Rotazione – Esercizio 2

Rotazione in Trasformazioni geometriche

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)


Una rotazione di centro O associa al punto A(0, 2) il punto A'(- 1,- \sqrt{3}). Determina l’angolo \alpha e le equazioni della rotazione.

 

Soluzione.
La rotazione di centro C(x_C, y_C) e angolo \alpha ha equazioni

    \[\begin{cases} 	x'=(x-x_C)\cos \alpha-(y-y_C)\sin\alpha+x_C\\ 	y'=(x-x_C)\sin\alpha+(y-y_C)\cos\alpha+y_C \end{cases}\]

In questo caso il centro coincide con l’origine quindi le equazioni diventano

    \[\begin{cases} 	x'=x\cos \alpha-y\sin\alpha\\ 	y'=x\sin\alpha+y\cos\alpha \end{cases}\]

Sostituendo abbiamo

    \[\begin{cases} 	-1=0 \cdot \cos \alpha- 2\cdot \sin\alpha\\ 	-3=0 \cdot \sin\alpha+2 \cdot \cos\alpha \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	-1 = 2\cdot \sin\alpha\\ 	-3 = - 2 \cdot \cos\alpha \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	\sin\alpha = \dfrac{1}{2}\\ 	\cos\alpha = - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}\]

da cui deduciamo che l’angolo richiesto è

    \[\boxcolorato{superiori}{\alpha =\dfrac{5\pi}{6}}\]

e le equazioni della trasformazione sono

    \[\boxcolorato{superiori}{	\begin{cases} 				x'=- \dfrac{\sqrt{3}}{2} x-\dfrac{1}{2}y\\\\ 			y'=\dfrac{1}{2}x - \dfrac{\sqrt{3}}{2} y 		\end{cases} }\]

 


Fonte: Volume Blu 4 – Zanichelli