Quesito numero 7 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2007

Preparazione alla maturità

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Quesito 7. Si determini l’equazione del luogo geometrico dei centri delle circonferenze del piano tangenti alla parabola y=x^2+1 nel punto (1,2).

 

Svolgimento. Le tangenti alla parabola hanno coefficiente angolare m=y'=2x, per cui la retta tangente alla parabola nel punto dato ha equazione

    \[y-2=2(x-1)\quad \Rightarrow \quad  y=2x.\]


I centri delle circonferenze tangenti a tale retta si trovano sulla retta ad essa perpendicolare e passante per il punto dato: la sua equazione è

    \[y-2=-\frac{1}{2}(x-1)\quad \Rightarrow \quad x+2y-5=0,\]


che è l’equazione del lugo cercato. Osserviamo tuttavia che a tale equazione bisogna associare la condizione x\geq 1 per assicurarci che i centri (e quindi le relative circonferenze) cadano all’esterno della parabola.