Esercizio. 
È data l’iperbole equilatera 
, con 
. Verifica che, applicando ad essa la rotazione di 
di centro 
, si ottiene la forma canonica 
. Ricostruisci la relazione esistente tra i due parametri 
e 
.
Soluzione.
La rotazione di centro
e angolo 
ha equazioni
La rotazione di centro
e angolo ha equazioni
![\[\begin{cases} x'=(x-x_C)\cos \alpha-(y-y_C)\sin\alpha+x_C\\ y'=(x-x_C)\sin\alpha+(y-y_C)\cos\alpha+y_C \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf6b304ba4f05025e71a0f6d0e20f6a0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
In questo caso il centro coincide con l’origine quindi le equazioni diventano
![\[\begin{cases} x'=x\cos \alpha-y\sin\alpha\\ y'=x\sin\alpha+y\cos\alpha \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-36373e1d59e276c23e7dfefa348b969b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dato che 
, l’angolo si trova nel quarto quadrante, quindi il seno dell’angolo sarà negativo mentre il coseno dell’angolo sarà positivo, quindi
![\[\sin \alpha = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \qquad \mbox{e} \qquad \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-15441fdbca60f6497f41c8d52bcc2e0f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
pertanto le equazioni diventano
![\[\begin{cases} x'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}y\\ y'=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}y \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6994204997bdabf99c860228b7115a13_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dobbiamo ricavarci 
e 
in funzione di 
e 
. Possiamo farlo con il metodo di riduzione, infatti sottraendo membro a membro abbiamo
![\[x'-y' = \sqrt{2}x \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} (x'-y')\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-891307d2104485b42b10c4350d39358c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
mentre sommando membro a membro otteniamo
![\[x'+ y' = \sqrt{2}y \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{\sqrt{2}}{2} (x'+y')\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d399e3c7bab0d1135404bc56eca0ab86_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
quindi
![\[\begin{cases} x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} (x'-y')\\ y = \dfrac{\sqrt{2}}{2} (x'+y') \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c32360f2092910fa1e1e560c4f2b5713_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Sostituendo in 
arriviamo a
![\[\dfrac{\sqrt{2}}{2} (x'-y') \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} (x'+y') = k \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{2}(x'^{\; 2} - y'^{\; 2}) = k \quad \Rightarrow \quad x'^{\; 2} - y'^{\; 2}=2k\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e1f0726690a340d3f5882ef7c8ab98b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ponendo 
otteniamo quanto richiesto
![\[\boxcolorato{superiori}{ x'^{\; 2} - y'^{\; 2}=a^2}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e20d9acc99a65173003a7ac52baf4afa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: Volume Blu 4 – Zanichelli