Traslazione – Esercizio 1

Traslazione in Trasformazioni geometriche

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Esercizio. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

Traslare le seguenti curve secondo il vettore $\vec{v}$ indicato a fianco

$\begin{array}{ll} 1. \; y= 5x-7 & \vec{v}(-3,1)\\\\ 2. \; y= x^2+1 & \vec{v}(1,-2)\\\\ 3. \; y= x^2&\vec{v}(-4,-9)\\\\ 4. \; xy=1&\vec{v}(3,1) \end{array}$

Soluzione.
Punto 1. La traslazione di vettore $\vec{v}(a,b)$ ha equazioni

$\begin{cases} x'=x+a\\ y'=y+b \end{cases}$

dove $x$ e $y$ rappresentano le coordinate della funzione iniziale e $x'$ e $y'$ le coordinate della funzione trasformata. Dunque nel nostro caso abbiamo

$\begin{cases} x'=x-3\\ y'=y+1 \end{cases}$

Per scrivere la funzione trasformata dobbiamo ricavarci dal precedente sistema $x$ e $y$ , quindi

$\begin{cases} x=x'+3\\ y=y'-1 \end{cases}$

per cui la funzione trasformata di ${\textcolor{red}{y}}= 5{\textcolor{blue}{x}}-7$ diventa

${\textcolor{red}{y'-1}}= 5{\textcolor{blue}{x'+3}}-7 \quad \Rightarrow \quad y' - 1 = 5x' + 15 - 7$

quindi

$\boxcolorato{superiori}{y' = 5x' + 9 }$

Punto 2. La traslazione di vettore $\vec{v}(a,b)$ ha equazioni

$\begin{cases} x'=x+a\\ y'=y+b \end{cases}$

dove $x$ e $y$ rappresentano le coordinate della funzione iniziale e $x'$ e $y'$ le coordinate della funzione trasformata. Dunque nel nostro caso abbiamo

$\begin{cases} x'=x+1\\ y'=y-2 \end{cases}$

Per scrivere la funzione trasformata dobbiamo ricavarci dal precedente sistema $x$ e $y$ , quindi

$\begin{cases} x=x'-1\\ y=y'+2 \end{cases}$

per cui la funzione trasformata di ${\textcolor{red}{y}}= {\textcolor{blue}{x^2}}+1$ diventa

${\textcolor{red}{y'+2}}= ({\textcolor{blue}{x'-1}})^2+1 \quad \Rightarrow \quad y' +2 = x'^2 -2x'+1 +1$

quindi

$\boxcolorato{superiori}{y' = x'^2-2x' }$

Punto 3. La traslazione di vettore $\vec{v}(a,b)$ ha equazioni

$\begin{cases} x'=x+a\\ y'=y+b \end{cases}$

dove $x$ e $y$ rappresentano le coordinate della funzione iniziale e $x'$ e $y'$ le coordinate della funzione trasformata. Dunque nel nostro caso abbiamo

$\begin{cases} x'=x-4\\ y'=y-9 \end{cases}$

Per scrivere la funzione trasformata dobbiamo ricavarci dal precedente sistema $x$ e $y$ , quindi

$\begin{cases} x=x'+4\\ y=y'+9 \end{cases}$

per cui la funzione trasformata di ${\textcolor{red}{y}}= {\textcolor{blue}{x^2}}$ diventa

${\textcolor{red}{y'+9}}= ({\textcolor{blue}{x'+4}})^2 \quad \Rightarrow \quad y' +9 = x'^2 +8x'+ 16$

quindi

$\boxcolorato{superiori}{y' = x'^2+8x'+7 }$

Punto 4. La traslazione di vettore $\vec{v}(a,b)$ ha equazioni

$\begin{cases} x'=x+a\\ y'=y+b \end{cases}$

dove $x$ e $y$ rappresentano le coordinate della funzione iniziale e $x'$ e $y'$ le coordinate della funzione trasformata. Dunque nel nostro caso abbiamo

$\begin{cases} x'=x+3\\ y'=y+1 \end{cases}$