene modellizzato come uno strato piano con $k_{\mathrm{th}}=0{,}50\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ , area $0{,}020\,\mathrm{m^2}$ , spessore $0{,}010\,\mathrm{m}$ e differenza di temperatura $5{,}0\,\mathrm{K}$ . La potenza condotta è:

A) $0{,}50\,\mathrm{W}$ ;
B) $2{,}0\,\mathrm{W}$ ;
C) $5{,}0\,\mathrm{W}$ ;
D) $10\,\mathrm{W}$ ;
E) $50\,\mathrm{W}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la C.

Per calcolare la potenza termica condotta attraverso lo strato di tessuto biologico, si applica l’equazione (1.10) per la conduzione termica piana in regime stazionario:

$\mathcal{P}_{\mathrm{cond}} = \frac{k_{\mathrm{th}} A \Delta T}{\ell} \, .$

Sostituendo nell’equazione i valori forniti dal testo ( $k_{\mathrm{th}} = 0{,}50\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ , $A = 0{,}020\,\mathrm{m^2}$ , $\Delta T = 5{,}0\,\mathrm{K}$ e $\ell = 0{,}010\,\mathrm{m}$ ) si ottiene:

$\mathcal{P}_{\mathrm{cond}} = \frac{(0{,}50\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}) \cdot (0{,}020\,\mathrm{m^2}) \cdot (5{,}0\,\mathrm{K})}{0{,}010\,\mathrm{m}} = \boxcolorato{semestrefiltro}{5{,}0 \, \mathrm{W}} \, .$

$\square$

Esercizio 69 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . La convezione è il trasferimento di calore associato principalmente al moto macroscopico di un $\makebox[2cm]{\dotfill}$ .

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è \textcolor{red}{fluido}.}}$

La convezione è la modalità di trasmissione del calore tipica dei fluidi (liquidi e gas). Il trasferimento di energia avviene attraverso il moto macroscopico di materia (correnti convettive), generato da differenze di densità causate da gradienti di temperatura (convezione naturale) oppure da forze esterne come pompe o ventilatori (convezione forzata).

$\square$

Esercizio 70 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Nella convezione naturale, il moto del fluido è generato soprattutto:

A) da una pompa o da un ventilatore;
B) dalla sola conduzione elettronica;
C) dalla radiazione ultravioletta;
D) da differenze di densità prodotte da gradienti di temperatura, in presenza della gravità;
E) da un cambiamento di fase obbligatorio.

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{D}.}}$

La convezione naturale è la modalità di scambio termico in cui il movimento del fluido si innesca spontaneamente all’interno del sistema, in accordo con il modello espresso dall’equazione (1.11).

Quando una porzione di fluido viene riscaldata a contatto con una superficie a temperatura $T_{\mathrm{s}} > T_{\mathrm{fluido}}$ , essa si espande e la sua densità diminuisce. In presenza di un campo gravitazionale, la porzione di fluido più calda e meno densa riceve una spinta verso l’alto (spinta di galleggiamento o di Archimede), mentre il fluido più freddo e più denso tende a scendere verso il basso.

Questo ciclo continuo di salita e discesa genera un moto macroscopico spontaneo di materia (correnti convettive) che trasporta l’energia all’interno del fluido senza l’ausilio di dispositivi meccanici esterni.

$\square$

Esercizio 71 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Quale situazione è un esempio di convezione forzata?

A) l’aria calda che sale spontaneamente sopra un termosifone;
B) un ventilatore che spinge aria su una superficie calda;
C) il calore che attraversa una parete di rame;
D) l’energia solare che raggiunge la Terra;
E) la fusione del ghiaccio a $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{B}.}}$

Si parla di convezione forzata quando la circolazione del fluido non avviene spontaneamente per sola spinta di galleggiamento termica, ma viene imposta da un dispositivo meccanico esterno (come un ventilatore, una pompa o un compressore). Il flusso d’aria generato dal ventilatore incrementa la potenza scambiata. L’aria calda che sale spontaneamente sopra un termosifone (opzione A) costituisce un classico esempio di convezione naturale, guidata dalle variazioni di densità dovute al riscaldamento.

Esercizio 72 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una superficie corporea di area $1{,}8\,\mathrm{m^2}$ è a $34\,^{\circ}\mathrm{C}$ , mentre l’aria è a $24\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Se il coefficiente convettivo medio è $h_{\mathrm{conv}}=10\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$ , la potenza termica ceduta per convezione è:

A) $18\,\mathrm{W}$ ;
B) $34\,\mathrm{W}$ ;
C) $100\,\mathrm{W}$ ;
D) $3{,}6\cdot10^2\,\mathrm{W}$ ;
E) $1{,}8\cdot10^2\,\mathrm{W}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la E.

Per determinare la potenza termica ceduta dal corpo all’aria circostante tramite convezione, si utilizza il modello medio espresso dall’equazione (1.11):

$\mathcal{P}_{\mathrm{conv}} = h_{\mathrm{conv}} A (T_{\mathrm{s}} - T_{\mathrm{fluido}}) \, .$

Sostituendo nell’equazione (1.11) i dati numerici forniti dal problema si ottiene:

$\mathcal{P}_{\mathrm{conv}} = (10\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}) \cdot (1{,}8\,\mathrm{m^2}) \cdot (10\,\mathrm{K}) = \boxcolorato{semestrefiltro}{1{,}8\cdot10^2\,\mathrm{W}} \, .$

Esercizio 73 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . A parità di area e di differenza di temperatura tra pelle e aria, l’aumento della velocità del vento tende generalmente a:

A) ridurre a zero ogni scambio convettivo;
B) invertire necessariamente il verso del calore;
C) aumentare il coefficiente convettivo e quindi il modulo della potenza scambiata;
D) modificare il calore latente di fusione dell’acqua;
E) rendere uguali conduzione e irraggiamento.

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{C}.}}$

La dipendenza della potenza convettiva dalle condizioni di flusso d’aria è descritta dalla legge espressa dall’equazione (1.11):

$\mathcal{P}_{\mathrm{conv}} = h_{\mathrm{conv}} A (T_{\mathrm{s}} - T_{\mathrm{fluido}}) \, .$

Quando la velocità del vento aumenta, si passa da un regime di convezione prevalentemente naturale a uno di convezione forzata. Il flusso d’aria più rapido rimuove continuamente lo strato limite di aria calda a contatto con la pelle, sostituendolo con aria alla temperatura indisturbata dell’ambiente. Questo processo incrementa notevolmente il valore del coefficiente di scambio termico convettivo $h_\mathrm{conv}$ .

Mantenendo costanti l’area $A$ e la differenza di temperatura $(T_{\mathrm{s}} - T_{\mathrm{fluido}})$ , un valore di $h_\mathrm{conv}$ più elevato nell’equazione (1.11) determina direttamente un aumento proporzionale della potenza termica ceduta $\mathcal{P}_{\mathrm{conv}}$ (effetto del raffreddamento da vento o wind chill).

Esercizio 74 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Quale meccanismo di trasmissione del calore può avvenire anche nel vuoto?

A) l’irraggiamento;
B) la conduzione;
C) la convezione naturale;
D) la convezione forzata;
E) la diffusione molecolare di un liquido.

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{A}.}}$

Come sintetizzato nell’introduzione teorica del paragrafo dedicato alla trasmissione del calore, l’irraggiamento avviene tramite l’emissione e l’assorbimento di onde elettromagnetiche (principalmente nella banda dell’infrarosso) generate dall’agitazione termica delle cariche elettriche della materia. Poiché le onde elettromagnetiche si propagano anche nel vuoto alla velocità della luce, questo meccanismo non necessita di alcun mezzo materiale interposto.

La conduzione richiede il contatto diretto e l’interazione microscopica (vibrazioni reticolari o urti tra elettroni) all’interno di un mezzo solido, liquido o gassoso.
La convezione, sia naturale che forzata, si basa sul movimento macroscopico di porzioni di fluido (liquidi o gas).

Esercizio 75 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . La potenza netta scambiata per irraggiamento da una superficie di area $A$ , emissività $\varepsilon$ , temperatura assoluta $T_{\mathrm{s}}$ e ambiente a temperatura $T_{\mathrm{amb}}$ è modellizzata da:

A) $\mathcal{P}=\frac{k_{\mathrm{th}}A(T_{\mathrm{s}}-T_{\mathrm{amb}})}{\ell}$ ;
B) $\mathcal{P}=h_{\mathrm{conv}}A(T_{\mathrm{s}}-T_{\mathrm{amb}})$ ;
C) $\mathcal{P}=mc(T_{\mathrm{s}}-T_{\mathrm{amb}})$ ;
D) $\mathcal{P}=\varepsilon\sigma_{\mathrm{SB}} A(T_{\mathrm{s}}^4-T_{\mathrm{amb}}^4)$ ;
E) $\mathcal{P}=m\lambda_{\mathrm{vap}}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la D.

Come riportato nell’equazione (1.12), la potenza netta scambiata per irraggiamento tra una superficie a temperatura assoluta $T_{\mathrm{s}}$ e l’ambiente circostante a temperatura assoluta $T_{\mathrm{amb}}$ è governata dalla legge di Stefan-Boltzmann:

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\mathcal{P}_{\mathrm{irr}} = \varepsilon \sigma_{\mathrm{SB}} A \left(T_{\mathrm{s}}^4 - T_{\mathrm{amb}}^4\right)} \, ,$

dove $\varepsilon$ è l’emissività della superficie ( $0 \le \varepsilon \le 1$ ), $\sigma_{\mathrm{SB}}$ è la costante di Stefan-Boltzmann ( $\sigma_{\mathrm{SB}} \approx 5{,}67 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}}$ ) e le temperature $T_{\mathrm{s}}$ e $T_{\mathrm{amb}}$ devono essere sempre espresse in kelvin ( $\mathrm{K}$ ).

Esercizio 76 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una superficie nera di area $0{,}10\,\mathrm{m^2}$ si trova a $400\,\mathrm{K}$ in un ambiente a $300\,\mathrm{K}$ . Assumendo $\varepsilon=1$ e $\sigma_{\mathrm{SB}}=5{,}67\cdot10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$ , la potenza netta irradiata è circa $\makebox[2cm]{\dotfill}$ $\mathrm{W}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è 99.

Per calcolare la potenza netta irradiata dalla superficie nera ( $\varepsilon = 1$ ), utilizziamo la legge di Stefan-Boltzmann espressa dall’equazione (1.12):

$\mathcal{P}_{\mathrm{irr}} = \varepsilon \sigma_{\mathrm{SB}} A \left(T_{\mathrm{s}}^4 - T_{\mathrm{amb}}^4\right) \, .$

Sostituendo nell’equazione (1.12) i valori forniti dal testo ( $A = 0{,}10\,\mathrm{m^2}$ , $\varepsilon = 1$ , $T_{\mathrm{s}} = 400\,\mathrm{K}$ , $T_{\mathrm{amb}} = 300\,\mathrm{K}$ e $\sigma_{\mathrm{SB}} = 5{,}67 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$ ) si ottiene:

$\mathcal{P}_{\mathrm{irr}} = (1) \cdot (5{,}67 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}) \cdot (0{,}10\,\mathrm{m^2}) \cdot (1{,}75 \cdot 10^{10}\,\mathrm{K}^{4}) \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{99\,\mathrm{W}} \, .$

Il valore di calcolo è $99{,}225\,\mathrm{W}$ ; si riporta $99\,\mathrm{W}$ , con due cifre significative come l’area assegnata.

Esercizio 77 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una persona viene modellizzata con area radiante $1{,}8\,\mathrm{m^2}$ , emissività $0{,}95$ , temperatura cutanea $307\,\mathrm{K}$ e ambiente a $295\,\mathrm{K}$ . La potenza netta ceduta per irraggiamento è circa:

A) $27\,\mathrm{W}$ ;
B) $54\,\mathrm{W}$ ;
C) $85\,\mathrm{W}$ ;
D) $2{,}5\cdot10^2\,\mathrm{W}$ ;
E) $1{,}3\cdot10^2\,\mathrm{W}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è la E.

Per calcolare la potenza netta ceduta per irraggiamento dalla superficie corporea, si applica la legge di Stefan-Boltzmann descritta nell’equazione (1.12):

$\mathcal{P}_{\mathrm{irr}} = \varepsilon \sigma_{\mathrm{SB}} A \left(T_{\mathrm{s}}^4 - T_{\mathrm{amb}}^4\right) \, .$

Sostituendo nell’equazione (1.12) i valori forniti dal problema ( $\varepsilon = 0{,}95$ , $A = 1{,}8\,\mathrm{m^2}$ , $T_{\mathrm{s}} = 307\,\mathrm{K}$ , $T_{\mathrm{amb}} = 295\,\mathrm{K}$ e la costante $\sigma_{\mathrm{SB}} = 5{,}67 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$ ) si ottiene:

$\mathcal{P}_{\mathrm{irr}} \approx (0{,}95) \cdot (5{,}67 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}) \cdot (1{,}8\,\mathrm{m^2}) \cdot (1{,}3095 \cdot 10^9\,\mathrm{K}^4) \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{1{,}3\cdot10^2\,\mathrm{W}} \, .$

Osserviamo che, con queste ipotesi, l’energia dispersa da una persona in un giorno per solo irraggiamento sarebbe maggiore di 2500 kcal, mentre l’alimentazione ne apporta in media solo 2000. L’incongruenza deriva dall’aver supposto l’intera superficie corporea come radiante, mentre invece molte parti del corpo irradiano sul corpo stesso, diminuendo sensibilmente l’energia dispersa. Inoltre l’utilizzo di indumenti contribuisce fortemente a ridurre l’energia dispersa per irraggiamento.

Esercizio 78 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . A parità di area e temperature, una superficie con emissività minore:

A) irradia necessariamente più potenza;
B) non può mai assorbire radiazione;
C) scambia meno potenza per irraggiamento;
D) ha sempre temperatura maggiore;
E) trasferisce calore soltanto per convezione.

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{C}.}}$

La dipendenza della potenza termica radiativa dall’emissività della superficie è stabilita dalla legge di Stefan-Boltzmann descritta nell’equazione (1.12):

$\mathcal{P}_{\mathrm{irr}} = \varepsilon \sigma_{\mathrm{SB}} A \left(T_{\mathrm{s}}^4 - T_{\mathrm{amb}}^4\right) \, .$

A parità di area e temperature, $\mathcal{P}_{\mathrm{irr}}$ è direttamente proporzionale all’emissività $\mathrm{\varepsilon}$ . Dunque, se quest’ultima diminuisce, anche la potenza scambiata per irraggiamento diminuisce.

Esercizio 79 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Assumendo che la temperatura dell’ambiente sia allo zero assoluto, a parità di area e di emissività costante e non nulla, se la temperatura assoluta di un corpo raddoppia, la potenza emessa per irraggiamento:

A) aumenta di un fattore $16$ ;
B) raddoppia;
C) aumenta di un fattore $4$ ;
D) aumenta di un fattore $8$ ;
E) resta invariata.

Svolgimento

$\boxcolorato{semestrefiltro}{\parbox{5cm}{\raggedright La risposta corretta è la \textcolor{red}{A}.}}$

Per ricavare la variazione della potenza emessa per irraggiamento, si applica la legge di Stefan–Boltzmann (1.12). Con $T_{\mathrm{amb}}=0\,\mathrm{K}$ si ottiene

$\mathcal{P}_{\mathrm{irr}}=\varepsilon\sigma_{\mathrm{SB}}AT^4 \, .$

A parità di area $A$ ed emissività $\varepsilon>0$ , la potenza emessa è direttamente proporzionale alla quarta potenza della temperatura assoluta. Dunque, se $T$ raddoppia, $T^4$ viene moltiplicata per $16$ e lo stesso accade alla potenza irradiata.

Esercizio 80 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una superficie di area $1{,}0\,\mathrm{m^2}$ si trova a $310\,\mathrm{K}$ in un ambiente a $295\,\mathrm{K}$ . Si assumano $h_\mathrm{conv}=8{,}0\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$ , $\varepsilon=0{,}90$ e $\sigma_{\mathrm{SB}}=5{,}67\cdot10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$ . Considerando convezione e irraggiamento, la potenza totale ceduta è circa $\makebox[2cm]{\dotfill}$ $\mathrm{W}$ .

Svolgimento

La risposta corretta è $2{,}0 \cdot 10^2$ .

La potenza totale ceduta dalla superficie all’ambiente è la somma dei contributi contemporanei di convezione e irraggiamento:

$\mathcal{P}_{\mathrm{tot}} = \mathcal{P}_{\mathrm{conv}} + \mathcal{P}_{\mathrm{irr}} \, .$

1. Potenza convettiva ( $\mathcal{P}_{\mathrm{conv}}$ ): Utilizzando la relazione per la convezione (1.11), con $T_{\mathrm{s}} = 310\,\mathrm{K}$ e $T_{\mathrm{fluido}} = 295\,\mathrm{K}$ si ottiene:

$\mathcal{P}_{\mathrm{conv}} = h_\mathrm{conv} A (T_{\mathrm{s}} - T_{\mathrm{fluido}}) = (8{,}0 \, \mathrm{W \, m^{-2} \, K^{-1}})(1{,}0\, \mathrm{m}^2)(310 \, \mathrm{K} - 295\, \mathrm{K}) =1{,}2\cdot 10^2\,\mathrm{W} \, .$

2. Potenza radiativa netta ( $\mathcal{P}_{\mathrm{irr}}$ ): Utilizzando l’equazione per l’irraggiamento (1.12), con $T_{\mathrm{amb}} = 295\,\mathrm{K}$ si ottiene:

$\mathcal{P}_{\mathrm{irr}} = \varepsilon \sigma_{\mathrm{SB}} A \left(T_{\mathrm{s}}^4 - T_{\mathrm{amb}}^4\right) = (0{,}90)(5{,}67\cdot10^{-8} \, \mathrm{W \, m^{-2} \, K^{-4}})(1{,}0 \, \mathrm{m}^2)\left(310^4\, \mathrm{K}^4- 295^4\, \mathrm{K}^4\right) \approx 85\,\mathrm{W} \, .$

3. Somma dei contributi:

$\mathcal{P}_{\mathrm{tot}} = 120\,\mathrm{W} + 85 \,\mathrm{W} \approx \boxcolorato{semestrefiltro}{2{,}0 \cdot 10^2\,\mathrm{W}} \, .$

Riferimenti bibliografici

[1] Çengel, Y.A. & Boles, M.A., Termodinamica e Trasmissione del Calore, McGraw-Hill (2009).

[2] Cromer, A.H., Fisica per Medicina, Farmacia e Scienze Biologiche, Piccin (1980).

[3] Focardi, S., Massa, I. & Uguzzoni, A., Fisica Generale – Termodinamica ed Elettromagnetismo, Casa Editrice Ambrosiana (2003).

[4] Halliday, D., Resnick, R. & Walker, J., Fondamenti di Fisica – Termologia, Termodinamica, Onde, Zanichelli (2001).

[5] Mazzoldi, P., Nigro, M. & Voci, C., Fisica Generale – Meccanica e Termodinamica, EdiSES (2000).

[6] Serway, R.A. & Jewett, J.W., Principi di Fisica – Volume I, EdiSES (2008).

Alessio Fulvi

Un sito molto utile, professionale e chiaro, che approfondisce vari argomenti. Ho utilizzato questo sito per prepararmi a diversi esami, lo stesso mi ha fornito di strumenti adatti e specifici, permettendomi di colmare lacune che mi portavo avanti dai tempi del liceo. Il sito web è adatto ad una ricerca e risoluzione rapida di ogni quesito inerente alle materie trattate, facile ed intuitivo da utilizzare. Grazie e ben fatto.

Diego Aracri

ho trovato questo sito mentre preparavo analisi 1 ed ho deciso di consultarlo. mi sono trovato benissimo, ha molto materiale da consultare, sia teorico che pratico, e ogni esercizio è spiegato nei minimi dettagli. consigliatissimo, dubito che altrimenti avrei passato l'esame!

Alessandro Morra

Grazie, molto rigoroso e chiaro

martina toro

Sito meraviglioso! Ho scoperto per caso questo sito perché cercavo le soluzioni degli esercizi di Fisica del libro "Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde" del Mazzoldi. Riescono a spiegare in modo chiaro ed esaustivo come si svolgono i problemi. Sono un'ottima risorsa per chi sta affrontando per la prima volta gli esercizi, ma anche per chi ha già una preparazione e vuole chiarire alcuni dubbi. Inoltre sono molto gentili e disponibili. Veramente un'ottima scoperta, consiglio a tutti.

Ugo Cozzi

Uno dei più bei siti online di matematica e fisica. Dispense ben fatte. Impaginazione perfetta con Latex

antonio elia

Sito ben fatto e con tanto materiale consultabile, sono cinquantenne autodidatta, ed ho trovato un valido aiuto

Francesco Doria

Un sito bellissimo sia per chi è all'università che alle superiori. Un lavoro fatto con passione e lungo, decisamente da tenere sempre in mente come riferimento, e non solo per gli esercizi. Un grande grazie.

Stefano Parisi

Un sito ben fatto, moltissimi argomenti trattati a diversi livelli di difficoltà, ottimo sia per la teoria che per gli esercizi.