Quesito numero 8 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2008

Preparazione alla maturità

Home » Quesito numero 8 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2008

More results...

Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page


 

Quesito 8. Sia f la funzione definita da f(x)=\pi^x-x^\pi. Si precisi il dominio di f e si stabilisca il segno delle sue derivate, prima e seconda, nel punto x=\pi.

 

Svolgimento. Il dominio della funzione coincide con quello delle x>0, e quindi con (0,+\infty). Per la derivata prima si ha

    \[f'(x)=\pi^x\cdot\ln\pi-\pi\cdot x^{\pi-1},\]

per cui

    \[f'(\pi)=\pi^\pi\cdot\ln\pi-\pi\cdot\pi^{\pi-1}=\pi^\pi(\ln\pi-1)>0,\]

essendo \pi>e e quindi \ln\pi>\ln e=1.

Per la derivata seconda si ha

    \[f''(x)=\pi^x\cdot\ln^2\pi-\pi(\pi-1)x^{\pi-2},\]

da cui

    \[f''(\pi)=\pi^\pi\cdot\ln^2\pi-(\pi-1)\pi^{\pi-1}=\pi^{\pi-1}(\pi\ln^2\pi-\pi+1)=\pi^{\pi-1}[\pi(\ln^2\pi-1)+1]>0,\]

per la stessa motivazione precedente.