Quesito numero 8 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2008

Preparazione alla maturità

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Quesito 8. Sia f la funzione definita da f(x)=\pi^x-x^\pi. Si precisi il dominio di f e si stabilisca il segno delle sue derivate, prima e seconda, nel punto x=\pi.

 

Svolgimento. Il dominio della funzione coincide con quello delle x>0, e quindi con (0,+\infty). Per la derivata prima si ha

    \[f'(x)=\pi^x\cdot\ln\pi-\pi\cdot x^{\pi-1},\]

per cui

    \[f'(\pi)=\pi^\pi\cdot\ln\pi-\pi\cdot\pi^{\pi-1}=\pi^\pi(\ln\pi-1)>0,\]

essendo \pi>e e quindi \ln\pi>\ln e=1.

Per la derivata seconda si ha

    \[f''(x)=\pi^x\cdot\ln^2\pi-\pi(\pi-1)x^{\pi-2},\]

da cui

    \[f''(\pi)=\pi^\pi\cdot\ln^2\pi-(\pi-1)\pi^{\pi-1}=\pi^{\pi-1}(\pi\ln^2\pi-\pi+1)=\pi^{\pi-1}[\pi(\ln^2\pi-1)+1]>0,\]

per la stessa motivazione precedente.