Quesito numero 7 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso ordinario del 2007

Preparazione alla maturità

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Quesito 7. Si determini al variare di k il numero di soluzioni reali dell’equazione

    \[x^3-3x^2+k=0.\]


 

Svolgimento. Indichiamo con f(x)=x^3-3x^2+k il polinomio in questione. Il tutto si riduce a determinare quanti sono gli zeri della funzione f. Poichè

    \[\lim_{x\rightarrow\pm\infty} f(x)=\pm\infty,\]



la funzione ammette sempre almeno uno zero. Essendo

    \[f'(x)=3x^2-6x\geq 0\quad \Leftrightarrow \quad x\leq 0,\ x\geq 2,\]



la funzione cresce su (-\infty,0)\cup(2,+\infty) e decresce su (0,2). Ammette un massimo in (0,k), e un minimo in (2,k-4). poichè k>k-4 per ogni k reale, il massimo è più in alto del minimo. Ne segue che, ogni volta che il massimo si trova sotto l’asse x o il minimo si trova sopra esso, la funzione ammette un solo zero. Quando uno dei due estremi invece si trova sull’asse x la funzione ammette tre radici di cui una doppia. Infine, essa ammette tre radici diverse negli altri casi. Riassumendo abbiamo

 

  • 1 soluzione: per k<0 con radice nell’intervallo (2,+\infty), e per k>4 con radice nell’intervallo (-\infty,0);

  • 3 soluzioni (una doppia): per k=0 con radici x=0 e l’altra nell’intervallo (2,+\infty), e per k=4 con radici x=2 e l’altra nell’intervallo (-\infty,0);

 

  • 3 soluzioni distinte: per 0<k<4 con radici negli intervalli (-\infty,0), (0,2) e (2,+\infty).