Rotazione – Esercizio 1

Rotazione in Trasformazioni geometriche

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)


È dato il triangolo di vertici A(2,3), B\left(\dfrac{3}{2},1\right) e C(1,5). Determina le coordinate dei punti trasformati nella rotazione di centro O e angolo \frac{\pi}{2} e disegna i due triangoli.

 

Soluzione.
La rotazione di centro C(x_C, y_C) e angolo \alpha ha equazioni

    \[\begin{cases} 	x'=(x-x_C)\cos \alpha-(y-y_C)\sin\alpha+x_C\\ 	y'=(x-x_C)\sin\alpha+(y-y_C)\cos\alpha+y_C \end{cases}\]

In questo caso il centro coincide con l’origine quindi le equazioni diventano

    \[\begin{cases} 	x'=x\cos \alpha-y\sin\alpha\\ 	y'=x\sin\alpha+y\cos\alpha \end{cases}\]

e dato che \alpha=\pi/2 otteniamo

    \[\begin{cases} 	x'=x \cdot 0 -y \cdot 1\\ 	y'=x\cdot 1+y\cdot 0 \end{cases}\]

da cui

    \[\begin{cases} 	x'= -y \\ 	y'=x \end{cases}\]

Allora il punto A(2,3) si trasforma in \boxcolorato{superiori}{A'(-3,2)} poiché

    \[\begin{cases} 	x'= -y_A = -3  \\ 	y'=x_A = 2 \end{cases}\]

poi il punto B(3/2, -1) si trasforma in \boxcolorato{superiori}{B'(-1,3/2)} in quanto

    \[\begin{cases} 	x'= -y_B = -1  \\ 	y'=x_B = 3/2 \end{cases}\]

ed infine il punto C(1,5) si trasforma in \boxcolorato{superiori}{C'(-5,1)} in quanto

    \[\begin{cases} 	x'= -y_C = -5 \\ 	y'=x_C = 1 \end{cases}\]

La rappresentazione dei due triangoli è la seguente

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Fonte: Volume Blu 4 – Zanichelli