Determinante 3×3 – Esercizio 1

Determinanti e matrice inversa

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Calcolare il determinante della seguente matrice

    \[\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}\]

 

Soluzione. 
Data una matrice

    \[A = \begin{pmatrix} a & b & c\\  d & e & f \\ g &h & i \end{pmatrix}\]

incolliamo le prime due colonne dopo la terza colonna, ottenendo

    \[A = \begin{pmatrix} a & b & c & \vert & a & b  \\  d & e & f  & \vert & d & e \\ g &h & i & \vert & g & h \end{pmatrix}\]

Calcoliamo la prima parte del determinante facendo il prodotto dei termini sulle prime tre diagonali come mostrato di seguito

    \[A = \begin{pmatrix} \color{red}{a} & \color{blue}{b} & \color{magenta}{c}  & \vert & a & b  \\  d & \color{red}{e} & \color{blue}{f}  & \vert & \color{magenta}{d} & e \\ g &h & \color{red}{i} & \vert & \color{blue}{g} & \color{magenta}{h} \end{pmatrix}\]

per cui il primo termine è dato da

    \[a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h\]

e poi il secondo termine da sottrarre è dato da

    \[A = \begin{pmatrix} a & b & \color{orange}{c} & \vert & \color{gray}{a} & \color{blue}{b}  \\  d & \color{orange}{e} & \color{gray}{f}  & \vert & \color{blue}{d} & e \\ \color{orange}{g} & \color{gray}{h} & \color{blue}{i} & \vert & g & h \end{pmatrix}\]

per cui il secondo termine è dato da

    \[g \cdot e \cdot c + h \cdot f \cdot a + i \cdot d \cdot b\]

quindi il determinante è dato da

    \[\begin{vmatrix} a & b & c \\  d & e & f  \\ g & h & i  \end{vmatrix} = \left[ a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h\right] - \left[g \cdot e \cdot c + h \cdot f \cdot a + i \cdot d \cdot b\right]\]

Nel nostro caso

    \[\begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 & \vert & -1 & 0\\ 3 & 4 & 5 & \vert & 3 & 4\\ 6 & 7 & 8 & \vert & 6 & 7 \end{vmatrix} = \left[ -1 \cdot 4 \cdot 8 + 0 \cdot 5 \cdot 6 + 0 \cdot 3 \cdot 7 \right] - \left[ 6 \cdot 4 \cdot 0 + 7 \cdot 5 \cdot (-1) + 8 \cdot 3 \cdot 0 \right] = -32 + 35 = 3\]

 


Fonte: La Matematica a colori 2 (edizione blu) – L. Sasso