Home » Simmetria centrale – Esercizio 2

Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)


Determinare il centro di simmetria della curva che ha equazione

    \[x^2-y^2-2x-4y-7=0\]

 

Soluzione.
La simmetria centrale di centro C(a,b) ha equazioni

    \[\begin{cases} 	x'=2a-x\\ 	y'=2b-y \end{cases}\]

e le equazioni della trasformazione inversa sono

    \[\begin{cases} 	x=2a-x'\\ 	y=2b-y' \end{cases}\]

Sostituiamo nell’equazione data

    \[(2a-x')^2-(2b-y')^2-2\cdot(2a-x')-4\cdot (2b-y')-7=0\]

da cui

    \[4a^2 + x'^{\;2} - 4a x' -(4b^2+y'^{\;2} -4by')-4a+2x'-8b+4y'-7=0\]

e riordinando

    \[x'^{\;2} - y'^{\;2} + 2x' (-2a +1) + 4y'(b+1) +4a^2  - 4b^2-4a-8b - 7=0\]

L’equazione ottenuta è quella della curva simmetrica a quella data. Se questa ha centro di simmetria, essa deve coincidere con la sua simmetrica, quindi confrontando le due equazioni dobbiamo avere:

    \[x'^{\;2} - y'^{\;2} + \underbrace{2(-2a +1)}_{=-2}x' + \underbrace{4(b+1)}_{=-4} y' +4a^2  - 4b^2-4a-8b - 7=0\]

da cui

    \[4(b+1)=-4 \quad \Rightarrow \quad b=-2\]

e

    \[2(-2a +1)=-2 \quad \Rightarrow \quad -2a+1=-1 \quad \Rightarrow \quad a=1\]

E sostituendo nel termine noto abbiamo

    \[\begin{aligned}  & 4a^2  - 4b^2-4a-8b - 7=-7  \quad \Leftrightarrow \quad 4\cdot 1^2  - 4\cdot (-2)^2 - 4 \cdot 1-8 \cdot (-2) - 7=-7    \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad 4 - 16 - 4 + 16- 7=-7   \end{aligned}\]

Concludiamo che la curva data è simmetrica rispetto al punto \boxcolorato{superiori}{(1,-2)}.

 


Fonte: Volume Blu 4 – Zanichelli