Quesito 7. Si determini al variare di 
il numero di soluzioni reali dell’equazione
![\[x^3-3x^2+k=0.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d7a8742c60db5393b8ab8a4bc3a01c8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento. Indichiamo con 
il polinomio in questione. Il tutto si riduce a determinare quanti sono gli zeri della funzione 
. Poichè
![\[\lim_{x\rightarrow\pm\infty} f(x)=\pm\infty,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f733d146945cbf1e8d02e90316ed130_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
la funzione ammette sempre almeno uno zero. Essendo
![\[f'(x)=3x^2-6x\geq 0\quad \Leftrightarrow \quad x\leq 0,\ x\geq 2,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-20ae0973f6b881364f684235b8d1d982_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
la funzione cresce su 
e decresce su 
. Ammette un massimo in 
, e un minimo in 
. poichè 
per ogni reale, il massimo è più in alto del minimo. Ne segue che, ogni volta che il massimo si trova sotto l’asse 
o il minimo si trova sopra esso, la funzione ammette un solo zero. Quando uno dei due estremi invece si trova sull’asse la funzione ammette tre radici di cui una doppia. Infine, essa ammette tre radici diverse negli altri casi. Riassumendo abbiamo
- 1 soluzione: per
con radice nell’intervallo 
, e per con radice nell’intervallo 
;
con radice nell’intervallo 
, e per 
con radice nell’intervallo 
;- 3 soluzioni (una doppia): per
con radici 
e l’altra nell’intervallo , e per con radici e l’altra nell’intervallo ;
con radici 
e l’altra nell’intervallo 
con radici 
e l’altra nell’intervallo
- 3 soluzioni distinte: per
con radici negli intervalli , 
e .
con radici negli intervalli