Quesito numero 8 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2007

Preparazione alla maturità

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Quesito 8. A  Leonardo Eulero (1707-1783) di cui quest’anno ricorre il terzo centenario della nascita, si deve il seguente problema: “Tre gentiluomini giocano insieme: nella prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuno di loro. Nella successiva, il secondo gentiluomo perde a favore di ciascuno degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono. Da ultimo, nella terza partita, il primo ed il secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto ne avevano prima. A questo punto smettono di giocare e trovano che ciascuno ha la stessa somma, cioè 24 luigi. Si domanda con quanto denaro ciascuno si sedette a giocare.”

 

Svolgimento.

Per affrontare questo problema, scriviamo una tabella che riassuma le varie situazioni. x,y,z rappresentano il valore iniziale che ciasun giocatore possiede. Indichiamo con P le partite:

    \[\begin{array}{ccccc} \text{P} & \text{Giocatore 1} & \text{Giocatore 2} & \text{Giocatore 3}\\ \hline & & & & \\ & x & y & z\\ \text{P1} & x-y-z & 2y & 2z\\ \text{P2} & 2(x-y-z) & 2y-(x-y-z)-2z & 4z \\ \text{P3} & 4(x-y-z) & 4y-2(x-y-z)-4z & 4z-2(x-y-z)-2y+(x-y-z)+2z \end{array}\]

Alla fine si ha la seguente situazione

    \[\left\{\begin{array}{l} 4(x-y-z)=24\\ 2[2(y-z)-(x-y-z)]=24\\ 2(3z-y)-(x-y-z)=24 \end{array}\quad \Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} x-y-z=6\\ 2(y-z)-6=12\\ 2(3z-y)-6=24 \end{array}\quad \Leftrightarrow\quad\]

    \[\quad \Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} x-y-z=6\\ y-z=9\\ 3z-y=15 \end{array}\quad \Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} x-9-z-z=6\\ y=9+z\\ 3z-9-z=15 \end{array}\right.\]

da cui

    \[\left\{\begin{array}{l} x=39\\ y=21\\ z=12. \end{array}\right.\]