Rotazione – Esercizio 4

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Esercizio. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

Scrivi le equazioni della rotazione che porta il punto $A(- 1, 3)$ in $A'(- 2, 2)$ e il punto $B(3, 0)$ in $B'(3, 2)$ e individua il centro e l’angolo di rotazione.

Soluzione.
La rotazione di centro $C(x_C, y_C)$ e angolo $\alpha$ ha equazioni

$\begin{cases} x'=(x-x_C)\cos \alpha-(y-y_C)\sin\alpha+x_C\\ y'=(x-x_C)\sin\alpha+(y-y_C)\cos\alpha+y_C \end{cases}$

Quindi sostituendo le coordinate dei punti $A$ e $A'$ abbiamo

$\begin{cases} -2=(-1-x_C)\cos \alpha-(3-y_C)\sin\alpha+x_C\\ 2=(-1-x_C)\sin\alpha+(3-y_C)\cos\alpha+y_C \end{cases}$

mentre sostituendo le coordinate dei punti $B$ e $B'$ otteniamo

$\begin{cases} 3=(3-x_C)\cos \alpha-(0-y_C)\sin\alpha+x_C\\ 2=(3-x_C)\sin\alpha+(0-y_C)\cos\alpha+y_C \end{cases}$

Vogliamo determinare quattro incognite: l’ascissa del centro, l’ordinata del centro, seno dell’angolo e coseno dell’angolo, dunque poniamo in un unico sistema le quattro equazioni

$\begin{cases} -2=(-1-x_C)\cos \alpha-(3-y_C)\sin\alpha+x_C\\ 2=(-1-x_C)\sin\alpha+(3-y_C)\cos\alpha+y_C\\ 3=(3-x_C)\cos \alpha+y_C\sin\alpha+x_C\\ 2=(3-x_C)\sin\alpha-y_C\cos\alpha+y_C \end{cases}$

Sottraiamo membro a membro la seconda e quarta equazione, ottenendo

$2-2 = (-1-x_C)\sin\alpha - (3-x_C)\sin\alpha + (3-y_C)\cos\alpha+y_C\cos\alpha +y_C-y_C \quad \Rightarrow \quad 0 = -4\sin\alpha +3\cos\alpha \quad \Rightarrow \quad \cos\alpha=\dfrac{4}{3}\sin\alpha$

Sottraiamo membro a membro la prima e terza equazione, avendo così

$-5 = -4\cos\alpha-3\sin\alpha$

Sostituendo il precedente risultato $\cos\alpha=\dfrac{4}{3}\sin\alpha$ arriviamo a

$-5 = -\dfrac{16}{3} \sin\alpha-3\sin\alpha \quad \Rightarrow \quad \sin\alpha=\dfrac{3}{5}$

da cui, sfruttando la prima relazione fondamentale, risulta

$\cos \alpha = \sqrt{1-\dfrac{9}{25}} = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}$

Risulta dunque

$\boxcolorato{superiori}{ \alpha = \arccos \dfrac{4}{5} = \arcsin\dfrac{3}{5}}$

Andiamo a sostituire i valori in due delle equazioni, saranno sufficienti per determinare le incognite restanti ovvero le coordinate del centro

$\begin{cases} -2=(-1-x_C)\dfrac{4}{5}-(3-y_C)\dfrac{3}{5}+x_C\\\\ 2=(-1-x_C)\dfrac{3}{5}+(3-y_C)\dfrac{4}{5}+y_C\\ \end{cases}$

da cui, con il metodo di sostituzione, otteniamo

$\begin{cases} \dfrac{x_C}{5} = \dfrac{13}{5} - 2 - \dfrac{3}{5}y_C\\\\ 2=(-1-x_C)\dfrac{3}{5}+(3-y_C)\dfrac{4}{5}+y_C\\ \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_C = 3 - 3y_C\\\\ 2=(-4 + 3y_C)\dfrac{3}{5}+(3-y_C)\dfrac{4}{5}+y_C\\ \end{cases}$