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Quesito numero 9 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2008

Preparazione alla maturità

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Quesito 9.  In una classe composta da 12 maschi e 8 femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8 studenti. Qual è la probabilità che, in tale gruppo, vi siano esattamente 4 studentesse?

 

Svolgimento. Calcoliamo i casi totali: essi sono

    \[C^{20}_8=\left(\begin{array}{c} 20 // 8\end{array}\right)=\frac{20!}{8! 12!}=125970.\]

Tra questi, i casi in cui sono presenti 4 femmine è dato dal prodotto delle possibili scelte delle quattro ragazze sulle otto a disposizione per le possibili scelte di quattro ragazzi tra i 12 a disposizione, per cui

    \[C^8_4\cdot C^{12}_4=\left(\begin{array}{c} 8 // 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 12 // 4\end{array}\right)=\frac{8!}{4! 4!}\cdot\frac{12!}{4! 8!}=34650.\]

La probabilità di avere 4 ragazze nel gruppo scelto è allora pari a

    \[P=\frac{34650}{125970}\approx 0.27.\]