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Esercizi misti sui triangoli con trigonometria

Esercizi misti in Trigonometria

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Sommario

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Esercizi di trigonometria per il sito Qui Si Risolve.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Donato Ciampa.

Revisori: Matteo Talluri.


 
 

Notazioni

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\mathbb{N}    Insieme dei numeri naturali;
\mathbb{Z}    Insieme dei numeri interi relativi;
Simbolo X    Descrizione.


 
 

Testi degli esercizi

Esercizio 9 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Si consideri un quadrilatero di vertici A, B, C e D. Le diagonali AC e DB sono mutuamente ortogonali e si incontrano in un punto O, quest’ultimo punto dista a da A, B e C e b da D. Dimostrare che tale quadrilatero possiede una circonferenza inscritta e, detto r il suo raggio, determinare una formula per r in funzione di a e b. Determinare infine la relazione tra a e b affinché la differenza tra il perimetro e l’area del cerchio inscritto sia massima.

Svolgimento.

Innanzitutto osserviamo che, dai dati del problema, segue \overline{AD}=\overline{BD} e \overline{BC}=\overline{AC}, pertanto il quadrilatero possiede una circonferenza inscritta, di centro O' giacente su CD. Denotiamo \alpha = O\widehat{D}B e chiamiamo inoltre E e F i punti di tangenza della circonferenza inscritta rispettivamente sui lati BD e BC.

Osserviamo che il triangolo FO'C è rettangolo in F e l’angolo F \widehat{C}O' è di 45^\circ, quindi è isoscele, pertanto il segmento O'C ha lunghezza r\sqrt{2}. Invece, il triangolo O'ED è rettangolo ed è simile al triangolo BOD, avendo in comune l’angolo in D. Quindi

\[ \frac{r}{\overline{O'D}} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \iff \overline{O'D}= \frac{r\sqrt{a^2+b^2}}{a}. \]

Notando che a+b=\overline{CD}=\overline{CO'}+\overline{O'D}, si ha

\[ a+b = r\left (\sqrt{2}+\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}\right ) \iff r= \frac{a + b}{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}}. \]

Si ricava quindi

\[\boxcolorato{analisi}{ r= \frac{a + b}{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}}. }\]

\[\quad\]

\[\quad\]

\[\quad\]

L’espressione da massimizzare è F(r) = 2\pi r - \pi r^2. Osserviamo che 2\pi r-\pi r^2-1 = -(r-1)^2\leq 0 e tale espressione si annulla se e solo se r=1. Ne segue che anche F(r) assume valore massimo per r=1. Imponendo quindi

\[ r=\frac{a + b}{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}} = 1, \]

si ottiene la relazione

\[\boxcolorato{analisi}{a+b = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}. }\]


 
 

Esercizio 10 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Dati due quadrilateri di uguali angoli, le lunghezze del quadrilatero più piccolo sono il 75 per cento delle rispettive lunghezze del più grande. Determinare il rapporto tra l’area del quadrilatero più grande e quello più piccolo.

Svolgimento.

Indichiamo con ABCD il quadrilatero più grande e con EFGH il secondo, come in figura 1. Questi due quadrilateri sono simili e dunque, tracciando le diagonali AC e EG, anche il triangolo ABC è simile a EFG e ACD è simile a EGH. Il rapporto tra le lunghezze dei lati e altezze corrispondenti è allora \frac{4}{3}. Dalla formula dell’area del triangolo abbiamo quindi

\[ \begin{gathered} \operatorname{Area}(ABC)= \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} \operatorname{Area}(EFG)= \frac{16}{9}\operatorname{Area}(EFG) \\ \operatorname{Area}(ACD)= \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} \operatorname{Area}(EGH)= \frac{16}{9}\operatorname{Area}(EGH). \end{gathered} \]

Ne segue che

\[ \begin{aligned} \operatorname{Area}(ABCD) &= \operatorname{Area}(ABC)+\operatorname{Area}(ACD) \\ &= \frac{16}{9}\operatorname{Area}(EFG) + \frac{16}{9}\operatorname{Area}(EGH) \\ &= \frac{16}{9}\operatorname{Area}(EFGH). \end{aligned} \]

\[\quad\]

Figura 1: i due quadrilateri ABCD e EFGH.

\[\quad\]

Il risultato ottenuto mostra come il rapporto tra le areee dei due quadrilateri è uguale al rapporto tra i loro lati al quadrato, ossia

\[\boxcolorato{analisi}{\frac{16}{9}.}\]

Decomponendo in triangoli, si può allo stesso modo mostrare che, se due poligoni sono simili e il rapporto dei loro lati è k, allora il rapporto delle loro aree è il quadrato k^2.


 
 

Riferimenti bibliografici

[1] Abate, M., Geometria, McGraw-Hill (1996).

[2] Pallino, P., Titolo del libro, Editore (1900).

[3] Rossi, M. & Verdi, G., Titolo del libro, Editore (1900).

[4] Qui Si Risolve, Funzioni elementari – Volume 1.