Rotazione – Esercizio 1

Rotazione in Trasformazioni geometriche

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Esercizio. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

È dato il triangolo di vertici $A(2,3)$ , $B\left(\dfrac{3}{2},1\right)$ e $C(1,5)$ . Determina le coordinate dei punti trasformati nella rotazione di centro $O$ e angolo $\frac{\pi}{2}$ e disegna i due triangoli.

Soluzione.
La rotazione di centro $C(x_C, y_C)$ e angolo $\alpha$ ha equazioni

$\begin{cases} x'=(x-x_C)\cos \alpha-(y-y_C)\sin\alpha+x_C\\ y'=(x-x_C)\sin\alpha+(y-y_C)\cos\alpha+y_C \end{cases}$

In questo caso il centro coincide con l’origine quindi le equazioni diventano

$\begin{cases} x'=x\cos \alpha-y\sin\alpha\\ y'=x\sin\alpha+y\cos\alpha \end{cases}$

e dato che $\alpha=\pi/2$ otteniamo

$\begin{cases} x'=x \cdot 0 -y \cdot 1\\ y'=x\cdot 1+y\cdot 0 \end{cases}$

da cui

$\begin{cases} x'= -y \\ y'=x \end{cases}$

Allora il punto $A(2,3)$ si trasforma in $\boxcolorato{superiori}{A'(-3,2)}$ poiché

$\begin{cases} x'= -y_A = -3 \\ y'=x_A = 2 \end{cases}$

poi il punto $B(3/2, -1)$ si trasforma in $\boxcolorato{superiori}{B'(-1,3/2)}$ in quanto

$\begin{cases} x'= -y_B = -1 \\ y'=x_B = 3/2 \end{cases}$

ed infine il punto $C(1,5)$ si trasforma in $\boxcolorato{superiori}{C'(-5,1)}$ in quanto

$\begin{cases} x'= -y_C = -5 \\ y'=x_C = 1 \end{cases}$

La rappresentazione dei due triangoli è la seguente

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Fonte: Volume Blu 4 – Zanichelli