Esercizio. 
Calcolare il determinante della seguente matrice
![\[\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4640d4f48c16ed92677762e161ba2f37_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soluzione.
Data una matrice
Data una matrice
![\[A = \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g &h & i \end{pmatrix}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9606f775366293ab446f96034b6b68cd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
incolliamo le prime due colonne dopo la terza colonna, ottenendo
![\[A = \begin{pmatrix} a & b & c & \vert & a & b \\ d & e & f & \vert & d & e \\ g &h & i & \vert & g & h \end{pmatrix}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97023854c8c29255b9dfb7008656763a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Calcoliamo la prima parte del determinante facendo il prodotto dei termini sulle prime tre diagonali come mostrato di seguito
![\[A = \begin{pmatrix} \color{red}{a} & \color{blue}{b} & \color{magenta}{c} & \vert & a & b \\ d & \color{red}{e} & \color{blue}{f} & \vert & \color{magenta}{d} & e \\ g &h & \color{red}{i} & \vert & \color{blue}{g} & \color{magenta}{h} \end{pmatrix}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f1f6e9e2575bf24196f99c419ca869d2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
per cui il primo termine è dato da
![\[a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-528b529b62fbec8cee12231a50ab0203_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e poi il secondo termine da sottrarre è dato da
![\[A = \begin{pmatrix} a & b & \color{orange}{c} & \vert & \color{gray}{a} & \color{blue}{b} \\ d & \color{orange}{e} & \color{gray}{f} & \vert & \color{blue}{d} & e \\ \color{orange}{g} & \color{gray}{h} & \color{blue}{i} & \vert & g & h \end{pmatrix}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cdee5de0297c7950ac6cbecb58d860c6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
per cui il secondo termine è dato da
![\[g \cdot e \cdot c + h \cdot f \cdot a + i \cdot d \cdot b\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c60b61ad095fede894f65bf61fb67999_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
quindi il determinante è dato da
![\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = \left[ a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h\right] - \left[g \cdot e \cdot c + h \cdot f \cdot a + i \cdot d \cdot b\right]\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-207b55aa0e0aad79b57365335bdbfc37_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nel nostro caso
![\[\begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 & \vert & -1 & 0\\ 3 & 4 & 5 & \vert & 3 & 4\\ 6 & 7 & 8 & \vert & 6 & 7 \end{vmatrix} = \left[ -1 \cdot 4 \cdot 8 + 0 \cdot 5 \cdot 6 + 0 \cdot 3 \cdot 7 \right] - \left[ 6 \cdot 4 \cdot 0 + 7 \cdot 5 \cdot (-1) + 8 \cdot 3 \cdot 0 \right] = -32 + 35 = 3\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6a371f467fef0b2e3027962d8203ea4d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: La Matematica a colori 2 (edizione blu) – L. Sasso