Rotazione – Esercizio 3

Rotazione in Trasformazioni geometriche

Home » Rotazione – Esercizio 3

Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)


È data l’iperbole equilatera xy = k, con k > 0. Verifica che, applicando ad essa la rotazione di -45^\circ di centro O, si ottiene la forma canonica x^2 - y^2 = a^2. Ricostruisci la relazione esistente tra i due parametri k e a^2.

 

Soluzione.
La rotazione di centro C(x_C, y_C) e angolo \alpha ha equazioni

    \[\begin{cases} 	x'=(x-x_C)\cos \alpha-(y-y_C)\sin\alpha+x_C\\ 	y'=(x-x_C)\sin\alpha+(y-y_C)\cos\alpha+y_C \end{cases}\]

In questo caso il centro coincide con l’origine quindi le equazioni diventano

    \[\begin{cases} 	x'=x\cos \alpha-y\sin\alpha\\ 	y'=x\sin\alpha+y\cos\alpha \end{cases}\]

Dato che \alpha=-45^{\circ}, l’angolo si trova nel quarto quadrante, quindi il seno dell’angolo sarà negativo mentre il coseno dell’angolo sarà positivo, quindi

    \[\sin \alpha = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \qquad \mbox{e} \qquad \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\]

pertanto le equazioni diventano

    \[\begin{cases} 	x'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}y\\ 	y'=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}y \end{cases}\]

Dobbiamo ricavarci x e y in funzione di x' e y'. Possiamo farlo con il metodo di riduzione, infatti sottraendo membro a membro abbiamo

    \[x'-y' = \sqrt{2}x \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} (x'-y')\]

mentre sommando membro a membro otteniamo

    \[x'+ y' = \sqrt{2}y \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{\sqrt{2}}{2} (x'+y')\]

quindi

    \[\begin{cases} 	x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} (x'-y')\\ 	y = \dfrac{\sqrt{2}}{2} (x'+y') \end{cases}\]

Sostituendo in xy=k arriviamo a

    \[\dfrac{\sqrt{2}}{2} (x'-y') \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} (x'+y') = k \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{2}(x'^{\; 2} - y'^{\; 2}) = k \quad \Rightarrow \quad x'^{\; 2} - y'^{\; 2}=2k\]

Ponendo 2k=a^2 otteniamo quanto richiesto

    \[\boxcolorato{superiori}{ x'^{\; 2} - y'^{\; 2}=a^2}\]

 


Fonte: Volume Blu 4 – Zanichelli