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Analisi dimensionale: 62 esercizi svolti – Semestre Filtro 2026

Semestre filtro

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Sommario

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La seguente dispensa raccoglie 62 esercizi dedicati all’analisi dimensionale e all’interpretazione delle formule fisiche. Il percorso comprende il calcolo delle dimensioni delle grandezze derivate, la verifica dell’omogeneità delle equazioni, la determinazione delle dimensioni di costanti e parametri, la ricostruzione di semplici leggi mediante l’analisi dimensionale e lo studio delle proporzionalità.

Gli esercizi sono proposti in forma di quesiti a risposta multipla o a completamento, secondo una progressione che parte dai richiami essenziali e conduce a problemi misti. La scelta di tali formati ha l’obiettivo di preparare lo studente alle prove di Fisica del semestre filtro per i corsi di Medicina e Chirurgia, Odontoiatria e Protesi dentaria e Medicina veterinaria dell’a.a. 2026/2027. Per i contenuti si assume come riferimento il Syllabus di Fisica pubblicato dal Ministero dell’Università e della Ricerca nel 2026 [1, 2].

A ciascun testo corrisponde una soluzione ragionata nella sezione finale. Nei passaggi vengono distinti con cura il simbolo della grandezza, la sua dimensione fisica e l’eventuale unità di misura, così da evitare le confusioni più frequenti.


 
 

Autori e revisori

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Autore: Costantino Di Bello.

Revisori: Valerio Brunetti e Sergio Messina.


 
 

Notazioni

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Nel seguito i simboli dimensionali sono composti in tondo sans serif. Gli indici descrittivi sono mantenuti in tondo per distinguerli dagli indici variabili.

SimboloSignificatoIndiceDimensioneUnità SI
xposizione o spostamentonessuno\mathsf{L}\mathrm{m}
ttemponessuno\mathsf{T}\mathrm{s}
mmassanessuno\mathsf{M}\mathrm{kg}
vvelocità o suo modulonessuno\mathsf{L}\mathsf{T}^{-1}\mathrm{m\,s^{-1}}
aaccelerazionenessuno\mathsf{L}\mathsf{T}^{-2}\mathrm{m\,s^{-2}}
Fforza o suo modulonessuno\mathsf{M}\mathsf{L}\mathsf{T}^{-2}\mathrm{N}
Wlavoronessuno\mathsf{M}\mathsf{L}^{2}\mathsf{T}^{-2}\mathrm{J}
E_{\mathrm c}energia cinetica\mathrm c: cinetica\mathsf{M}\mathsf{L}^{2}\mathsf{T}^{-2}\mathrm{J}
k_{\mathrm s}costante elastica\mathrm s: elastica\mathsf{M}\mathsf{T}^{-2}\mathrm{N\,m^{-1}}
k_{\mathrm{th}}conducibilità termica\mathrm{th}: termica\mathsf{M}\mathsf{L}\mathsf{T}^{-3}\mathsf{\Theta}^{-1}\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}
k_{\mathrm{onda}}numero d’onda\mathrm{onda}: descrittivo\mathsf{L}^{-1}\mathrm{m^{-1}}
\mu_{\mathrm L}densità lineare di massa\mathrm L: lineare\mathsf{M}\mathsf{L}^{-1}\mathrm{kg\,m^{-1}}
Q_{\mathrm V}portata volumetrica\mathrm V: volumetrica\mathsf{L}^{3}\mathsf{T}^{-1}\mathrm{m^{3}\,s^{-1}}
\sigma_{\mathrm{SB}}costante di Stefan–Boltzmann\mathrm{SB}: Stefan–Boltzmann\mathsf{M}\mathsf{T}^{-3}\mathsf{\Theta}^{-4}\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}

 
 

Introduzione

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La presente dispensa è una delle prime di una serie dedicata ai principali temi della fisica. L’analisi dimensionale occupa un ruolo fondamentale, poiché costituisce uno strumento trasversale a tutti gli ambiti della disciplina.

Essa consente di verificare la coerenza delle equazioni, riconoscere relazioni plausibili e individuare rapidamente eventuali errori di impostazione o di calcolo. Non si tratta, quindi, di un procedimento puramente formale né di un sostituto delle leggi fisiche, ma di un metodo di ragionamento che favorisce una comprensione più profonda della loro struttura.

Per acquisirne piena padronanza è essenziale esercitarsi con continuità, imparando a distinguere correttamente grandezze fisiche, dimensioni e unità di misura. Gli esercizi proposti guidano lo studente nell’applicazione progressiva di questi concetti a situazioni di difficoltà crescente. Le soluzioni commentate rendono espliciti i passaggi logici e mostrano come integrare l’analisi dimensionale nella risoluzione dei problemi.

La finalità della dispensa è fornire strumenti operativi indispensabili sia per comprendere la teoria sia per affrontare gli esercizi con maggiore consapevolezza e sicurezza. Le competenze così sviluppate costituiranno una base comune per lo studio dei diversi argomenti trattati nelle successive dispense della serie.


 
 

Richiami di teoria

Dimensione fisica e unità di misura.

Definizione 1.1 (dimensione fisica). La dimensione di una grandezza esprime come essa dipende dalle grandezze fondamentali adottate nel sistema dimensionale considerato. Si indica racchiudendo il simbolo della grandezza tra parentesi quadre. Per esempio, se v indica una velocità, allora

\[[v]=\mathsf{L}\mathsf{T}^{-1},\]

dove \mathsf{L} è la dimensione di una lunghezza e \mathsf{T} è la dimensione di un tempo.

 

La dimensione non coincide con l’unità di misura. La velocità ha dimensione \mathsf{L}\mathsf{T}^{-1} qualunque sia l’unità impiegata; può essere espressa in \mathrm{m\,s^{-1}} (metri al secondo), in \mathrm{km\,h^{-1}} (chilometri orari) oppure in altre unità compatibili. Il cambio di unità modifica il valore numerico, non la dimensione.

Nel Sistema Internazionale si possono associare alle sette grandezze fondamentali i simboli dimensionali riportati di seguito.

 

Grandezza fondamentaleSimbolo dimensionaleUnità SI
Massa\mathsf{M}chilogrammo, \mathrm{kg}
Lunghezza\mathsf{L}metro, \mathrm{m}
Tempo\mathsf{T}secondo, \mathrm{s}
Intensità di corrente elettrica\mathsf{I}ampere, \mathrm{A}
Temperatura termodinamica\mathsf{\Theta}kelvin, \mathrm{K}
Quantità di sostanza\mathsf{N}mole, \mathrm{mol}
Intensità luminosa\mathsf{J}candela, \mathrm{cd}

 
 

Regole di calcolo con le dimensioni.

Le dimensioni si trattano come prodotti di potenze. Siano A, B e C grandezze fisiche e sia n un esponente reale per il quale le espressioni considerate siano definite. Se A=BC, allora

\[[A]=[B][C].\]

Se A=B/C, si ha invece

\[[A]=[B][C]^{-1}.\]

Una potenza agisce anche sugli esponenti dimensionali:

\[[A^n]=[A]^n.\]

Somme e differenze richiedono più attenzione. Due termini possono essere sommati soltanto se hanno la stessa dimensione e un significato fisico compatibile. Un’espressione come 3\,\mathrm{m}+2\,\mathrm{s} non rappresenta una grandezza fisica, perché mette insieme una lunghezza e un tempo. La sola uguaglianza dimensionale non è sufficiente: energia e momento torcente, per esempio, hanno la stessa formula dimensionale, ma non sono per questo grandezze direttamente sommabili.


 
 

Dimensioni di alcune grandezze derivate.

Dalle definizioni e dalle leggi fondamentali si ricavano, tra le altre, le relazioni seguenti:

\[\begin{array}{c|l|c} \text{Simbolo} & \text{Grandezza fisica} & \text{Formula dimensionale} \\ \hline v & \text{Velocità} & \mathsf{L}\mathsf{T}^{-1} \\ a & \text{Accelerazione} & \mathsf{L}\mathsf{T}^{-2} \\ F & \text{Forza} & \mathsf{M}\mathsf{L}\mathsf{T}^{-2} \\ p & \text{Pressione} & \mathsf{M}\mathsf{L}^{-1}\mathsf{T}^{-2} \\ E & \text{Energia} & \mathsf{M}\mathsf{L}^2\mathsf{T}^{-2} \\ \mathcal{P} & \text{Potenza} & \mathsf{M}\mathsf{L}^2\mathsf{T}^{-3} \\ \rho & \text{Densità (massa volumica)} & \mathsf{M}\mathsf{L}^{-3} \\ f & \text{Frequenza} & \mathsf{T}^{-1} \end{array}\]

In ambito elettrico risultano utili anche

\[\begin{array}{c|l|c} \text{Simbolo} & \text{Grandezza fisica} & \text{Formula dimensionale} \\ \hline Q & \text{Carica elettrica} & \mathsf{I}\mathsf{T} \\ \Delta V & \text{Differenza di potenziale elettrico} & \mathsf{M}\mathsf{L}^2\mathsf{T}^{-3}\mathsf{I}^{-1} \\ R & \text{Resistenza} & \mathsf{M}\mathsf{L}^2\mathsf{T}^{-3}\mathsf{I}^{-2} \end{array}\]

Le dimensioni di tutte queste grandezze sono riassunte in queste tabelle per comodità, ma verranno via via ricavate nei vari esercizi.


 
 

Principio di omogeneità dimensionale.

Principio 1.2 (omogeneità dimensionale). In una relazione fisica corretta, tutti i termini che vengono sommati o confrontati mediante un’uguaglianza devono avere la stessa dimensione.

 

Per esempio, nella legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato

\[x=x_0+v_0t+\frac12 at^2,\]

la grandezza x è la posizione al tempo t, x_0 è la posizione iniziale, v_0 è la velocità iniziale, a è l’accelerazione costante e t è il tempo trascorso dall’istante iniziale; il pedice 0 indica il valore iniziale. Ogni termine ha dimensione di una lunghezza. Infatti

\[[v_0t]=\mathsf{L}\mathsf{T}^{-1}\mathsf{T}=\mathsf{L},\qquad [at^2]=\mathsf{L}\mathsf{T}^{-2}\mathsf{T}^2=\mathsf{L}.\]

L’analisi dimensionale può mostrare immediatamente che una formula è dimensionalmente incompatibile (Nota: Ad esempio, se da un calcolo risultasse [v] = \mathsf{L}\mathsf{T} invece di [v] = \mathsf{L}\mathsf{T}^{-1}, ciò costituirebbe una chiara prova di un errore nelle derivazioni.), ma non dimostra da sola che una formula omogenea sia fisicamente corretta. Non permette inoltre di determinare fattori numerici puri, come 1/2 o 2\pi, un segno oppure, più in generale, funzioni di gruppi adimensionali.


 
 

Argomenti di funzioni elementari.

L’argomento di un esponenziale, di un logaritmo o di una funzione trigonometrica deve essere adimensionale. Di conseguenza, nell’espressione

\[\mathrm{e}^{-t/\tau}\]

l’argomento t/\tau deve essere adimensionale. Qui t indica il tempo e \tau è un parametro temporale costante; pertanto

\[\mathrm{e}^{-t/\tau}\quad\Longrightarrow\quad [\tau]=\mathsf{T}.\]

Nella funzione

\[A\sin(\omega t+\varphi),\]

A è l’ampiezza della grandezza oscillante, \omega è la pulsazione, t è il tempo e \varphi è la fase iniziale. L’argomento \omega t+\varphi deve essere adimensionale; pertanto [\omega]=\mathsf{T}^{-1} e [\varphi]=1. Anche l’angolo piano, quando è espresso in radianti, è trattato dimensionalmente come un numero puro.


 
 

Dimensioni di costanti e parametri.

Se una formula contiene una costante, la sua dimensione si ricava imponendo l’omogeneità. Ad esempio, dalla legge elastica, dove F è il modulo della forza elastica, k_{\mathrm s} è la costante elastica della molla e x è l’allungamento o la compressione rispetto alla posizione di equilibrio,

\[F=k_{\mathrm s}x\]

segue che

\[[k_{\mathrm s}]=\frac{[F]}{[x]}=\mathsf{M}\mathsf{T}^{-2}.\]

La costante elastica si misura quindi in \mathrm{N\,m^{-1}}, unità equivalente a \mathrm{kg\,s^{-2}}.


 
 

Ricostruzione di una legge mediante l'analisi dimensionale.

Si supponga che la grandezza Y dipenda dalle grandezze A, B e C secondo una legge monomia

\[Y=K A^{\alpha}B^{\beta}C^{\gamma},\]

dove K è un fattore adimensionale e \alpha, \beta e \gamma sono esponenti reali incogniti da determinare mediante il confronto dimensionale. Sostituendo le dimensioni delle grandezze e confrontando gli esponenti delle dimensioni fondamentali si ottiene un sistema algebrico per \alpha, \beta e \gamma. Il metodo consente di individuare una forma dimensionalmente compatibile quando le variabili scelte sono sufficienti e indipendenti. Rimangono però indeterminati i fattori numerici e le eventuali funzioni di gruppi adimensionali, che devono essere ricavati dalla teoria oppure dai dati sperimentali.


 
 

Proporzionalità e variazioni relative.

Una formula permette anche di prevedere come cambia una grandezza quando cambiano i dati. Se

\[Y\propto A^2B^{-1},\]

indicando con Y' il nuovo valore di Y dopo che A è stata moltiplicata per 3 e B è stata raddoppiata, allora

\[\frac{Y'}{Y}=\frac{(3A)^2 (2B)^{-1}}{A^2 B^{-1}} = \frac{3^2}{2}=\frac92.\]

Questi confronti evitano spesso calcoli numerici inutili e sono frequenti nei quesiti a risposta multipla.


 
 

Esercizi

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