Quesito numero 8 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2008

Preparazione alla maturità

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Quesito 8. Sia $f$ la funzione definita da $f(x)=\pi^x-x^\pi$ . Si precisi il dominio di $f$ e si stabilisca il segno delle sue derivate, prima e seconda, nel punto $x=\pi$ .

Svolgimento. Il dominio della funzione coincide con quello delle $x>0$ , e quindi con $(0,+\infty)$ . Per la derivata prima si ha

$f'(x)=\pi^x\cdot\ln\pi-\pi\cdot x^{\pi-1},$

per cui

$f'(\pi)=\pi^\pi\cdot\ln\pi-\pi\cdot\pi^{\pi-1}=\pi^\pi(\ln\pi-1)>0,$

essendo $\pi>e$ e quindi $\ln\pi>\ln e=1$ .

Per la derivata seconda si ha

$f''(x)=\pi^x\cdot\ln^2\pi-\pi(\pi-1)x^{\pi-2},$

da cui

$f''(\pi)=\pi^\pi\cdot\ln^2\pi-(\pi-1)\pi^{\pi-1}=\pi^{\pi-1}(\pi\ln^2\pi-\pi+1)=\pi^{\pi-1}[\pi(\ln^2\pi-1)+1]>0,$

per la stessa motivazione precedente.

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