Quesito 9. Si dimostri che l’equazione 
ha un’unica radice reale e si trovi il suo valore con una precisione di due cifre significative.
Svolgimento. Si consideri la funzione 
. La sua derivata prima è
![\[f'(x)=6x^2-6x+6=6(x^2-x+1).\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ddebd63d79484a3a28201b1b8a016c22_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La disequazione 
, avendosi 
, risulta sempre verificata: ne segue che la funzione 
è ovunque strettamente crescente. Poichè
![\[\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=\pm\infty,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c6a91f09dbe76f0bb2ceae6f68772e94_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
segue che la funzione cambia segno una sola volta all’interno del suo dominio di definizione. Ciò implica che l’equazione ammette un’unica radice. Essendo poi
![\[f(0)=6,\qquad f(-1)=-5,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5064b081389033cf18b4976ed6946975_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
la radice che indichiamo con 
si trova nell’intervallo 
. Per determinarne un valore approssimato, possiamo usare il metodo di Newton con l’iterazione
![\[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_{n})},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a229a8885604919f5003164a16f93df8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che va arrestato quando 
così da ottenere la precisione richiesta. Abbiamo allora, con punto di origine 
![\[\begin{array}{ccccc} n & x_n & f(x_n) & f'(x_n) & x_{n+1}\\ \hline & & & & \\ 0 & -1 & -5 & 18 & -1.2\bar{7}\\ 1 & -0.7\bar{2} & -0.651577503 & 13.46296296 & -0.6738244434\\ 2 & -0.6738244434 & -0.016950468 & 12.76718294 & -0.6724967842 \end{array}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8dc8ad813dcc9bcd8eb52b3a287bc9ed_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
per cui il valore cercato è 
con l’approssimazione richiesta.