Quesito numero 9 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2007

Preparazione alla maturità

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Quesito 9.  Si dimostri che l’equazione 2x^3-3x^2+6x+6=0 ha un’unica radice reale e si trovi il suo valore con una precisione di due cifre significative.

 

Svolgimento.  Si consideri la funzione f(x)=2x^3-3x^2+6x+6. La sua derivata prima è

    \[f'(x)=6x^2-6x+6=6(x^2-x+1).\]

La disequazione f'(x)>0, avendosi \Delta=1-4=-3<0, risulta sempre verificata: ne segue che la funzione f è ovunque strettamente crescente. Poichè

    \[\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=\pm\infty,\]

segue che la funzione cambia segno una sola volta all’interno del suo dominio di definizione. Ciò implica che l’equazione ammette un’unica radice. Essendo poi

    \[f(0)=6,\qquad f(-1)=-5,\]

la radice che indichiamo con \alpha si trova nell’intervallo (-1,0). Per determinarne un valore approssimato, possiamo usare il metodo di Newton con l’iterazione

    \[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_{n})},\]

che va arrestato quando |x_{n+1}-x_n|<10^{-2} così da ottenere la precisione richiesta. Abbiamo allora, con punto di origine x_0=-1

    \[\begin{array}{ccccc} n & x_n & f(x_n) & f'(x_n) & x_{n+1}\\ \hline & & & & \\ 0 & -1 & -5 & 18 & -1.2\bar{7}\\ 1 & -0.7\bar{2} & -0.651577503 & 13.46296296 & -0.6738244434\\ 2 & -0.6738244434 & -0.016950468 & 12.76718294 & -0.6724967842 \end{array}\]

per cui il valore cercato è \alpha\approx -0.67 con l’approssimazione richiesta.