Simmetria centrale – Esercizio 2

Simmetria centrale e assiale in Trasformazioni geometriche

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Esercizio. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

Determinare il centro di simmetria della curva che ha equazione

$x^2-y^2-2x-4y-7=0$

Soluzione.
La simmetria centrale di centro $C(a,b)$ ha equazioni

$\begin{cases} x'=2a-x\\ y'=2b-y \end{cases}$

e le equazioni della trasformazione inversa sono

$\begin{cases} x=2a-x'\\ y=2b-y' \end{cases}$

Sostituiamo nell’equazione data

$(2a-x')^2-(2b-y')^2-2\cdot(2a-x')-4\cdot (2b-y')-7=0$

da cui

$4a^2 + x'^{\;2} - 4a x' -(4b^2+y'^{\;2} -4by')-4a+2x'-8b+4y'-7=0$

e riordinando

$x'^{\;2} - y'^{\;2} + 2x' (-2a +1) + 4y'(b+1) +4a^2 - 4b^2-4a-8b - 7=0$

L’equazione ottenuta è quella della curva simmetrica a quella data. Se questa ha centro di simmetria, essa deve coincidere con la sua simmetrica, quindi confrontando le due equazioni dobbiamo avere:

$x'^{\;2} - y'^{\;2} + \underbrace{2(-2a +1)}_{=-2}x' + \underbrace{4(b+1)}_{=-4} y' +4a^2 - 4b^2-4a-8b - 7=0$

da cui

$4(b+1)=-4 \quad \Rightarrow \quad b=-2$

$2(-2a +1)=-2 \quad \Rightarrow \quad -2a+1=-1 \quad \Rightarrow \quad a=1$

E sostituendo nel termine noto abbiamo

$\begin{aligned} & 4a^2 - 4b^2-4a-8b - 7=-7 \quad \Leftrightarrow \quad 4\cdot 1^2 - 4\cdot (-2)^2 - 4 \cdot 1-8 \cdot (-2) - 7=-7 \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad 4 - 16 - 4 + 16- 7=-7 \end{aligned}$

Concludiamo che la curva data è simmetrica rispetto al punto $\boxcolorato{superiori}{(1,-2)}$ .

Fonte: Volume Blu 4 – Zanichelli

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