Traslazione – Esercizio 3

Traslazione in Trasformazioni geometriche

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)


Un rettangolo ABCD, con i lati paralleli agli assi cartesiani, ha come vertici opposti A(2, 1) e C(6, 9). Determina il vettore della traslazione che trasforma ABCD in un rettangolo A'B'C'D' con il centro nell’origine O e scrivi le coordinate di A', B', C', D'.

 

Soluzione.
Per capire meglio la geometria del problema posto, rappresentiamo quanto fornito dal testo

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e dato che i lati sono paralleli agli assi possiamo trovare anche i punti B e D

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con B avente stessa ascissa di A e stessa ordinata di C, quindi B(2,9) e D con stessa ascissa di C e stessa ordinata di A ovvero D(6,1). Il centro di questo rettangolo è il punto medio del segmento che unisce i vertici opposti:

    \[x_K = \dfrac{x_A+x_C}{2} = \dfrac{2+6}{2} = 4 \qquad \mbox{e} \qquad y_K = \dfrac{y_A+y_C}{2} = \dfrac{1+9}{2} = 5\]

quindi il centro ha coordinate K(4,5). Osserviamo che con i vertici opposti B e D otteniamo lo stesso risultato.

Il centro del rettangolo traslato deve trovarsi nell’origine O quindi vuol dire che il vettore di traslazione è

    \[\vec{v}(-4,-5)\]

perché per muoversi dal punto K all’origine ci siamo spostati a sinistra di 4 unità di misura e verso il basso di 5 unità di misura

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Dunque la traslazione di vettore \vec{v}(4,5) sono

    \[\begin{cases} 	x'=x-4\\ 	y'=y-5 \end{cases}\]

quindi il punto A(2,1) si trasla in A'(-2,-4) poiché

    \[\begin{cases} 	x'=2-4 = -2\\ 	y'=1-5 = -4 \end{cases}\]

poi il punto B(2,9) si trasla in B'(-2,4) in quanto

    \[\begin{cases} 	x'=2-4 =-2 \\ 	y'=9-5 = 4 \end{cases}\]

così come il punto C(6,9) si trasla in C'(2,4) poiché

    \[\begin{cases} 	x'=6-4 =2 \\ 	y'=9-5 = 4 \end{cases}\]

ed infine il punto D(6,1) si trasla in D'(2,-4)

    \[\begin{cases} 	x'=6-4 =2 \\ 	y'=1-5 = -4 \end{cases}\]

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Fonte: Volume Blu 4 – Zanichelli