Traslazione – Esercizio 1

Traslazione in Trasformazioni geometriche

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Traslare le seguenti curve secondo il vettore \vec{v} indicato a fianco

    \[\begin{array}{ll} 1. \; y= 5x-7 & \vec{v}(-3,1)\\\\ 2. \; y= x^2+1 & \vec{v}(1,-2)\\\\ 3. \; y= x^2&\vec{v}(-4,-9)\\\\ 4. \; xy=1&\vec{v}(3,1) \end{array}\]

 

Soluzione.
Punto 1. La traslazione di vettore \vec{v}(a,b) ha equazioni

    \[\begin{cases} x'=x+a\\ y'=y+b \end{cases}\]

dove x e y rappresentano le coordinate della funzione iniziale e x' e y' le coordinate della funzione trasformata. Dunque nel nostro caso abbiamo

    \[\begin{cases} x'=x-3\\ y'=y+1 \end{cases}\]

Per scrivere la funzione trasformata dobbiamo ricavarci dal precedente sistema x e y, quindi

    \[\begin{cases} x=x'+3\\ y=y'-1 \end{cases}\]

per cui la funzione trasformata di {\textcolor{red}{y}}= 5{\textcolor{blue}{x}}-7 diventa

    \[{\textcolor{red}{y'-1}}= 5{\textcolor{blue}{x'+3}}-7 \quad \Rightarrow \quad y' - 1 = 5x' + 15 - 7\]

quindi

    \[\boxcolorato{superiori}{y' = 5x' + 9 }\]

Punto 2. La traslazione di vettore \vec{v}(a,b) ha equazioni

    \[\begin{cases} x'=x+a\\ y'=y+b \end{cases}\]

dove x e y rappresentano le coordinate della funzione iniziale e x' e y' le coordinate della funzione trasformata. Dunque nel nostro caso abbiamo

    \[\begin{cases} x'=x+1\\ y'=y-2 \end{cases}\]

Per scrivere la funzione trasformata dobbiamo ricavarci dal precedente sistema x e y, quindi

    \[\begin{cases} x=x'-1\\ y=y'+2 \end{cases}\]

per cui la funzione trasformata di {\textcolor{red}{y}}= {\textcolor{blue}{x^2}}+1 diventa

    \[{\textcolor{red}{y'+2}}= ({\textcolor{blue}{x'-1}})^2+1 \quad \Rightarrow \quad y' +2 = x'^2 -2x'+1 +1\]

quindi

    \[\boxcolorato{superiori}{y' = x'^2-2x' }\]

Punto 3. La traslazione di vettore \vec{v}(a,b) ha equazioni

    \[\begin{cases} x'=x+a\\ y'=y+b \end{cases}\]

dove x e y rappresentano le coordinate della funzione iniziale e x' e y' le coordinate della funzione trasformata. Dunque nel nostro caso abbiamo

    \[\begin{cases} x'=x-4\\ y'=y-9 \end{cases}\]

Per scrivere la funzione trasformata dobbiamo ricavarci dal precedente sistema x e y, quindi

    \[\begin{cases} x=x'+4\\ y=y'+9 \end{cases}\]

per cui la funzione trasformata di {\textcolor{red}{y}}= {\textcolor{blue}{x^2}} diventa

    \[{\textcolor{red}{y'+9}}= ({\textcolor{blue}{x'+4}})^2 \quad \Rightarrow \quad y' +9 = x'^2 +8x'+ 16\]

quindi

    \[\boxcolorato{superiori}{y' = x'^2+8x'+7 }\]

Punto 4. La traslazione di vettore \vec{v}(a,b) ha equazioni

    \[\begin{cases} x'=x+a\\ y'=y+b \end{cases}\]

dove x e y rappresentano le coordinate della funzione iniziale e x' e y' le coordinate della funzione trasformata. Dunque nel nostro caso abbiamo

    \[\begin{cases} x'=x+3\\ y'=y+1 \end{cases}\]

Per scrivere la funzione trasformata dobbiamo ricavarci dal precedente sistema x e y, quindi

    \[\begin{cases} x=x'-3\\ y=y'-1 \end{cases}\]

per cui la funzione trasformata di {\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{y}}= 1 diventa

    \[({\textcolor{blue}{x'-3}})({\textcolor{red}{y'-1}})= 1 \quad \Rightarrow \quad x'y' - 3y' - x' +3=1 \quad \Rightarrow \quad y'(x'-3) = x'-2\]

quindi

    \[\boxcolorato{superiori}{y' = \dfrac{x'-2}{x'-3} }\]

 


Fonte: Volume Blu 4 – Zanichelli