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Esercizi triangoli rettangoli con trigonometria

Triangoli rettangoli

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Sommario

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Esercizi di trigonometria per il sito Qui Si Risolve.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Donato Ciampa.

Revisori: Matteo Talluri.


 
 

Notazioni

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\mathbb{N}    Insieme dei numeri naturali;
\mathbb{Z}    Insieme dei numeri interi relativi;
Simbolo X    Descrizione.


 
 

Esercizi

Triangoli rettangoli

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). In una semicirconferenza di diametro AB=2r è inscritto il triangolo ABC di perimetro r(2+\sqrt{6}). Determinare la misura degli angoli del triangolo.

Svolgimento.

Consideriamo la seguente figura:

\[\quad\]

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

\[\quad\]

È noto che un triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo. Quindi A\widehat{C}B=\pi/2. Indichiamo con x=C\widehat{A}B: ne segue che 0<x<\pi/2. Abbiamo allora

\[\overline{BC}=\overline{AB} \sin x=2r\sin x,\qquad \overline{CA}=\overline{AB} \cos x=2r\cos x.\]

Possiamo scrivere quindi la seguente equazione:

\[2r+2r\sin x+2r\cos x=r(2+\sqrt{6}),\]

ossia

\[ \sin x + \cos x = \frac{\sqrt{6}}{2}. \]

Elevando al quadrato ambo i membri (ricordiamo che x \in \left (0,\frac{\pi}{2}\right ) e quindi \sin x>0 e \cos x>0) e ricordando 2\sin x \cos x= \sin (2x), si ha

\[ 1+\sin(2x)= \frac{3}{2} \iff \sin (2x)= \frac{1}{2} \iff 2x= \frac{\pi}{6} \iff x= \frac{\pi}{12}. \]

Quindi i due angoli del triangolo misurano rispettivamente

\[\boxcolorato{analisi}{ C\widehat{A}B=\frac{\pi}{12},\qquad C\widehat{B}A=\frac{5\pi}{12}. }\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Nel triangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AC è minore del cateto AB e l’ipotenusa BC misura 2\ell. Per O, punto medio dell’ipotenusa, si tracci la perpendicolare all’ipotenusa stessa e sia M il suo punto di intersezione con il cateto AB. Determinare l’ampiezza x dell’angolo A\widehat{B}C in modo che si abbia \overline{AC}\cdot \overline{OM}=\ell^2.

Svolgimento.

Consideriamo la figura:

\[\quad\]

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

\[\quad\]

Dalle relazioni per i triangoli rettangoli, essendo \overline{OB}=\ell, si ha

\[\overline{AC}=2\ell\sin x,\qquad \overline{OM}=\ell\tan x.\]

Allora

\[\overline{AC}\cdot \overline{OM}=\ell^2 \iff \ell^2=2\ell^2\sin x\tan x=2\ell^2\left(\frac{\sin^2 x}{\cos x}\right)=2\ell^2\left(\frac{1-\cos^2 x}{\cos x}\right),\]

da cui, dovendo essere necessariamente \cos x\neq 0, in quanto 0<x<\pi/2,

\[2\cos^2 x+\cos x-2=0.\]

Ponendo t=\cos x, si ottiene l’equazione algebrica 2t^2+t-2=0, le cui soluzioni sono

\[t_1=\frac{-1-\sqrt{17}}{4},\qquad t_2=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}.\]

Ricordando la posizione fatta, e osservando che t_1<-1, ne segue

\[\cos x=\frac{\sqrt{17}-1}{4},\]

da cui

\[\boxcolorato{analisi}{x=\arccos\left(\frac{\sqrt{17}-1}{4}\right), }\]

che è l’angolo cercato.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\bigstar). Un triangolo ABC è rettangolo in B. Inoltre, le lunghezze dei suoi lati formano una progressione geometrica. Quali sono i possibili valori di \tan(B\widehat{A}C)?

Svolgimento.

L’ipotenusa del triangolo è AC, che è naturalmente più lunga dei cateti AB e BC. Il fatto che i lati siano in progressione geometrica significa che il rapporto tra lati consecutivi è costante. Esiste quindi un numero k > 1 tale che:

\[\overline{AC} = k\cdot\overline{AB} = k^2\cdot\overline{BC} \quad \text{oppure} \quad \overline{AC} = k\cdot\overline{BC} = k^2\cdot\overline{AB},\]

a seconda che il cateto maggiore sia AB (a sinistra) oppure BC (a destra).

\[\quad\]

\[\quad\]

\[\quad\]

Il valore che dobbiamo calcolare è:

\[\tan(B\widehat{A}C) = \frac{\overline{BC}}{\overline{AB}} = \begin{cases} 1/k & \text{se $\overline{AB} = k\cdot\overline{BC} > \overline{BC}$;} \\ k & \text{se $\overline{BC} = k\cdot\overline{AB} > \overline{AB}$.} \end{cases}\]

Per il teorema di Pitagora, si ha \overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2, e quindi: Equazione con MathJax

\[\begin{aligned} k^4 \overline{BC}^2 &= k^2 \overline{BC}^2 + \overline{BC}^2 \quad &&\text{se } \overline{AB} = k \cdot \overline{BC}; \\ k^4 \overline{AB}^2 &= k^2 \overline{AB}^2 + \overline{AB}^2 \quad &&\text{se } \overline{BC} = k \cdot \overline{AB}. \end{aligned}\]

In entrambi i casi, giungiamo alla medesima condizione k^4 - k^2 - 1 = 0. Questa è un’equazione di secondo grado nell’incognita k^2, che ha come soluzioni:

\[k^2 = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2};\]

solo la soluzione col + è accettabile perché (1-\sqrt{5})/2 < 0. Estraendo la radice quadrata, l’unico valore valido di k è in conclusione:

\[k = \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}.\]

Se \overline{BC} > \overline{AB}, allora \tan(B\widehat{A}C) = k e abbiamo finito; se invece \overline{AB} > \overline{BC}:

\[\tan(B\widehat{A}C) = \frac{1}{k} = \sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}+1}} = \sqrt{\frac{2\left(\sqrt{5}-1\right)}{\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}.\]

In conclusione, i valori cercati sono

\[\boxcolorato{analisi}{\tan(B\widehat{A}C) = \sqrt{\frac{\sqrt{5}\pm 1}{2}} .}\]


 
 

Riferimenti bibliografici

[1] Abate, M., Geometria, McGraw-Hill (1996).

[2] Pallino, P., Titolo del libro, Editore (1900).

[3] Rossi, M. & Verdi, G., Titolo del libro, Editore (1900).

[4] Qui Si Risolve, Funzioni elementari – Volume 1.